图形与几何内容分析及教学建议

图形与几何内容分析及教学建议

主讲教师:张晓斌一、2011版课标中图形与几何内容具体变化“图形的认识”“图形与证明”合并为“图形的性质”。“图形与变换”→“图形的变化”1.删去的内容关于等腰梯形的相关要求探索并了解圆与圆的位置关系关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏等关于镜面对称的要求2增加的内容会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义了解平行于同一条直线的两条直线平行会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类了解并证明圆内接四边形的对角互补；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系尺规作图：过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角三角形；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形*了解平行线性质定理的证明*探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等*了解相似三角形判定定理的证明六条基本事实一条直线截两条平行直线所得的同位角相等两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行若两个三角形两边及其夹角（两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等的全等全等三角形的对应边、对应角分别相等九条基本事实两点确定一条直线。两点之间线段最短。过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行两边及其夹角分别相等的两个三角形全等两角及其夹边分别相等的两个三角形全等三边分别相等的两个三角形全等两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法灵活运用不同的方式确定物体的位置在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置能在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化坐标与图形运动：在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。……二、图形与几何领域教材特点分析

知识：基本图形图形的性质、分类、证明图形的变化运用坐标描述图形的位置与运动

空间观念推理能力（合情、演绎）1.加强数形结合思想的渗透，体现各部分知识之间的横向联系。例平面直角坐标系内容提前安排大纲教材代数中函数之前出现坐标系坐标系的作用局限与函数图象课标教材坐标系安排在相交线、平行线后坐标系不仅用于函数图象，而且用于几何

2.循序渐进地培养推理能力，作好由实验几何到论证几何的过渡。直观与推理的结合使推理成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，逐步养成严谨的思维习惯。推理论证不仅是证明或推翻猜想，也是发现新结论的重要手段。对推理证明的安排在重视直观实验的同时，不降低对逻辑推理的要求，使学生逐步形成从感性到理性的思维习惯和严谨科学的方法。循序渐进“说点儿理”“说理”“简单推理”“符号表示推理”适时安排，起点早一以贯之七上“几何图形初步”说点儿理七下“相交线与平行线”说理简单推理用符号表示推理八上“三角形”要求学生证明“全等三角形”

“轴对称”八下“勾股定理”“平行四边形”九上“旋转”“圆”九下“相似”一以贯之循序渐进处理好推理与证明的关键章节在“相交线与平行线”中，结合实例从“说理”到“简单推理”，并正式出现“证明”（让学生看到完整的证明，不要求学生完整证明，要求学生会填空完成一些关键步骤和填理由），注意循序渐进，推理的步骤控制好长度．正式出现“证明”之前，循序渐进给出严格的推理的符号语言在图中，∠1与∠2互补，∠3也与∠2互补，由“同角的补角相等”，可以得出∠1=∠3．同理，∠2=∠4．这样，我们得到：对顶角相等．上面推出“对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式：因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角的定义），所以∠1=∠3（同角的补角相等）．七下对学生的要求3.从感性到理性，从静态到动态地提高对图形的认识能力。

例实验与推理结合，适当运用坐标与图形的变化

4.数形结合，体现研究方法的联系例对”与圆有关的位置关系”的处理点和圆的位置关系直线和圆的位置关系实验与探究圆和圆的位置关系研究的对象---两个图形间的位置关系研究的方法---将两个图形间的位置关系分类，从几何、代数两方面分析特性关注的问题---（1）几何特性（交点个数及区域分布）；（2）代数特性（“两图形间的距离”与半径的比较）。数形结合两方面讨论内容安排学习目标教学建议三、章节分析－－几何图形初步（一）内容安排几何图形约4课时直线、射线、线段约3课时角约5课时课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒约2课时小结约2课时知识结构框图

（二）本章学习目标通过从实物和具体模型的抽象，了解几何图形、立体图形与平面图形以及几何体、平面和曲面、直线和曲线、点等概念.了解直棱柱、圆柱、圆锥的展开图，能根据展开图想象相应的几何体，制作立体模型，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间观念和空间想象力．进一步认识直线、射线、线段的概念，掌握它们的符号表示；掌握基本事实：两点确定一条直线，两点之间线段最短，了解它们在生活和生产中的应用；理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离；会比较线段的大小，理解线段的和、差及线段的中点概念，会画一条线段等于已知线段．4.理解角的概念，掌握角的符号表示，会比较角的大小，认识度、分、秒并能作简单的换算，会计算角的和与差。了解角的平分线、余角、补角的概念，知道补角和余角的性质．5.初步认识几何图形是描述现实世界的重要工具，初步应用几何图形的知识解决一些简单的实际问题，培养学习图形与几何知识的兴趣，通过交流活动，初步形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识．1．注意揭示几何图形基本概念源于现实世界的抽象性特点几何图形、点、线、面、体、平面图形、立体图形、几何图形等概念，是从现实中抽象出来的最基本的几何概念，必须注意这些基本概念与客观现实的联系，初步了解这些概念的抽象性特点，从而能初步用几何观点认识现实世界。章头图第1节开头

点、线、面、体的关系练习、习题中

（三）教学建议2．让学生在观察、操作、想象、交流等活动中学习知识发展空间观念思考探究数学活动3．重视几何语言的培养和训练文字语言、符号语言、图象语言几何模型→图形→文字→符号

线段的比较线段的和与差线段的中点角的比较角的和差角的平分线符号→文字→图形

练习、习题中4．重视培养学生学习几何知识的兴趣注意揭示所学知识与实际的联系，让学生认识所学知识在实际工作生活中的广泛应用价值。在一些习题中适当增加一些探索规律、猜想结论的问题，让学生体验到探究的乐趣。重视对于画图、作图等活动，让学生在动手操作的活动中培养几何学习的兴趣。5.注意与小学知识内容的衔接▶前两学段直观认识一些简单几何图形，能辨认从不同方向看到的物体的形状，认识一些简单几何体的展开图，能区分直线、射线、线段的概念并体会它们的一些性质，结合生活情景认识角并知道周角、平角等概念。▶本章

认识一些常见的几何图形，进一步认识点、线、面、体，在平面图行和立体图形相互转换的过程中，初步建立空间观念；进一步认识直线、射线、线段和角，理解它们的概念和有关的一些性质，并能初步应用。

6.要充分发挥实物、模型、图片的作用和信息技术的应用▶展现丰富多彩的图形世界▶帮助认识空间图形与平面图形的关系，▶在动态变化的图形中寻找不变的位置关系和数量关系，从而发现图形的性质。7.注重概念间的联系，在对比中加深理解

▶直线、射线、线段▶线段的比较、和、差、中点与角的比较、和、差、角的平分线

8.要重视画图技能的培养在几何图形的教学中，绘图和作图是重要的教学内容，在教学过程中画出高质量的几何图形对于培养学生的空间观念、空间想象力具有重要意义。9.注意把握教学要求▶点、线、面、体的概念

▶立体图形、平面图形等概念▶从不同方向看立体图形▶展开立体图形

▶推理能力的培养

（一）内容安排

知识结构主要变化重点、难点及思想方法（二）主要变化（三）教学建议三、章节分析－－相交线与平行线

相交线

约3课时平行线及其判定

约3课时平行线的性质

约4课时平移

约2课时小结

约2课时（一）内容安排平移平移的性质知识结构相交线两条直线相交两条直线被第三条直线所截邻补角对顶角垂线邻补角互补对顶角相等存在性和唯一性垂线段最短点到直线的距离同位角、内错角、同旁内角平行线平行公理及其推论平行线的判定平行线的性质（二）主要变化本章正式出现“证明”，并用例、习题明确对学生的要求——会填关键步骤和理由。2.正文及小结中渗透研究几何问题的基本思路和方法。

命题、定理、证明

出现完整证明

习题——补全证明的关键步骤

重点：垂线的概念与平行线的判定和性质难点：通过简单推理得出数学结论的方法思想方法：研究几何问题的基本思路和方法（三）教学建议1.注意突出重点内容

教学中，由于内容较多，每课教学时都要突出一两个重点，课堂活动也要围绕这一两个重点进行。

例如，“相交线”的重点是“对顶角相等”。

又如，研究两条直线的位置关系重点是研究一些图形的性质（如对顶角相等、垂线的性质，平行线的判定和性质等），而基本概念（如邻补角、对顶角、垂直、平行）掌握即可，不要做过多变式训练。

再如，对于命题、定理、证明等概念，在本章，要求学生在学过一些命题的基础上，了解命题的概念以及命题的构成，而知道命题的真假、了解定理的概念、知道什么是证明等，不要在这里过多要求。2.把握好对推理与证明的教学要求

教学中，把握好对证明的教学要求，要求学生知道什么是证明，能在给出的推理过程中，填出一些关键步骤和理由即可，不要求学生写出完整的证明过程。3.处理好平移内容教学中，注意整套教科书的安排，使学生从感性到理性、从静态到动态逐步加深对平移的理解。

本章先从观察几个由图形的平移得到的美丽图案入手，分析这些图案的共同特点，发现每一个图案都是由一个图形经过平行移动得到的。通过探索平移前后两个图形之间的关系，发现平移的基本性质，并学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题。“平面直角坐标系”中安排了“用坐标表示平移”的内容，用代数的方法研究平移，为以后使用平移发现几何结论、研究几何问题打下基础；九年级“旋转”要求学生能综合应用平移、轴对称、旋转等变换进行图案设计，认识和欣赏它们在现实生活的应用。三、章节分析－－三角形（一）内容安排（二）主要变化（三）教学建议（一）内容安排与三角形有关的线段

约2课时与三角形有关的角

约3课时多边形及其内角和

约2课时小结

约1课时（二）主要变化了解三角形的重心的概念探索并掌握直角三角形的两个锐角互余符号表示四边形内角和等于360°的推出过程（三）教学建议1.加强与实际的联系教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形，形成三角形的概念．多边形概念的引入，也是类似处理的．教科书在介绍三角形的稳定性的同时，顺带介绍了四边形的不稳定性．这些内容是通过如下的实际问题引入的：“盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条．为什么要这样做呢？”

2.加强与已学内容的联系三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关.用拼图的方法认识三角形的内角和等于180°可以启发学生得出证明这个结论的方法，而证明的过程中要用到平行线的性质与平角的定义．3.加强推理能力的培养在“相交线与平行线”一章已经给出了证明的概念，在本章中进一步借助三角形的内角和等于180°”这个结论的探索与证明让学生体会证明的必要性．

三角形内角和定理是本章的重点内容．在本章中，由平行线的性质与平角的定义证明了这个定理．由这个定理还证明了“直角三角形的两个锐角互余”“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”以及多边形内角和公式．此外，还由“两点之间，线段最短”证明了“三角形两边的和大于第三边”，由多边形内角和公式证明了多边形外角和公式．安排这些内容有助于提高学生的推理能力．教科书注意分析证明结论的思路，通过多提问题，留给学生足够的思考时间，让学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程．例如，对于三角形内角和定理，设计实验操作的探究栏目，并对操作过程进行分析，从而获得证明的思路．注重证明思路的分析有助于学生学好推理证明．

4.把握好教学要求直接点明三角形的三条中线交于一点的结论对于三角形的角平分线，在本章中只要知道它的定义，能够从定义得出角相等就可以了．学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，可直接肯定这个结论，在下一章“全等三角形”中再证明这个结论．在本章中，三角形的稳定性是通过实验得出的，待以后学过“三边分别相等的两个三角形全等”，可进一步明白其中的道理．证明三角形的内角和等于180°有一定的难度，只要学生了解得出结论的过程，不要在辅助线上花太多的精力，以免影响对内容本身的理解与掌握，对推理的要求应循序渐进．（一）内容安排（二）主要变化（三）教学建议三、章节分析－－全等三角形（一）内容安排全等三角形

约1课时三角形全等的判定

约6课时角的平分线的性质

约2课时小结

约2课时内容安排——知识结构全等三角形对应边相等，对应角相等全等形应用边边边，边角边，角边角，角角边，斜边、直角边判定性质重点：三角形全等的判定方法难点：利用三角形全等的判定方法进行推理论证思想方法：研究几何问题的基本思路和方法

三角形全等条件的探究过程

（1）探究前的引导更明确

过去现在（二）主要变化1.重视渗透研究几何图形的基本问题和方法

进一步明确图形的判定和性质是研究几何图形的两个重要方面

利用判定和性质在命题陈述上的互逆关系

应用实验和论证相结合的方式推出新结论（三）教学建议利用判定和性质在命题陈述上的互逆关系引入三角形全等的判定

应用实验和论证相结合的方式推出新结论测量猜想证明2.注重设计让学生自主探究的活动

在几何学习中，学生的动手操作和自主探究对他们运用几何思想、发现几何结论具有积极的意义三角形全等条件的探究过程探究目标：在三条边分别相等，三个角也分别相等的六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等探究思路：从“一个条件”开始，逐渐增加条件的数量，对“一个条件”“两个条件”“三个条件”

……的情形分别进行探究3.注重体现知识间的联系在内容和习题的编写中，体现全等三角形与线段相等、角相等的联系将平移、翻折、旋转三种图形的变化与全等三角形联系起来4.将研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章教学

在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法，用几何思想贯穿全章的教学。5.让学生充分经历探究过程

教学中要让学生充分经历探究三角形全等条件的过程，在明确探究目标、形成探究思路的前提下，按计划逐步探索两个三角形全等的条件。

特别是判定三角形全等的“边边边”“边角边”“角边角”方法是以基本事实的方式给出来的，不需要证明来确认其正确性，判定直角三角形全等的“斜边、直角边”方法在本章中也暂时没给出证明，教学中要让学生通过画图、测量、实验、分析、归纳等操作来感知三角形的边、角条件与两个三角形全等之间的关系，在充分探索的基础上感受结论的合理性。6.重视对学生推理论证能力的培养

本套教科书：“说点儿理”→“说理”

→

“简单推理”→“用符号表示推理”

本章：“用符号表示推理”

教学中可以以具体的问题为载体，先引导学生分析由已知推出结论的思路，由教师示范证明的格式，再逐步要求学生独立分析、写出完整的证明过程。同时要注意根据教学内容及时地安排相应的训练，让学生切实提高推理论证能力。三、章节分析－－轴对称（一）内容安排（二）主要变化（三）教学建议（一）内容安排（二）主要变化“13.1轴对称”分两个小节，并增加尺规作图内容（三）教学建议1.教学中注意联系实际

轴对称图形利用轴对称解决实际问题利用轴对称设计图案．2.注意知识间的联系，有机地整合相关内容

利用轴对称的有关知识研究等腰三角形的性质，再利用全等三角形的知识证明3.注意让学生经历观察、实验、归纳、论证的过程

将实验几何与论证几何有机结合思考探究归纳数学活动画图折纸剪纸度量做试验推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续

等边对等角三线合一4.教学中要注意通过对比加深概念的理解

轴对称图形两个图形成轴对称区别：一个图形两个图形联系：都有对称轴二者可以互相转化5.满足学生多样化的学习需求，为学生提供个性化学习的时间和空间

欣赏轴对称图案利用轴对称进行图案设计探究坐标系下轴对称的特点发现等腰三角形中相等的线段6.注意推理证明的教学

不仅要求学生通过观察、实验、探究得出一些有关图形的结论，还要求学生对这些结论进行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明的必要性。加强证明题前分析的教学纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，学会选择简便方法。添加辅助线的问题7.重视现代信息技术工具的应用

利用计算机软件探索轴对称的性质探索轴对称的点的坐标的特点探索线段垂直平分线的性质利用计算机软件进行图案设计三、章节分析－－勾股定理（一）内容安排（二）学习目标（三）教学建议勾股定理约4课时勾股定理的逆定理约3课时小结约1课时（一）内容安排本章知识结构图

勾股定理是初等几何的一个重要定理，有广泛的应用。本章主要介绍了勾股定理及其逆定理，并介绍这两个定理的一些初步的应用，另外，结合这两个定理，介绍了逆命题和逆定理的有关知识。直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形与数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用。勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响。没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦。所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一。本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用。

在第一节中，教科书安排了对于勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程。教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系，进而得出三边之间的关系。在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积。于是，对于更一般的结论提出了猜想。

历史上对于勾股定理的证明的研究很多，得到了许多证明方法。教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法。这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对于图形面积的不同算法推出图形的性质。在教科书中，图17.1－6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1－6（3）中的图形，证明了勾股定理。

根据勾股定理，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。根据勾股定理还可以得到，

，

，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。教科书借助于勾股定理和判定全等三角形的定理(SSS)证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据。本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。（二）学习目标（1）经历勾股定理及其逆定理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，能用这两个定理解决一些简单的实际问题.（2）初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题.（3）通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。（4）通过对于我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养民族自豪感。通过对于勾股定理及其逆定理的探索，培养数学学习的自信心。（三）教学建议1．通过教学提高学生分析问题解决问题的能力

本章内容虽然不多，但教学内涵却很丰富。勾股定理及其逆定理不仅在数学中有重要的地位，定理本身也有重要的实际应用。本章还结合两个定理引入了逆命题、逆定理等比较抽象的概念。这些知识本身易混易错，学习有一定的难度。应该对本章的教学引起重视，使本章的教学对培养学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力发挥应有的作用。

在勾股定理的教学中，一方面要重视学生观察、猜想能力的培养，也要重视从特殊结论到一般结论的严密思维能力的培养。从勾股定理到它的逆定理，学生往往会从直觉出发想当然地认为勾股定理的逆命题也一定成立，而从这种直觉上升到逻辑严密地思考和证明，认识到两个结论有联系但却并不相同，认识到新的结论仍需要经过严格地证明，这是思维能力提高的重要体现，这在教学中是应该引起重视的。另外，逆命题概念的教学也是一个教学难点，怎样写出一个命题的逆命题，原命题和逆命题真假的多种可能性，怎样的命题可以称为逆定理，这些都是学生容易出错的知识点。

勾股定理及其逆定理在解决实际问题中有广泛的应用价值，在证明几何结论中也起着非常重要的作用，在教学中也要引起充分的重视。教学中可以适当把一些中外数学史中的材料充实到课堂中，使本章的教学更加充实，取得更好的效果。2．围绕证明勾股定理培养学生数学学习的自信心

一个缺乏自信的人是不可能成就一番事业的。自信就是不示弱，自信就是自强不息，相信自己的能力，相信自己行，勇于同困难作斗争。数学课往往是初中学生最想学好又不容易学好的一门课，而在数学学习中所培养起来的自信心往往成为学生今后成长的重要力量，在数学教学中要特别重视培养学生数学学习的自信心，进而培养更广泛的自信心。

勾股定理被公认是初等几何中的最重要的定理之一，定理结论奇异、形式优美，寻找勾股定理的新证法成为古今中外名家百姓都热衷研究的问题，而勾股定理的赵爽证法被认为是极其优美简洁的证明方法。

了解、理解甚至独立发现一个重要定理的证明方法对于树立数学学习的自信心往往能起到特别的作用。

勾股定理的证明方法相当多，让学生从定理条件和结论去分析找到一个新的证明方法并非高不可攀，所以，在本定理的教学中，除正文介绍的有关内容外，可以根据实际教学情况，对于学生提出不同的教学要求，可以让学生自主探究定理的证明，既可以让学生根据图形分析自主得到证法，也可以安排收集定理多种证法的数学课外活动，通过这些活动，使学生对勾股定理有较好的理解，从而培养他们学好数学的信心。3．总结和定理、逆定理有关的内容

本章引出了逆定理的概念，为了让学生对这一概念掌握得更好，可以在小结时结合已经学过的一些结论以加深理解。例如，可以结合在本套教科书第十二章“全等三角形”中的两个定理：“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”和“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”来进行复习。这里，前一个结论是角的平分线的性质定理，后一个结论就是角的平分线的性质定理的逆定理。还可以举出其他的一些适当的例子。这样就可以从定理、逆定理的角度认识已学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系。互逆命题、互逆定理的概念，学生接受它们应该困难不大，但对于那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时也会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”的形式。当然，要注意把握教学要求，不宜涉及结构太复杂的命题。三、章节分析－－平行四边形（一）内容安排（二）学习目标（三）教学建议（一）内容安排平行四边形约6课时特殊的平行四边形

约6课时小结

约2课时

本章知识结构图

知识展开的顺序（二）学习目标1．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系；2．探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；3.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离；4.探索并证明三角形中位线定理；5．通过经历平行四边形以及特殊平行四边形性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养学生的合情推理能力；6．通过平行四边形以及特殊平行四边形的性质定理、判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力；7．通过分析平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间的联系与区别，使学生进一步认识特殊与一般的关系。1．突出图形性质定理和判定定理的探索与发现过程，通过合情推理发现结论，形成猜想，运用演绎推理证明猜想（三）教学建议

2．强调从数学本身提出问题，通过图形性质定理的逆命题，提出判定图形是否成立的命题，运用演绎推理证明这些命题的真伪，给出图形的判定定理，进一步明确图形的性质定理与判定定理之间的关系

。

3．加强“图形的性质”和“图形的变化”“图形与坐标”等之间的联系，从多种角度认识图形的性质

4．强调转化与化归等数学思想方法5．注意与现实生活的联系三、章节分析－－旋转（一）内容安排（二）学习目标（三）教学建议（一）内容安排图形的旋转约2课时中心对称约3课时课题学习图案设计约2课时小结约1课时知识结构图旋转旋转中心旋转角

图形的旋转中心对称的概念、性质和有关作图中心对称图形的概念关于原点对称的点的坐标的关系中心对称关于中心对称（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）对重合的方式有限制，也就是它们的位置关系必须满足一个条件：将其中一个图形绕某点旋转180°后能够与另一个图形重合。

探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）。运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。课题学习图案设计1．通过实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2．能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用。3．通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；4．探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。（二）学习目标（三）教学建议1.

注重联系实际

2.注重探究过程探索成中心对称的两点所连线段与对称中心的关系探究旋转的性质3.注重与已学图形变换的联系平移、轴对称和旋转都是全等变换。在作已知图形平移后的图形或作与已知图形成轴对称的图形时，只要确定已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对应点，这种处理对于作已知图形旋转后的图形也适用。4.注意计算机的使用探索旋转的性质利用旋转设计图案探索关于原点对称的点的坐标的关系三、章节分析－－圆（一）内容安排（二）学习目标（三）教学建议（一）内容安排圆约5课时与圆有关的位置关系约6课时正多边形和圆约2课时弧长和扇形的面积约2课时小结约2课时知识结构图

圆

圆的概念和性质

圆及其相关的概念发生法集合法垂径定理轴对称性弧、弦、圆心角旋转对称性圆周角定理完全归纳法

重点

垂径定理、弧弦圆心角的关系圆周角定理

难点

垂径定理、圆周角定理（一）内容安排与圆有关的位置关系

点和圆的位置关系三种位置关系数量表示过三点的圆反证法三角形的外接圆直线和圆的位置关系三种位置关系数量表示切线的判定和性质切线长三角形的内切圆重点

位置关系切线的判定和性质难点

反证法

正多边形和圆正多边形和圆类似的性质轴对称中心对称

等分圆周正多边形

正多边形的相关概念中心、半径、中心角、边心距

正多边形的计算

画正多边形量角器尺规

重点

正多边形的有关计算

难点

对于n

的理解弧长和扇形的面积弧长

扇形面积

圆锥的侧面积扇形的面积

实验与探究

设计跑道1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角、圆内接四边形的特征。2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。（二）学习目标4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积。5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。（三）教学建议1.突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合。

轴对称性垂径定理及其推论

旋转对称性弧、弦、圆心角之间的关系

观察、度量圆心角与圆周角、圆周角之间、圆内接四边形内角的数量关系直观操作点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系

观察、操作、探究→证明2.注意联系实际

联系实际引入概念联系实际引入定理所学知识的实际应用

例、习题中的实际例子

3.重视渗透数学思想方法

转化的思想正多边形的有关计算→直角三角形正多边形的画图→等分圆周

分类的方法对圆周角定理的讨论点与圆、直线与圆的位置关系

辩证唯物主义观点圆的性质的内在联系圆与其他图形之间量变与质变一般与特殊4.进一步培养推理论证能力

规范的证明方法