湖南省A佳教育大联盟2024届数学高一第二学期期末达标测试试题含解析

湖南省A佳教育大联盟2024届数学高一第二学期期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的图像与函数，的图像的交点个数为（）A． B． C． D．2．下列条件不能确定一个平面的是（）A．两条相交直线 B．两条平行直线 C．直线与直线外一点 D．共线的三点3．设等比数列的前项和为，若则（）A． B． C． D．4．如图，正方形的边长为a，以A,C为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．2-π2 B．2-π35．数列的通项，其前项之和为，则在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（）A．-10 B．-9 C．10 D．96．若，，则的最小值为（）A．2 B． C． D．7．已知{an}是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=()A．12 B．16 C．20 D．248．已知数列的前项和（），那么（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列9．圆与圆的位置关系是（）A．内切 B．外切 C．相交 D．相离10．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若等比数列的各项均为正数，且，则等于__________．12．已知样本数据的方差是1，如果有，那么数据，的方差为______.13．已知为锐角，，则________．14．设是数列的前项和，且，，则__________．15．设变量满足条件，则的最小值为___________16．在直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点P的位置在，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．18．数列中，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求；⑶设，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．已知，是函数的两个相邻的零点.（1）求；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围．（3）若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．20．小明同学在寒假社会实践活动中，对白天平均气温与某家奶茶店的品牌饮料销量之间的关系进行了分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天气温（）与该奶茶店的品牌饮料销量（杯），得到如表数据：日期1月11号1月12号1月13号1月14号1月15号平均气温（）91012118销量（杯）2325302621（1）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出关于的线性回归方程式；（3）根据（2）所得的线性回归方程，若天气预报1月16号的白天平均气温为，请预测该奶茶店这种饮料的销量.（参考公式：，）21．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

在同一坐标系中画出两函数的图象，根据图象得到交点个数.【题目详解】可得两函数图象如下图所示：两函数共有个交点本题正确选项：【题目点拨】本题考查函数交点个数的求解，关键是能够根据两函数的解析式，通过平移和翻折变换等知识得到函数的图象，采用数形结合的方式得到结果.2、D【解题分析】

根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解．【题目详解】解：对选项：经过两条相交直线有且只有一个平面，故错误．对选项：经过两条平行直线有且只有一个平面，故错误．对选项：经过直线与直线外一点有且只有一个平面，故错误．对选项：过共线的三点，有无数个平面，故正确；故选：．【题目点拨】本题主要考查确定平面的公理及推论．解题的关键是要对确定平面的公理及推论理解透彻，属于基础题．3、B【解题分析】

根据等比数列中前项和的“片段和”的性质求解．【题目详解】由题意得，在等比数列中，成等比数列，即成等比数列，∴，解得．故选B．【题目点拨】设等比数列的前项和为，则仍成等比数列，即每个项的和仍成等比数列，应用时要注意使用的条件是数列的公比．利用此结论解题可简化运算，提高解题的效率．4、D【解题分析】

将阴影部分拆分成两个小弓形，从而可求解出阴影部分面积，根据几何概型求得所求概率.【题目详解】如图所示：阴影部分可拆分为两个小弓形则阴影部分面积：S正方形面积：S=∴所求概率P=本题正确选项：D【题目点拨】本题考查利用几何概型求解概率问题，属于基础题.5、B【解题分析】试题分析：因为数列的通项公式为，所以其前项和为，令，所以直线方程为，令，解得，即直线在轴上的截距为，故选B．考点：数列求和及直线方程．6、D【解题分析】

根据所给等量关系,用表示出可得.代入中,构造基本不等式即可求得的最小值.【题目详解】因为,所以变形可得所以由基本不等式可得当且仅当时取等号,解得所以的最小值为故选:D【题目点拨】本题考查了基本不等式求最值的应用,注意构造合适的基本不等式形式,属于中档题.7、D【解题分析】由等差数列的性质可得，则，故选D.8、C【解题分析】试题分析：当时，，，∴数列是等差数列．当时，，∴数列是等比数列．综上所述，数列或是等差数列或是等比数列考点：等差数列等比数列的判定9、B【解题分析】

由两圆的圆心距及半径的关系求解即可得解.【题目详解】解：由圆，圆，即，所以圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为，两圆半径，则圆心距，即两圆外切，故选：B.【题目点拨】本题考查了两圆的位置关系的判断，属基础题.10、C【解题分析】

利用三角函数定义即可求得：，，再利用余弦的二倍角公式得解.【题目详解】因为角的终边过点，所以点到原点的距离所以，所以故选C【题目点拨】本题主要考查了三角函数定义及余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于较易题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、50【解题分析】由题意可得，=，填50.12、1【解题分析】

利用方差的性质直接求解．【题目详解】根据题意，样本数据的平均数为，方差是1，则有，对于数据，其平均数为，其方差为，故答案为1.【题目点拨】本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13、【解题分析】

利用同角三角函数的基本关系求出，并利用二倍角正切公式计算出的值，再利用两角和的正切公式求出的值.【题目详解】为锐角，则，，由二倍角正切公式得，因此，，故答案为.【题目点拨】本题考查同角三角函数的基本关系求值、二倍角正切公式和两角和的正切公式求值，解题的关键就是灵活利用这些公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.14、【解题分析】原式为，整理为：，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以，即.【题目点拨】这类型题使用的公式是，一般条件是，若是消，就需当时构造，两式相减，再变形求解；若是消，就需在原式将变形为：，再利用递推求解通项公式.15、-1【解题分析】

根据线性规划的基本方法求解即可.【题目详解】画出可行域有：因为.根据当直线纵截距最大时,取得最小值.由图易得在处取得最小值.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了线性规划的基本运用,属于基础题.16、【解题分析】

设滚动后圆的圆心为C，切点为A，连接CP．过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设∠BCP=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（1，1），算出，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为，即为向量的坐标．【题目详解】设滚动后的圆的圆心为C，切点为，连接CP，过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于，设，∵C的方程为，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为，∵单位圆的圆心的初始位置在，圆滚动到圆心位于，，可得，可得，，代入上面所得的式子，得到P的坐标为，所以的坐标是.故答案为：.【题目点拨】本题考查圆的参数方程,平面向量坐标表示的应用，解题的关键是根据数形结合找到变量的角度，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）θ最小值为60°【解题分析】

（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再结合面面垂直的判定，证得DE⊥平面ABCD，即可证得AD⊥平面BFED；（2）以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB与平面ADE法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。【题目详解】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2.∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝3.∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，DE⊂平面BFED，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.（1）由(1)知，直线AD，BD，ED两两垂直，故以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令EP＝λ(0≤λ≤)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0，λ，1)，所以＝(－1，，0)，＝(0，λ－，1)．设n1＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，由得，取y＝1，则n1＝(，1，－λ)．因为n2＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，所以cosθ＝＝＝.因为0≤λ≤，所以当λ＝时，cosθ有最大值，所以θ的最小值为60°.【题目点拨】本题考查了线面垂直关系的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18、（1）；（2）（3）7.【解题分析】

（1）由可得为等差数列，从而可得数列的通项公式；（2）先判断时数列的各项为正数，时数列各项为负数，分两种情况讨论分别利用等差数列求和公式求解即可；（3）求得利用裂项相消法求得，由可得结果.【题目详解】（1）由题意，，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若时，时，，故.（3），若对任意成立，的最小值是，对任意成立，的最大整数值是7,即存在最大整数使对任意，均有【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19、(1)；(2)；(3)【解题分析】

（1）先化简，再根据函数的周期求出的值，从而得到的解析式；（2）将问题转化为，根据三角函数的性质求出的最大值，即可求出实数的取值范围；（3）通过方程的解与函数图象之间的交点关系，可将题意转化为函数的图象与直线有两个交点，即可由图象求出实数的取值范围．【题目详解】（1）．由题意可知，的最小正周期，∴，又∵，∴，∴（2）由得，，∴，∵，∴，∴．∴，即，∴，所以（3）原方程可化为即，由，得时，，的最大值为2，∴要使方程在上有两个不同的解，即函数的图象与直线有两个交点，由图象可知，即，所以【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用，以及利用二倍角公式、两角差的余弦公式、两角和的正弦公式进行三角恒等变换，同时还考查了转化与化归思想，数形结合思想的应用．20、(1)；(2)；(3)19杯.【解题分析】试题分析：（1）由“选取的组数据恰好是相邻天的数据”为事件，得出基本事件的总数，利用古典概型，即可求解事件的概率；（2）由数据求解，求由公式，求得，即可求得回归直线方程；（3）当，代入回归直线方程，即可作出预测的结论．试题解析：（Ⅰ）设“选取的组数据恰好是相邻天的数据”为事件，所有基本事件（其中，为月份的日期数）有种，事件包括的基本事件有，，，共种．所以．（Ⅱ）由数据，求得，．由公式，求得，，所以关于的线性回