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文档简介
2024届长沙市重点中学高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知集合,对于满足集合A的所有实数t,使不等式恒成立的x的取值范围为A. B.C. D.2.已知菱形的边长为,则()A. B. C. D.3.已知等边三角形ABC的边长为1,,那么().A.3 B.-3 C. D.4.若复数(是虚数单位)是纯虚数,则实数的值为()A. B. C. D.5.在边长为2的菱形中,,是的中点,则A. B. C. D.6.已知,则的值域为()A. B. C. D.7.已知向量是单位向量,=(3,4),且在方向上的投影为,則A.36 B.21 C.9 D.68.设,则A.-1 B.1 C.ln2 D.-ln29.把函数的图象沿轴向右平移个单位,再把所得图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,可得函数的图象,则的解析式为()A. B.C. D.10.直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知函数是定义域为的偶函数.当时,,关于的方程,有且仅有5个不同实数根,则实数的取值范围是_____.12.函数的最大值为______.13.函数的单调递增区间为______.14.在正四面体中,棱与所成角大小为________.15.在我国古代数学著作《孙子算经》中,卷下第二十六题是:今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?满足题意的答案可以用数列表示,该数列的通项公式可以表示为________16.已知数列的前项和为,若,则______.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知向量(1)求函数的单调递减区间;(2)在中,,若,求的周长.18.求下列各式的值:(1)求的值;(2)已知,,且,,求的值.19.已知平面向量(1)若,求;(2)若,求与夹角的余弦值.20.在某单位的职工食堂中,食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包,然后以5元/个的价格出售.如果当天卖不完,剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂.根据以往统计资料,得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示.食堂某天购进了80个面包,以x(单位:个,)表示面包的需求量,T(单位:元)表示利润.(1)求食堂面包需求量的平均数;(2)求T关于x的函数解析式;(3)根据直方图估计利润T不少于100元的概率.21.如图,在四棱柱中,侧棱底面,,,,,且点和分别为和的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)设为棱上的点,若直线和平面所成角的正弦值为,求线段的长.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】
由条件求出t的范围,不等式变形为恒成立,即不等式恒成立,再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理.【题目详解】由得,,
不等式恒成立,即不等式恒成立,即不等式恒成立,
只需或恒成立,
只需或恒成立,
只需或即可.
故选:B.【题目点拨】本题考查了一元二次不等式的解法问题,难度较大,充分利用恒成立的思想解题是关键.2、D【解题分析】
由菱形可直接得出所求两向量的模长及夹角,直接利用向量数量积公式即可.【题目详解】由菱形的性质可以得出:所以选择D【题目点拨】直接考查向量数量积公式,属于简单题3、D【解题分析】
利用向量的数量积即可求解.【题目详解】解析:.故选:D【题目点拨】本题考查了向量的数量积,注意向量夹角的定义,属于基础题.4、C【解题分析】,且是纯虚数,,故选C.5、D【解题分析】
选取向量为基底,用基底表示,然后计算.【题目详解】由题意,,.故选D.【题目点拨】本题考查向量的数量积,平面向量的线性运算,解题关键是选取基底,把向量用基底表示.6、C【解题分析】
由已知条件,先求出函数的周期,由于,即可求出值域.【题目详解】因为,所以,又因为,所以当时,;当时,;当时,,所以的值域为.故选:C.【题目点拨】本题考查三角函数的值域,利用了正弦函数的周期性.7、D【解题分析】
根据公式把模转化为数量积,展开后再根据和已知条件计算.【题目详解】因为在方向上的投影为,所以,.故选D.【题目点拨】本题主要考查向量模有关的计算,常用公式有,.8、C【解题分析】
先把化为,再根据公式和求解.【题目详解】故选C.【题目点拨】本题考查对数、指数的运算,注意观察题目之间的联系.9、C【解题分析】
根据三角函数图像变换的原则,即可得出结果.【题目详解】先把函数的图象沿轴向右平移个单位,得到;再把图像上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到.故选C【题目点拨】本题主要考查三角函数的图像变换问题,熟记图像变换的原则即可,属于常考题型.10、D【解题分析】
先求出AB的长,再求点P到直线AB的最小距离和最大距离,即得△ABP面积的最小值和最大值,即得解.【题目详解】由题得,由题得圆心到直线AB的距离为,所以点P到直线AB的最小距离为2-1=1,最大距离为2+1=3,所以△ABP的面积的最小值为,最大值为.所以△ABP的面积的取值范围为[1,3].故选D【题目点拨】本题主要考查点到直线的距离的计算,考查面积的最值问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、.【解题分析】
令,则原方程为,根据原方程有且仅有5个不同实数根,则有5个不同的解,结合图像特征,求出的值或范围,即为方程解的值或范围,转化为范围,即可求解.【题目详解】令,则原方程为,当时,,且为偶函数,做出图像,如下图所示:当时,有一个解;当或,有两个解;当时,有四个解;当或时,无解.,有且仅有5个不同实数根,关于的方程有一个解为,,另一个解为,在区间上,所以,实数的取值范围是.故答案为:.【题目点拨】本题考查复合方程根的个数求参数范围,考查了分段函数的应用,利用换元法结合的函数的奇偶性的对称性,利用数形结合是解题的关键,属于难题.12、【解题分析】
设,,,则,,可得,再根据正弦函数的定义域和值域,求得函数的最值.【题目详解】解:函数,设,,则,,,,故当,即时,函数,故故答案为:;【题目点拨】本题主要考查求函数的值域,正弦函数的定义域和值域,体现了转化的数学思想,属于基础题.13、【解题分析】
令,解得的范围即为所求的单调区间.【题目详解】令,,解得:,的单调递增区间为故答案为:【题目点拨】本题考查正弦型函数单调区间的求解问题,关键是能够采用整体对应的方式,结合正弦函数的单调区间来进行求解.14、【解题分析】
根据正四面体的结构特征,取中点,连,,利用线面垂直的判定证得平面,进而得到,即可得到答案.【题目详解】如图所示,取中点,连,,正四面体是四个全等正三角形围成的空间封闭图形,所有棱长都相等,所以,,且,所以平面,又由平面,所以,所以棱与所成角为.【题目点拨】本题主要考查了异面直线所成角的求解,以及直线与平面垂直的判定及应用,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.15、【解题分析】
根据题意结合整除中的余数问题、最小公倍数问题,进行分析求解即可.【题目详解】由题意得:一个数用3除余2,用7除也余2,所以用3与7的最小公倍数21除也余2,而用21除余2的数我们首先就会想到23;23恰好被5除余3,即最小的一个数为23,同时这个数相差又是3,5,7的最小公倍数,即,即数列的通项公式可以表示为,故答案为:.【题目点拨】本题以数学文化为背景,利用数列中的整除、最小公倍数进行求解,考查逻辑推理能力和运算求解能力.16、【解题分析】
利用和的关系计算得到答案.【题目详解】当时,满足通项公式故答案为【题目点拨】本题考查了和的关系,忽略的情况是容易发生的错误.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解题分析】
(1)根据向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式将化简为,然后利用三角函数的性质,即可求得的单调减区间;(2)由(1)及可求得,由可得,再结合余弦定理即可求得,进而可得的周长.【题目详解】解:(1)所以函数的单调递减区间为:(2),,又因在中,,,设的三个内角所对的边分别为,又,且,,则,所以的周长为.【题目点拨】本题考查平面向量的数量积公式,三角函数的二倍角公式、辅助角公式和三角函数的性质,以及利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查理解辨析能力及求解运算能力,属于中档题.18、(1)(2)【解题分析】
(1)利用二倍角公式以及辅助角公式化简即可.(2)利用配凑把打开即可.【题目详解】解:(1)原式(2),,又,,,,【题目点拨】本题主要考查了二倍角公式,两角和与差的正切的应用.辅助角公式.19、(1)(2)【解题分析】
(1)由题可得,解出,,进而得出答案.(2)由题可得,,再由计算得出答案,【题目详解】因为,所以,即解得所以(2)若,则所以,,,所以【题目点拨】本题主要考查的向量的模以及数量积,属于简单题.20、(1)84;(2);(3)【解题分析】
(1)每个小矩形的面积乘以该组中间值,所得数据求和就是平均数;(2)根据需求量分段表示函数关系;(3)根据(1)利润T不少于100元时,即,即,求出其频率,即可估计概率.【题目详解】(1)估计食堂面包需求量的平均数为:(2)解:由题意,当时,利润,当时,利润,即T关于x的函数解析式(3)解:由题意,设利润T不少于100元为事件A,由(1)知,利润T不少于100元时,即,即,由直方图可知,当时,所求概率为【题目点拨】此题考查频率分布直方图,根据频率分布直方图求平均数,计算频率,以及建立函数模型解决实际问题,综合性比较强.21、(1)证明见解析;(2);(3)【解题分析】
如图,
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