2024届浙江省上虞市春晖中学数学高一第二学期期末统考试题含解析

2024届浙江省上虞市春晖中学数学高一第二学期期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．2．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了根棉花的纤维长度（单位：），将样本数据作成如下的频率分布直方图：下列关于这批棉花质量状况的分析，不合理的是（）A．这批棉花的纤维长度不是特别均匀B．有一部分棉花的纤维长度比较短C．有超过一半的棉花纤维长度能达到以上D．这批棉花有可能混进了一些次品3．已知集合，，，则（）A． B． C． D．4．下列命题正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．B．有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．C．绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥．D．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．5．正方体中,直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．6．已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是()A． B． C． D．7．已知数列的通项公式为，则72是这个数列的（）A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项8．已知数列的前项和为，，且满足，若，则的值为（）A． B． C． D．9．把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积等于（）A． B．480 C． D．10．等差数列中，已知，则()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列的前n项和，则________.12．求的值为________．13．在中，若，则____；14．若6是-2和k的等比中项，则______.15．若数列满足，且，则___________.16．若函数的图像与直线有且仅有四个不同的交点，则的取值范围是______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某企业生产的某种产品，生产总成本（元）与产量（吨）（）函数关系为，且函数是上的连续函数（1）求的值；（2）当产量为多少吨时，平均生产成本最低？18．设向量，，.（1）若，求实数的值；（2）求在方向上的投影.19．已知以点（a∈R，且a≠0）为圆心的圆过坐标原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求△OAB的面积；（2）设直线l：y＝﹣2x+4与圆C交于点P、Q，若|OP|＝|OQ|，求圆心C到直线l的距离．20．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，侧棱长为x.（1）求出其表面积S（x）和体积V（x）；（2）设，求出函数的定义域，并判断其单调性（无需证明）.21．设数列的前项和为，满足，且，数列满足，对任意的，且成等比数列，其中.（1）求数列的通项公式（2）记，证明：当且时，

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】对于选项A,因为，所以，所以即，所以选项A错误；对于选项B，，所以，选项B错误；对于选项C，，当时，，当，，故选项C错误；对于选项D，，所以，又，所以，所以，选D.2、C【解题分析】

根据频率分布直方图计算纤维长度超过的频率，可知不超过一半，从而得到结果.【题目详解】由频率分布直方图可知，纤维长度超过的频率为：棉花纤维长度达到以上的不超过一半不合理本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用频率分布直方图估计总体数据的分布特征，关键是能够熟练掌握利用频率分布直方图计算频率的方法.3、C【解题分析】由题意得，因为，所以，所以，故，故选C.4、B【解题分析】

根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【题目详解】对于A选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为B.【题目点拨】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.5、C【解题分析】

作出相关图形，通过平行将异面直线所成角转化为共面直线所成角.【题目详解】作出相关图形，由于，所以直线与所成角即为直线与所成角，由于为等边三角形，于是所成角余弦值为，故答案选C.【题目点拨】本题主要考查异面直线所成角的余弦值，难度不大.6、A【解题分析】

由题意知，不等式有解，可得出，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.【题目详解】已知命题，，若是真命题，则不等式有解，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.【题目点拨】本题考查利用全称命题的真假求参数，涉及一元二次不等式有解的问题，考查计算能力，属于基础题.7、B【解题分析】

根据数列的通项公式，令，求得的值，即可得到答案.【题目详解】由题意，数列的通项公式为，令，即，解得或（不合题意），所以是数列的第8项，故选B.【题目点拨】本题主要考查了数列的通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8、D【解题分析】

由递推关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得公差；利用等差数列通项公式和前项和公式分别求得和，代入求得结果.【题目详解】由得：数列为等差数列，设其公差为，，解得：，本题正确选项：【题目点拨】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前项和公式的应用.9、A【解题分析】

由题意知，此球是棱长为6的正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为6，再由球的体积公式求解即可．【题目详解】解：由已知可得球的直径为6，故半径为3，其体积是，故选：．【题目点拨】本题考查长方体内切球的几何特征，以及球的体积公式，属于基础题．10、B【解题分析】

已知等差数列中一个独立条件，考虑利用等差中项求解.【题目详解】因为为等差数列，所以，由，,故选B.【题目点拨】本题考查等差数列的性质，等差数列中若，则,或用基本量、表示，整体代换计算可得,属于简单题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

先利用求出，在利用裂项求和即可.【题目详解】解：当时，，当时，，综上，，，，故答案为：.【题目点拨】本题考查和的关系求通项公式，以及裂项求和，是基础题.12、44.5【解题分析】

通过诱导公式，得出，依此类推，得出原式的值．【题目详解】，，同理，，故答案为44.5.【题目点拨】本题主要考查了三角函数中的诱导公式的运用，得出是解题的关键，属于基础题．13、【解题分析】试题分析：因为，所以．由正弦定理，知，所以＝＝．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、正弦定理．14、-18【解题分析】

根据等比中项的性质，列出等式可求得结果.【题目详解】由等比中项的性质可得，，得.故答案为：-18【题目点拨】本题主要考查等比中项的性质，属于基础题.15、【解题分析】

对已知等式左右取倒数可整理得到，进而得到为等差数列；利用等差数列通项公式可求得，进而得到的通项公式，从而求得结果.【题目详解】，即数列是以为首项，为公差的等差数列故答案为：【题目点拨】本题考查利用递推公式求解数列通项公式的问题，关键是明确对于形式的递推关系式，采用倒数法来进行推导.16、【解题分析】

将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，则直线与函数图象有四个交点，从而得到的取值范围.【题目详解】因为因为所以，所以图象关于对称，其图象如图所示：因为直线与函数图象有四个交点，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用三角函数图象研究与直线交点个数，考查数形结合思想的应用，作图时发现图象关于对称，是快速画出图象的关键.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)当产量吨，平均生产成本最低.【解题分析】

（1）根据函数连续性的定义，可得在分段处两边的函数值相等，可得a的值；（2）求出平均成本的表达式，结合二次函数和基本不等式，可得平均生产成本的最小值点．【题目详解】（1）设，由函数是上的连续函数.即，代入得（2）设平均生产成本为，则当中，，函数连续且在单调递减，单调递增即当，元当，，由，当且仅当取等号，即当，元综上所述，当产量吨，平均生产成本最低.【题目点拨】本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，基本不等式求最值，属于中档题.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）计算出的坐标，然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数的值；（2）求出和，从而可得出在方向上的投影为.【题目详解】（1），，，，，，解得；（2），，在方向上的投影.【题目点拨】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标运算以及投影的计算，在解题时要弄清楚这些知识点的定义以及坐标运算律，考查计算能力，属于中等题.19、(1)4(2)【解题分析】

（1）求得圆的半径，设出圆的标准方程，由此求得两点坐标，进而求得三角形的面积.（2）根据，判断出，由直线的斜率求得直线的斜率，以此列方程求得，根据直线和圆相交，圆心到直线的距离小于半径，确定，同时得到圆心到直线的距离.【题目详解】（1）根据题意，以点（a∈R，且a≠0）为圆心的圆过坐标原点O，设圆C的半径为r，则r2＝a2，圆C的方程为（x﹣a）2+（y）2＝a2，令x＝0可得：y＝0或，则B（0，），令y＝0可得：x＝0或2a，则A（2a，0），△OAB的面积S|2a|×||＝4；（2）根据题意，直线l：y＝﹣2x+4与圆C交于点P、Q，则|CP|＝|CQ|，又由|OP|＝|OQ|，则直线OC与PQ垂直，又由直线l即PQ的方程为y＝﹣2x+4，则KOC，解可得a＝±2，当a＝2时，圆心C的坐标为（2，1），圆心到直线l的距离d，r，r＞d，此时直线l与圆相交，符合题意；当a＝2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1），圆心到直线l的距离d，r，r＜d，此时直线l与圆相离，不符合题意；故圆心C到直线l的距离d．【题目点拨】本小题主要考查圆的标准方程，考查直线和圆的位置关系，考查两条直线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.20、（1），；（2）x>，是减函数.【解题分析】

（1）画出图形，分别求出四棱锥的高，及侧面的高的表达式，即可求出表面积与体积的表达式；（2）结合表达式，可求出的范围，即定义域，然后判断其为减函数.【题目详解】（1）过点作平面的垂线，垂足为，取的中点，连结，因为为正四棱锥，所以，，，，所以四棱锥的表面积为，体积.（2），解得，是减函数.【题目点拨】本题考查了四棱锥的结构特征，考查了表面积与体积的计算，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.21、（1）.