2024届陕西省渭南中学高一数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届陕西省渭南中学高一数学第二学期期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为A． B．C． D．2．在中，角的对边分别为，且，，，则的周长为（）A． B． C． D．3．在正四棱柱中，，，则与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．4．如图，是圆的直径，点是半圆弧的两个三等分点，，，则（）A． B． C． D．5．已知、的取值如下表所示：如果与呈线性相关，且线性回归方程为，则（）A． B． C． D．6．函数图像的一个对称中心是（）A． B． C． D．7．在锐角中ΔABC，角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinA．π12B．π6C．π8．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知，，若直线上存在点M满足，则实数c的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知a，b，c，d∈R，则下列不等式中恒成立的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＞b，则C．若a＞b＞0，则（a﹣b）c＞0 D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c10．已知，则的值域为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若、、这三个的数字可适当排序后成为等差数列，也可适当排序后成等比数列，则________________.12．若函数，则__________．13．在数列中，若，则____．14．设三棱锥满足，，则该三棱锥的体积的最大值为____________.15．已知向量，，则的最大值为_______.16．在等差数列中，公差不为零，且、、恰好为某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于____________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，，且.（1）求的值；（2）求的值.18．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表周跑量（km/周）人数100120130180220150603010（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑（2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元?19．写出集合的所有子集．20．的内角所对边分别为，已知．（1）求；（2）若，，求的面积．21．已知函数的图象与轴正半轴的交点为，．（1）求数列的通项公式；（2）令（为正整数），问是否存在非零整数，使得对任意正整数，都有？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

由半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，求得十二边形的面积，利用面积比的几何概型，即可求解.【题目详解】由题意，半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，所以该正十二边形的面积为，由几何概型的概率计算公式，可得所求概率，故选D.【题目点拨】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.2、C【解题分析】

根据，得到，利用余弦定理，得到关于的方程，从而得到的值，得到的周长.【题目详解】在中，由正弦定理因为，所以因为，，所以由余弦定理得即，解得，所以所以的周长为.故选C.【题目点拨】本题考查正弦定理的角化边，余弦定理解三角形，属于简单题.3、A【解题分析】

连结，结合几何体的特征，直接求解与所成角的余弦值即可．【题目详解】如图所示：在正四棱柱中，＝1，＝2，连结，则与所成角就是中的，所以与所成角的余弦值为：＝＝．故选A．【题目点拨】本题考查正四棱柱的性质，直线与直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．4、A【解题分析】

连接，证得，结合向量减法运算，求得.【题目详解】连接，由于是半圆弧的两个三等分点，所以，所以是等边三角形，所以，所以四边形是菱形，所以，所以.故选：A【题目点拨】本小题主要考查圆的几何性质，考查向量相等的概念，考查向量减法的运算，属于基础题.5、A【解题分析】

计算出、，再将点的坐标代入回归直线方程，可求出的值.【题目详解】由表格中的数据可得，，由于回归直线过样本的中心点，则有，解得，故选：A.【题目点拨】本题考查回归直线方程中参数的计算，解题时要充分利用回归直线过样本的中心点这一结论，考查计算能力，属于基础题.6、B【解题分析】

由题得,解出x的值即得函数图像的一个对称中心.【题目详解】由题得,所以，所以图像的对称中心是．当k=1时，函数的对称中心为.故选B【题目点拨】本题主要考查三角函数图像的对称中心的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7、D【解题分析】试题分析：∵2a考点：正弦定理解三角形8、B【解题分析】

根据题意设点M的坐标为，利用两点间的距离公式可得到关于的一元二次方程，只需即可求解.【题目详解】点M在直线上，不妨设点M的坐标为，由直线上存在点M满足，则，整理可得，，所以实数c的取值范围为.故选：B【题目点拨】本题考查了两点间的距离公式、一元二次不等式的解法，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.9、D【解题分析】

根据不等式的性质判断．【题目详解】当时，A不成立；当时，B不成立；当时，C不成立；由不等式的性质知D成立．故选D．【题目点拨】本题考查不等式的性质，不等式的性质中，不等式两边乘以同一个正数，不等式号方向不变，两边乘以同一个负数，不等式号方向改变，这个性质容易出现错误：一是不区分所乘数的正负，二是不区分是否为1．10、C【解题分析】

由已知条件，先求出函数的周期，由于，即可求出值域.【题目详解】因为，所以，又因为，所以当时，；当时，；当时，，所以的值域为.故选：C.【题目点拨】本题考查三角函数的值域，利用了正弦函数的周期性.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由，，可知，、、成等比数列，可得出，由、、或、、成等差数列，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可计算出的值.【题目详解】由于，，若不是等比中项，则有或，两个等式左边均为正数，右边均为负数，不合题意，则必为等比中项，所以，将三个数由大到小依次排列，则有、、成等差数列或、、成等差数列.①若、、成等差数列，则，联立，解得，此时，；②若、、成等差数列，则，联立，解得，此时，.综上所述，.故答案为：.【题目点拨】本题考查等比数列和等差数列定义的应用，根据题意列出方程组是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12、【解题分析】

根据分段函数的解析式先求，再求即可.【题目详解】因为，所以.【题目点拨】本题主要考查了分段函数求值问题，解题的关键是将自变量代入相应范围的解析式中，属于基础题.13、【解题分析】

根据递推关系式，依次求得的值.【题目详解】由于，所以，.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查根据递推关系式求数列某一项的值，属于基础题.14、【解题分析】

取中点，连，可证平面，，要使最大，只需求最大值，即可求解.【题目详解】取中点，连，所以，，，平面，平面，设中边上的高为，，当且仅当时，取等号.故答案为:.【题目点拨】本题考查锥体的体积计算，考查线面垂直的判定，属于中档题.15、.【解题分析】

计算出，利用辅助角公式进行化简，并求出的最大值，可得出的最大值.【题目详解】，，，所以，，当且仅当，即当，等号成立，因此，的最大值为，故答案为.【题目点拨】本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16、4【解题分析】

由题意将表示为的方程组求解得，即可得等比数列的前三项分别为﹑、，则公比可求【题目详解】由题意可知，，又因为，，代入上式可得，所以该等比数列的前三项分别为﹑、，所以.故答案为：4【题目点拨】本题考查等差等比数列的基本量计算，考查计算能力，是基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）由向量垂直的坐标运算可得，再求解即可；（2）利用三角函数诱导公式可得原式，再构造齐次式求解即可.【题目详解】解：（1）因为，所以，因为，，所以，即，故.（2）.【题目点拨】本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了三角函数诱导公式及构造齐次式求值，属中档题.18、(1)见解析；(2)中位数为29.2，分布特点见解析；(3)3720元【解题分析】

（1）根据频数和频率之间的关系计算，即可得到答案；（2）根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论；（3）根据频率分布直方图求出休闲跑者，核心跑者，精英跑者分别人数，进而求出平均值．【题目详解】（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：（2）中位数的估计值：由，所以中位数位于区间中，设中位数为，则，解得，因为，所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数．（3）依题意可知，休闲跑者共有人，核心跑者人，精英跑者人，所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要元．【题目点拨】本题主要考查了平均数、中位数的求法，以及频率分布直方图的性质等相应知识的综合应用，着重考查了化简能力，推理计算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题．19、【解题分析】

根据集合的子集的定义列举出即可．【题目详解】集合的所有子集有：【题目点拨】本题考查了集合的子集的定义，掌握子集的定义是解题的关键，本题是一道基础题．20、（1）；（2）5.【解题分析】

（1）根据正弦定理得，化简即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面积．【题目详解】（1）因为，根据正弦定理得，又，从而，由于，所以．（2）根据余弦定理，而，，，代