山西省太原市第六十六中学2024届数学高一第二学期期末经典试题含解析

山西省太原市第六十六中学2024届数学高一第二学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列的前项和为，，且满足，若，则的值为（）A． B． C． D．2．设m,n是两条不同的直线，α A．若m⊥β，n⊥β ， n⊥α，则m⊥αC．若m⊥n, n∥α，则m⊥α D．若m⊥n3．如图，已知边长为的正三角形内接于圆，为边中点，为边中点，则为（）A． B． C． D．4．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的周长的取值范围为（）A． B． C． D．5．已知,下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．6．已知数列满足，则（）A．10 B．20 C．100 D．2007．设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．若f(x)=af1(x)bf2(x)a,b∈R已知g1(x)=(-x2+12x-20)12生成函数g(x)，已知g(4)=2(6-3)，A．1 B．4 C．6 D．99．已知数列，其前n项和为，且，则的值是（）A．4 B．8 C．2 D．910．已知，为直线，，为平面，下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则与为异面直线C．若，，，则D．若，，，则二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有___人12．计算：________13．在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______.14．已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，且a1+b1=515．在中，，，则角_____.16．______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设，求函数的最小值为__________．18．已知圆：与圆：．（1）求两圆的公共弦长；（2）过平面上一点向圆和圆各引一条切线，切点分别为，设，求证：平面上存在一定点使得到的距离为定值，并求出该定值．19．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面平面是的中点.（1）求证：平面；（2）若，证明：20．为了解学生的学习情况，某学校在一次考试中随机抽取了20名学生的成绩，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，绘制了如图所示频率分布直方图.求：(Ⅰ)图中m的值；(II)估计全年级本次考试的平均分；(III)若从样本中随机抽取分数在[80，100]的学生两名，求所抽取两人至少有一人分数不低于90分的概率.21．己知点，直线l与圆C：（x一1)2＋（y一2）2＝4相交于A，B两点，且OA⊥OB．（1）若直线OA的方程为y＝一3x，求直线OB被圆C截得的弦长；（2）若直线l过点（0，2），求l的方程．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

由递推关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得公差；利用等差数列通项公式和前项和公式分别求得和，代入求得结果.【题目详解】由得：数列为等差数列，设其公差为，，解得：，本题正确选项：【题目点拨】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前项和公式的应用.2、A【解题分析】

依据立体几何有关定理及结论，逐个判断即可。【题目详解】A正确：利用“垂直于同一个平面的两条直线平行”及“两条直线有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面”，若m⊥β且n⊥β ，则m//n，又n⊥α，所以m⊥αB错误：若m∥β, ， β⊥α，则C错误：若m⊥n, n∥α，则m可能垂直于平面α，也可能平行于平面α，还可能在平面D错误：若m⊥n ， n⊥β ， β⊥α，则【题目点拨】本题主要考查立体几何中的定理和结论，意在考查学生几何定理掌握熟练程度。3、B【解题分析】

如图，是直角三角形，是等边三角形，，，则与的夹角也是30°，∴，又，∴．故选B．【题目点拨】本题考查平面向量的数量积，解题时可通过平面几何知识求得向量的模，向量之间的夹角，这可简化运算．4、B【解题分析】

首先根据降幂公式以及辅助角公式化简，把带入利用余弦定理以及基本不等式即可．【题目详解】由题意得，为三角形内角所以，所以，因为，所以，，当且仅当时取等号，因为，所以，所以选择B【题目点拨】本题主要考查了三角函数的化简，以及余弦定理和基本不等式．在化简的过程中常用到的公式有辅助角、二倍角、两角和与差的正弦、余弦等．属于中等题．5、A【解题分析】

逐个选项进行判断即可.【题目详解】A选项，因为，所以.当时即不满足选项B,C,D.故选A.【题目点拨】此题考查不等式的基本性质，是基础题.6、C【解题分析】

由题可得数列是以为首相，为公差的等差数列，求出数列的通项公式，进而求出【题目详解】因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，则【题目点拨】本题考查由递推公式证明数列是等差数列以及等差数列的通项公式，属于一般题．7、B【解题分析】

由，可得，解得或，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解，得到答案.【题目详解】设等比数列的公比为，则，可得，解得或，此时数列不一定是递增数列；若数列为递增数列，可得或，所以“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件.故选：B.【题目点拨】本题主要考查了等比数列的通项公式与单调性，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记等比数列的单调性的判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、B【解题分析】

根据变换T(m,n)可生成函数g(x)=mg2(x)-ng1(x)=m(-x2+10x)1【题目详解】由题意可知g(x)=mg又g(4)=2(6-解得m=n=1,所以g(x)=又g(x)=10-x因为y=1x+x-2在x∈[2,10]上单调递减且为正值，y=10-x在x∈[2,10]上单调递减且为正值，所以g(x)=10-x(【题目点拨】本题主要考查了函数的单调性，利用单调性求函数的最大值，涉及创设新情景及函数式的变形，属于难题9、A【解题分析】

根据求解.【题目详解】由题得.故选：A【题目点拨】本题主要考查数列和的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10、D【解题分析】

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.【题目详解】由，为直线，，为平面，知：在A中，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，，则与相交、平行或异面，故B错误；在C中，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；在D中，若，，，则由线面垂直、面面平行的性质定理得，故D正确.故选：D.【题目点拨】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、16【解题分析】

利用分层抽样的性质，直接计算，即可求得，得到答案．【题目详解】由题意，可知共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人，通过分层抽样从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长人数为人．故答案为16【题目点拨】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的概念和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12、【解题分析】

用正弦、正切的诱导公式化简求值即可.【题目详解】.【题目点拨】本题考查了正弦、正切的诱导公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.13、1【解题分析】

根据弧长公式求解【题目详解】因为圆心角所对弧长等于半径，所以【题目点拨】本题考查弧长公式，考查基本求解能力，属基础题14、1【解题分析】

根据等差数列的通项公式把abn转化到a1+(bn-1)【题目详解】S=[=[=na1=4n+n(n-1)故答案为：12【题目点拨】本题主要考查等差数列通项公式和前n项和的应用，利用分组求和法是解决本题的关键．15、或【解题分析】

本题首先可以通过解三角形面积公式得出的值，再根据三角形内角的取值范围得出角的值。【题目详解】由解三角形面积公式可得：即因为，所以或【题目点拨】在解三角形过程中，要注意求出来的角的值可能有多种情况。16、【解题分析】

先令，得到，两式作差，根据等比数列的求和公式，化简整理，即可得出结果.【题目详解】令，则，两式作差得：所以故答案为：【题目点拨】本题主要考查数列的求和，熟记错位相加法求数列的和即可，属于常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、9【解题分析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值.试题解析：由得，则当且仅当时，上式取“=”，所以.考点：基本不等式；构造思想和发散性思维.18、（1）（2）【解题分析】

（1）把两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求两圆的公共弦长；（2）根据圆的切线长与半径的关系代入化简即可得到点的轨迹方程，进而求解.【题目详解】解：（1）由，相减得两圆的公共弦所在直线方程为：，设(0,0)到的距离为，则所以，公共弦长为所以，公共弦长为.（2）证明：由题设得：化简得：配方得：所以，存在定点使得到的距离为定值，且该定值为.【题目点拨】本题主要考查圆的应用.求两圆的公共弦关键在求公共弦所在直线方程；求动点与定点距离问题，首先要求出动点的轨迹方程.19、（1）证明见解析，（2）证明见解析【解题分析】

（1）首先取的中点，连接，.根据已知条件和三角形中位线定理得到，又因为四边形为平行四边形，所以，再利用线面平行的判定即可证明.（2）首先连接，利用线面垂直的判定证明平面，再根据线面垂直的性质即可证明.【题目详解】（1）取的中点，连接，.因为分别为，的中点，所以.又因为，所以.所以四边形为平行四边形，.又因为平面，所以平面.（2）连接，因为，是的中点，所以.因为平面平面，，所以平面.又因为平面，所以.平面.平面，所以.【题目点拨】本题第一问考查线面平行的证明，第二问考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，属于中档题.20、(I)0.045;(II)75;(III)0.7【解题分析】

(Ⅰ)根据频率之和为1，结合题中数据，即可求出结果；(II)每组的中间值乘以该组频率，再求和，即可得出结果；(III)用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求的概率.【题目详解】(Ⅰ)由题意可得：(Ⅱ)各组的频率分别为0.05，0.25，0.45，0.15，0.1，所以可估计全年级的平均分为；(Ⅲ)分数落在[80，90)的人数有3人，设为a，b，c，落在[90，100的人数有2人，设为A、B，则从中随机抽取两名的结果有{ab}，(ac}，{a4}，(aB}，{bc}，(bA}，(bB)，{cA}，{cB)，{AB}共10种，其中至少有一人不低于90分的有7种，故概率为0.7.【题目点拨】本题主要考查由频率分布直方图求参数，以及求均值的问题，同时考查古典概型的问题，熟记古典概型的概率公式，以及均值的求法即可，属于常考题型.21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据题意，求得直线OB的方程，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线OB的距离，之后应用圆中的特殊三角形，求得弦长；（2）根据题意，可判