2024届吉林省长春市19中数学高一第二学期期末质量检测试题含解析

2024届吉林省长春市19中数学高一第二学期期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，，且，则实数等于（）A．-1 B．-9 C．3 D．92．已知三角形ABC，如果，则该三角形形状为（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上选项均有可能3．长方体中的8个顶点都在同一球面上，，，，则该球的表面积为（）．A． B． C．50 D．4．函数的最大值为()A． B． C． D．5．若变量满足约束条件，则的最大值是()A．0 B．2 C．5 D．66．已知角α的终边上有一点P（sin，cos），则tanα=（）A． B． C． D．7．在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若3asinC=A．π6 B．π3 C．2π8．若，且，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．9．函数的部分图像大致为A． B． C． D．10．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：甲：7，7，8，8，1；乙：8，9，9，9，1．若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则（）A．， B．，C．， D．，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.12．______.13．设是等差数列的前项和，若，则___________.14．在中，角A，B，C的对边分别为，若,则此三角形的最大内角的度数等于________．15．函数的图象在点处的切线方程是，则__________．16．数列满足，当时，，则是否存在不小于2的正整数，使成立？若存在，则在横线处直接填写的值；若不存在，就填写“不存在”_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量.（1）若向量，且，求的坐标；（2）若向量与互相垂直，求实数的值.18．设向量．（Ⅰ）若与垂直，求的值；（Ⅱ）求的最小值.19．如图，在直三棱柱中，，，，点N为AB中点，点M在边AB上.（1）当点M为AB中点时，求证：平面；（2）试确定点M的位置，使得平面.20．已知角的终边经过点，且．（1）求的值；（2）求的值．21．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到下表数据：单价（元）销量（件）且，，（1）已知与具有线性相关关系，求出关于回归直线方程；（2）解释回归直线方程中的含义并预测当单价为元时其销量为多少？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

由可知,再利用坐标公式求解.【题目详解】因为,,且,所以,即,解得,故选:C.【题目点拨】本题考查向量的坐标运算,解题关键是明确.2、B【解题分析】

由正弦定理化简已知可得：，由余弦定理可得，可得为钝角，即三角形的形状为钝角三角形.【题目详解】由正弦定理，，可得,化简得，由余弦定理可得：，又，为钝角，即三角形为钝角三角形.故选：B.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.3、C【解题分析】

根据长方体的外接球性质及球的表面积公式，化简即可得解.【题目详解】根据长方体的外接球直径为体对角线长，则，所以，则由球的表面积公式可得，故选：C.【题目点拨】本题考查了长方体外接球的性质及球表面积公式应用，属于基础题.4、D【解题分析】

函数可以化为，设，由，则，即转化为求二次函数在上的最大值.【题目详解】由设，由，则.即求二次函数在上的最大值所以当，即时，函数取得最大值.故选：D【题目点拨】本题考查的二次型函数的最值，属于中档题.5、C【解题分析】

由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果．【题目详解】由题意作出其平面区域，令，化为，相当于直线的纵截距，由图可知，，解得，，则的最大值是，故选C．【题目点拨】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6、A【解题分析】

由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【题目详解】解：∵角α的终边上有一点P（sin，cos），∴x＝sin，y＝cos，∴则tanα，故选A．【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7、A【解题分析】

根据正弦定理asinA=csinC将题干等式化为3sinAsin【题目详解】∵3asinC=3ccosA，所以3sinAsin【题目点拨】本题考查运用正弦定理求三角形内角，属于基础题。8、B【解题分析】

根据不等式性质确定选项.【题目详解】当时，不成立；因为，所以；当时，不成立；当时，不成立；所以选B.【题目点拨】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.9、C【解题分析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，故排除D；当时，，故排除A．故选C．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10、D【解题分析】

分别计算出他们的平均数和方差，比较即得解.【题目详解】由题意可得，，，．故，．故选D【题目点拨】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由题意得出且与不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围.【题目详解】由于与的夹角为钝角，则且与不共线，，，，解得且，因此，实数的取值范围是，故答案为：.【题目点拨】本题考查利用向量的夹角求参数，解题时要找到其转化条件，设两个非零向量与的夹角为，为锐角，为钝角.12、【解题分析】

先令，得到，两式作差，根据等比数列的求和公式，化简整理，即可得出结果.【题目详解】令，则，两式作差得：所以故答案为：【题目点拨】本题主要考查数列的求和，熟记错位相加法求数列的和即可，属于常考题型.13、1.【解题分析】

由已知结合等差数列的性质求得，代入等差数列的前项和得答案．【题目详解】解：在等差数列中，由，得，，则，故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，考查了等差数列前项和的求法，属于基础题．14、【解题分析】

根据大角对大边，利用余弦定理直接计算得到答案.【题目详解】在中，角A，B，C的对边分别为，若不妨设三边分别为：3,5,7根据大角对大边：角C最大故答案为【题目点拨】本题考查了余弦定理，属于简单题.15、【解题分析】由导数的几何意义可知，又，所以.16、70【解题分析】

构造数列，两式与相减可得数列{}为等差数列，求出，让=0即可求出.【题目详解】设两式相减得又数列从第5项开始为等差数列，由已知易得均不为0所以当n=70的时候成立，故答案填70.【题目点拨】如果递推式中出现和的形式，比如，可以尝试退项相减，即让取后，两式作差，和的部分因为相减而抵消，剩下的就好算了。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）【解题分析】

（1）因为，所以可以设求出坐标，根据模长，可以得到参数的方程.（2）由于已知条件可以计算出与坐标（含有参数）而两向量垂直，可以得到关于的方程，完成本题.【题目详解】（1）法一:设，则，所以解得所以或法二:设，因为，，所以，因为，所以解得或，所以或（2）因为向量与互相垂直所以，即而，，所以，因此，解得【题目点拨】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.18、(Ⅰ)2；(Ⅱ).【解题分析】试题分析：(Ⅰ)先由条件得到的坐标，根据与垂直可得，整理得，从而得到．(Ⅱ)由得到，故当时，取得最小值为．试题解析：（Ⅰ）由条件可得，因为与垂直，所以，即，所以，所以.（Ⅱ）由得，所以当时，取得最小值，所以的最小值为.19、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】

（1）推导出，由此能证明平面．（2）当点是中点时，推导出，，从而平面，进而，推导出△，从而，由此能证明平面．【题目详解】（1）在直三棱柱中，点为中点，为中点，，平面，平面，平面．（2）当点是中点时，使得平面．证明如下：在直三棱柱中，，，，点为中点，点是中点，，，，平面，平面，，，，，△，，，，，平面．【题目点拨】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20、（1）；（2）【解题分析】

（1）由利用任意角的三角函数的定义，列等式可求得实数的值；（2）由（1）可得，利用诱导公式可得原式＝，根据同角三角函数的关系，可得结果.【题目详解】（1）由三角函数的定义可知（2）由（1）知可得原式＝＝＝＝【题目点拨】本题主要考查诱导公式的应用以及三角函数的定义，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.21、(1)；(2)销量