2024届潍坊市重点中学高一数学第二学期期末监测试题含解析

2024届潍坊市重点中学高一数学第二学期期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设在中,角所对的边分别为,若,则的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定2．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A． B．5 C．2 D．103．若关于的方程，当时总有4个解，则可以是（）A． B． C． D．4．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积的最大值为()A． B． C． D．5．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①②与成角③与为异面直线④以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④6．如果在一次实验中，测得x,y的四组数值分别是A1,3，B2,3.8，C3,5.2，D4,6，则A．y=x+1.9 B．C．y=0.95x+1.04 D．7．设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A． B． C． D．8．平行四边形中,M为的中点,若.则=()A． B．2 C． D．9．若函数的最小正周期为2，则（）A．1 B．2 C． D．10．某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作．现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的反函数是______.12．已知等比数列an中，a3=2，a13．若Sn为等比数列an的前n项的和，8a14．过点，且与直线垂直的直线方程为．15．已知变量之间满足线性相关关系，且之间的相关数据如下表所示：_____.12340.13.1416．已知向量，.若向量与垂直，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．有一款手机，每部购买费用是5000元，每年网络费和电话费共需1000元；每部手机第一年不需维修，第二年维修费用为100元，以后每一年的维修费用均比上一年增加100元.设该款手机每部使用年共需维修费用元，总费用元.（总费用购买费用网络费和电话费维修费用）（1）求函数、的表达式：（2）这款手机每部使用多少年时，它的年平均费用最少？18．已知向量且，（1）求向量与的夹角；（2）求的值.19．已知函数（1）求的值；（2）求的最大值和最小值.20．已知数列的前项和为，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列的前项和为，求证：.21．△ABC的内角A，B，C所对边分别为，已知△ABC面积为.（1）求角C；（2）若D为AB中点，且c=2，求CD的最大值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.【题目详解】因为，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.【题目点拨】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.2、B【解题分析】试题分析：把圆的方程化为标准方程得，所以圆心坐标为半径，因为直线始终平分圆的周长，所以直线过圆的圆心，把代入直线得；即，在直线上，是点与点的距离的平方，因为到直线的距离，所以的最小值为，故选B.考点：1、圆的方程及几何性质；2、点到直线的距离公式及最值问题的应用.【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、点到直线的距离公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用几何意义，将的最小值转化为点到直线的距离解答的.3、D【解题分析】

根据函数的解析式，写出与的解析式，再判断对应方程在时解的个数．【题目详解】对，，，；方程，当时有4个解，当时有3个解，当时有2个解，不符合；对，，，；方程，当时有2个解，当时有3个解，当时有4个解，不符合；对，，，；方程，当时有4个解，当时有3个解，当时有2个解，不符合；对，，，；方程，当时恒有4个解，符合题意．【题目点拨】本题考查了函数与方程的应用问题，考查数形结合思想的运用，对综合能力的要求较高．4、A【解题分析】

由以及，结合二倍角的正切公式，可得，根据三角形的内角的范围可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根据面积公式可得答案.【题目详解】因为，且，所以，所以，则.由于为定值，由余弦定理得，即.根据基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立.所以.故选：A【题目点拨】本题考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面积公式，属于中档题.5、D【解题分析】由已知中正方体的平面展开图，得到正方体的直观图如上图所示：

由正方体的几何特征可得：①不平行，不正确；

②AN∥BM，所以，CN与BM所成的角就是∠ANC=60°角，正确；③与不平行、不相交，故异面直线与为异面直线，正确；

④易证，故，正确；故选D．6、B【解题分析】

求出样本数据的中心(2.5,4.5)，依次代入选项中的回归方程.【题目详解】∵x∴样本数据的中心为(2.5,4.5)，将它依次代四个选项，只有B符合，∴y与x之间的回归直线方程是y=1.04x+1.9【题目点拨】本题的考点是回归直线经过样本点的中心，而不是考查利用最小二乘法求回归直线方程.7、A【解题分析】，所以复数对应的点为，故选A.8、A【解题分析】

先求出,再根据得到解方程组即得解.【题目详解】由题意得，又因为，所以,由题意得，所以解得所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查平面向量的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9、C【解题分析】

根据可求得结果.【题目详解】由题意知：，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查余弦型函数最小正周期的求解问题，属于基础题.10、D【解题分析】

由题意，男生30人，女生20人，按照分层抽样方法从中抽取5人，则男生为人，女生为，从这5人中随机选取2人，共有种，全是女生的只有1种，所以至少有1名女生的概率为，故选D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、，【解题分析】

求出函数的值域作为其反函数的定义域，再由求出其反函数的解析式，综合可得出答案.【题目详解】，则，由可得，，因此，函数的反函数是，.故答案为：，.【题目点拨】本题考查反三角函数的求解，解题时注意求出原函数的值域作为其反函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.12、4【解题分析】

先计算a5【题目详解】aaa故答案为4【题目点拨】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.13、-7【解题分析】设公比为q，则8a1q=-a114、【解题分析】

直线垂直表示斜率乘积为-1，所以可得新直线斜率，代入点即可．【题目详解】直线的斜率等于-1，所以与之垂直直线斜率，再通过点斜式直线方程：，即．【题目点拨】此题考查直线垂直，直线垂直表示两直线斜率之积为-1，属于简单题目．15、【解题分析】

根据回归直线方程过样本点的中心，代入数据即可计算出的值.【题目详解】因为，，所以，解得.故答案为：.【题目点拨】本题考查根据回归直线方程过样本点的中心求参数，难度较易.16、7【解题分析】

由与垂直，则数量积为0，求出对应的坐标，计算即可.【题目详解】，，，又与垂直，故，解得，解得.故答案为：7.【题目点拨】本题考查通过向量数量积求参数的值.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）这款手机使用年时它的年平均费用最少【解题分析】

（1）第年的维修费用为，根据等差数列求和公式可求得；将加上购买费用和年的网络费和电话费总额即可得到；（2）平均费用，利用基本不等式可求得最小值，根据取等条件可求得的取值.【题目详解】（1）则（2）设每部手机使用年的平均费用为则当，即时，这款手机使用年时它的年平均费用最少【题目点拨】本题考查构造合适的函数模型解决实际问题，涉及到函数最值的求解问题；解决本题中最值问题的关键是能够得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得和的最小值.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）利用平面向量的数量积的运算法则化简，进而求出向量与的夹角；（Ⅱ）利用，对其化简，代入数值，即可求出结果．【题目详解】解：（Ⅰ）由得因向量与的夹角为（Ⅱ）【题目点拨】本题考查平面向量的数量积的应用，以及平面向量的夹角以及平面向量的模的求法，考查计算能力．19、（1）；（2），.【解题分析】

（1）直接将值代入即可求得对应的函数值.（2）将函数化简为的形式，并求出最大值，最小值【题目详解】（1）.（2），当时，取得最大值；当时，取得最小值.【题目点拨】本题主要考查了求三角函数值、三角恒等变换以及三角函数的性质，属于基础题.20、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）先利用时，由求出的值，再令，由，得出，将两式相减得出数列为等比数列，得出该数列的公比，可求出；（2）利用对数的运算性质以及等差数列的求和公式得出，并将裂项为，利用裂项法求出，于此可证明出所证不等式成立.【题目详解】（1）由题可得.当时，，即.由题设，，两式相减得.所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故.（2），则，所以因为，所以，即证.【题目点拨】本题考查利用求通项，以及裂项法求和，利用求通项的原则是，另外在利用裂项法求和时要注意裂项法求和法所适用数列通项的基本类型，熟悉裂项法求和的基本步骤，都是常考题型，属于中等题．21、（1）（2）【解题分析】

（1）根据，由正弦定理化角为边，得