贵州省遵义第二教育集团2023年高三第五次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知£，£分别为双曲线c：三-3=1的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点

12

12。2

P,若"FF的面积为空^从，则双曲线的离心率为（）

123

A.串B.2C.4D.3

x+y<4

y+2

2.点P（x,y）为不等式组所表示的平面区域上的动点，则J的取值范围是（）

八x-2

y>0

A.（-<»,-2）U（1,-KO）B.C,（-2,1）D,[-2,1]

3.在平面直角坐标系xOy中，将点A（1,2）绕原点。逆时针旋转9（）。到点8,设直线03与X轴正半轴所成的最小正

角为a,则casa等于（）

_2邪R一606_2

A.D•■1x-z•1D.

55-5

4.设复数z满足M」=z-2i(i为虚数单位)，则z=()

1

13.13.13.13.

A.———1B.■—+—1C.一彳一―D.——+—i

22222222

5.设抛物线C:y2=2Px（p>0）的焦点为尸,抛物线C与圆C'：心+（y-我2=3交于两点，若IMN1=则

AMNE的面积为（）

A,显C36D.3⑪

B.-

88,84

6.设椭圆E：上+上=1（。〉匕>0）的右顶点为A，右焦点为尸，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线8尸交

Q2172

直线AC于且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（)

7.已知函数/（x）=x+a・2*,g（x）=lnx—4/2-x,若存在实数x,使.f（x）-gG）=5成立，则正数4的取值

000

范围为（）

A.（0,1]B.（。，41c.[1>+℃）D,（0,ln2]

8.设曲线V=a（x—1）—Ex在点（1,0）处的切线方程为y=3x—3,则。=（）

A.1B.2C.3D.4

9.对于定义在R上的函数y=/G）,若下列说法中有且仅有一个是错误的，则里送的一个是（）

A./（X）在（F，o]上是减函数B./（X）在（0,仔。）上是增函数

C./（尤）不是函数的最小值D.对于xeR,都有/（尤+1）=/（1-尤）

10.若（1-2x>的二项展开式中X2的系数是40,则正整数〃的值为（）

A.4B.5C.6D.7

11.已知双曲线'-四=l（a>0,6>0）的左焦点为/，直线/经过点尸且与双曲线的一条渐近线垂直，直线/与双曲

线的左支交于不同的两点A,B,若AF=2FQ，则该双曲线的离心率为（）.

A.匹B.叵C.江

D.

323

12.设全集U=K,集合A={xlx2-3x-4>0},则QA=（)

A.{xl-1<r<4}B.{xl-4<r<l}C.{xl-lSv<4}D.{xl-4Sx<l}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.给出以下式子：

@tan250+tan35°+小tan25°tan35°；

②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）；

…1+以〃15°

（3）---------------------

l-tanl50

其中，结果为出的式子的序号是.

X2V2

14.已知椭圆一+二_=1的下顶点为A,若直线x="+4与椭圆交于不同的两点M、N,则当/=___时，^AMN

164

外心的横坐标最大.

15.根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问

题.现有AABC满足“勾3股4弦5”，其中“股"AB=4,。为“弦”上一点（不含端点），且A4BO满足勾股定理,

则（CB-C4）AD=.

16.在△•C中，8C为定长，|A"+2AC=3BC，若心回。的面积的最大值为2,则边8C的长为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图1,A4DC与ZVWC是处在同.个平面内的两个全等的直角三角形，

ZACB=ZACD=3O»ZABC=ZADC=90»,AB=2,连接是8。，E边8c上一点，过E作EF//BD,交.CD

于点F,沿E/将ACEF向上翻折，得到如图2所示的六面体P-ABEED,

（1）求证：BDJ.AP;

（2）设诙=入反（入eR）,若平面PEF工底面ABEFD,若平面PLB与平面PDF所成角的余弦值为《，求入的

值；

（3）若平面PEF上底面ABEFD,求六面体P-ABE&）的体积的最大值.

18.（12分）如图，在正四棱锥尸-ABQ）中，PA=AB=&,悬M、N分别在线段孙、BD上,BN*BD.

（1）若PM,求证：MNLAD；

（2）若二面角M-3£>-A的大小为生,求线段MN的长.

4

19.（12分）如图，在长方体ABC。一Agqq中，AB=23C=2A4|=4,f为的中点，N为BC的中点,

M为线段*上一点,，且满足就总咕，口为加。的中点、.

（1）求证：E/7/平面。OC；

（2）求二面角"一。。—F的余弦值

20.（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合

格,，“不合格,，两个等级，同时对相应等级进行量化：，，合格，，记5分，“不合格，，记。分.现随机抽取部分学生的答卷，统

计结果及对应的频率分布直方图如下：

等级不合格合格

得分[20,40][40,601[60,80][80,100]

频数6a24b

（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；

（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得

分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；

（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，

记所选4人的量化总分为求1的数学期望E&）.

21.（12分）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机

支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，

从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金（单位：元）如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下

（不含10（）元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.

男性女性

035

7408

885535

20605男性女性合计

870

手机支付旅

38558

095非手机支付族

85OOO1000

98220115合计

50001208

55420130

6610145

54320156

5015

（1）根据上述样本数据，将2x2列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关？

（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为《，求随

机变量&的期望和方差;

（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：

手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为;，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次

打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优

惠方案更划算？

附：

P(K2>k)0.0500.0100.001

0

k3.8416.63510.828

0

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(”+c)(b+d)

22.(10分)已知函数/(x)=sincox+cos(cox+j其中XER,①〉0.

（1）当3=1时，求的值;

八兀

（2）当/（X）的最小正周期为兀时，求在0,-上的值域.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据题意，设点在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.

【详解】

由题意，设点？('，')在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为y=

h

所以，y二—工，

oa0

又以勺々为直径的圆经过点「，贝=即x;+y;=c2,解得，yQ=b,

所以，S=l-2c-y=°/=型。2,即c=即C2=：、2-42),

叼心2o333

所以，双曲线的离心率为e=2.

故选：B.

【点晴】

本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出。与。的关系，属于基础题.

2.B

【解析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z的几何意义即可得到结论.

【详解】

》+属4

不等式组,芯》作出可行域如图：44,0),5(2,2),(9(0,0),

玲0

v+2

Z=-一的几何意义是动点P(K，y)到。(2,-2)的斜率，由图象可知QA的斜率为1,。。的斜率为：-1,

x-2

y+2..

则^一V的取值范围是：(-8,,+00).

x-2

故选：B.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键.

3.A

【解析】

设直线直线。4与x轴正半轴所成的最小正角为B,由任意角的三角函数的定义可以求得sin。的值，依题有

0A10B，则a=P+90,利用诱导公式即可得到答案.

【详解】

如图，设直线直线。4与％轴正半轴所成的最小正角为B

因为点A(L2)在角P的终边上，所以sin0=2_24

J12+225

依题有OA1OB，则a=B+90,

所以cosa—cos(p+90)=—sinp-......,

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.

4.B

【解析】

易得.言，分子分母同乘以分母的共短复数即可.

【详解】

2+i(2+i)(l+i)l+3i13.

由已知,Z—i=zi+2,所以z_+_i.

口―2~1~22

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

5.B

【解析】

由圆C'过原点，知”，N中有一点M与原点重合，作出图形，由==悭叫=«,得C'M上CN,

九

从而直线MN倾斜角为了，写出N点坐标，代入抛物线方程求出参数。，可得尸点坐标，从而得三角形面积.

【详解】

由题意圆C'过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为如图，

由于=C'MNC'MN=q,NNOx=],

.•.点N坐标为（小；/），代入抛物线方程得（VT）2=2px/,P=#，

/（立,0）,S=l|MF|xy=LX^XJ3=-.

4bFMN21IN248

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点。是其中一个交点，从而是等腰直角三角形，于是可得N

点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解.

6.C

【解析】

\0F\11

连接OM,0M为AA6C的中位线，从而'OFM-,且晨f=不，进而c—=由此能求出椭圆的离心

\FA\2a-c2

率.

【详解】

如图，连接0M,

•.•椭圆£：±+r=l（a>8>0）的右顶点为4,右焦点为G

8、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B在第二象限，

直线交直线AC于M,且M为AC的中点

0M为AA6C的中位线,

|0F|1

AaM-AAFB,且昌=不，

制2

c1

・•-----=一,

a-c2

c1

解得椭圆£的离心率6=—二不.

a3

故选：C

【点睛】

本题考查了楠圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.

7.A

【解析】

根据实数X满足的等量关系，代入后将方程变形a2。+47•2-玉=hu+5r构造函数/2（刀）=限+5-%,并由

000

导函数求得"（X）的最大值；由基本不等式可求得必2%+47-2飞的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a

的取值范围.

【详解】

函数/(X)=x+a-2x,g(x)=lnx-4a-2-*,

由题意得了（/）一8（%）=%+。20一叱+而2%=5,

即。・2\)+4<7・2-％=lnx+5-x

oo

令〃(x)=lnx+5-x,

1=4,

XX

〃(x)在(0,1)上单调递增，A+8)上单调递减，

=〃(1)=4,而a.4+4?.2-%T勿J2\02-%=4«,

maxV

当且仅当2%=4-27，即当％=1时，等号成立，

4a«4,

/.0<<7<1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.

8.D

【解析】

利用导数的几何意义得直线的斜率，列出。的方程即可求解

【详解】

因为y'=。一一，且在点（1，0）处的切线的斜率为3,所以。-1=3,即a=4.

x

故选：D

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题

9.B

【解析】

根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可.

【详解】

由/（X+1）=/（I—X）得/（X）关于X—1尔，

若关于X=1对称，则函数/（X）在（0,+00）上不可能是单调的，

故错误的可能是8或者是。，

若。错误，

则/（x）在（-8,0］上是减函数，在/（X）在（0,+8）上是增函数，则/（0）为函数的最小值，与C矛盾，此时C也错误,

不满足条件.

故错误的是B,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.

10.B

【解析】

先化简（1—2x＞的二项展开式中第r+1项T2x）,然后直接求解即可

r+1n

【详解】

（1—2x）的二项展开式中第r+1项T2x）.令r=2,则T=C2・（—2x1,402=40,〃=-4

r+1n3n〃

（舍）或"=5.

【点睛】

本题考查二项展开式问题，属于基础题

11.A

【解析】

,b__

直线I的方程为x=_y-c,令。=1和双曲线方程联立，再由4尸=2FB得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.

a

【详解】

b

由题意可知直线I的方程为x=—y-c,不妨设a=l.

a

则x=Oy_c,且抗=c2-l

-22=1中，得至|jC?4一1）丫2—2。30+匕4=0

将x=勿一C代入双曲线方程X2

bi

设4（x,y）,B（x,y）

1]22

2b3cZ?4

则y+y=-；一-y=-；一

12加一112枚一1

2b3c

如八一加-1

由MF=2而,可得乙=一2匕,故1,

一2y2=-----------

2^4-1

,1

则882c2=1-Z?4,解得加=X

y

则C=+1=2^^

所以双曲线离心率e=£=①

a3

故选：A

【点睛】

此题考查双曲线和直线相交问题联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.

12.C

【解析】

解一元二次不等式求得集合A,由此求得匕A

【详解】

由X2-3x-4=（x-4）（x+1）>°,解得x<-l或x>4.

因为A={xlx<-1或x〉4},所以CA={xI—1<x<4}.

im：C

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.①②③

【解析】

由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.

【详解】

tan25°+tan35°

①Vtan6O0=tan(25°+35°)=事,

\-tan25°tan35°

tan250+tan35°+J3tan25°tan350；

=73(1-tan25°tan35°)+tan25°tan35°,

=事，

(2)2(sin35ocos250+cos35ocos650)=2(sin35°cos250+cos35osin250),

=2sin60°=O；

1+伍〃15°tanA5°+tan\50

③=tan(45°+15°)=tan600=y/3；

\-tan\501-m/?45°ton45°

故答案为：①②③

【点睛】

本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.

14.2-272

【解析】

由已知可得A、M的坐标，求得4〃的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得"N的垂直平分线方

程，两垂直平分线方程联立求得A4MN外心的横坐标，再由导数求最值.

【详解】

如图,

由已知条件可知4（0，-2）,不妨设M（4,0）,则A4MN外心在A"的垂直平分线上,

即在直线丁+1=-2（%-2）,也就是在直线y=-2x+3上，

x=(y+4

得y=0或y=一含G<0),

联立1元2V2

一+—=1

1164

164/

・・・MN的中点坐标为

0+4S+4

4f

TX」

则颉的垂直平分线方程为y+K(r2+4

cc—3,+6

把)，=3+3代入上式，得X=E

令g(,)==，则(,)=3屋一4)

/2+40("+4)2

由g'G)=O,得”2+2/(舍)或f=2-2衣.

当t＜2-2显时，g'G）＞0,当2-2播＜f＜0时,g'G）＜0.

当t=2—24时，函数y=g。）取极大值，亦为最大值.

故答案为：2-24.

【点睛】

本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题.

144

15,~25

【解析】

先由等面积法求得4。，利用向量几何意义求解即可.

【详解】

3x412

由等面积法可得A。=亏=5，依题意可得，AD1BC,

所以•而=荏.而=1而『144

144

故答案为:

~25

【点睛】

本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.

16.2

【解析】

设BC=a,以B为原点，BC为x轴建系，则B（0,0）,C（a,O）,设A（x,y）,"0,

|AB+2AC|=|（2a-3x,-3y）|=3a,利用求向量模的公式，可得一个f+>2=必（"0）,根据三角形面积公式

进一步求出。的值即为所求.

【详解】

解：设BC=a,以3为原点，BC为x轴建系，则B（0,0）,C（a,0）,设A（x,y）,尸0,

则2Aq=|（2〃-3x,-3y）|二JSa-Bx）2+9y2=3a,

即+产=〃2（y。0）,

\3）

由工诙=9°叶可得郛l"?=2.

则BC—a—2,

故答案为：2.

【点睛】

本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）证明见解析（2）入=；（3）生®

49

【解析】

（1）根据折叠图形，BD1AC,PN±BD,由线面垂直的判定定理可得BD，平面PAN,再根据APu平面PAN,

得到BD1AP.

（2）根据尸NJ.ER所J_AC,以N为坐标原点，24,NE,NP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，根据

AD=2,BD=BC=2#,AM=T,CM=3,8左=入后。可知，跖=这,PN=CN=上，表示相应点

AB

1+九1+A

cos/m,»\|=-----^=^1===—求解

的坐标，分别求得平面的与平面。EP的法向量，代入♦力6d12+5+1》5求解•

(3)设所求几何体的体积为V,设CN=x(0<x<3)为高，则同V=W「，表示梯形BE正。和△A5O的面积由

3

2g+Wj（3—x）

3i_=也(—3+12x),再利用导数求最值.

V=-x-----------------<---------+-x2J3x1

322丫9

【详解】

(1)证明：不妨设EF与AC的交点为与AC的交点为M

由题知，CD=BC,ZDCA=NBCA=30°,则有BD_l_AC

又BDUEF,则有石尸，AC

由折叠可知，PN1EF,所以可证PN1BD,

由ACcPN=N,ACu平面PAN,PNu平面PAN,

则有BD，平面PAN

又因为APu平面PAN,

所以8DLAP....

(2)解：依题意，有PNJ.EF,平面PEF工平ABEFD面,

又PNu平面PEF,

则有PN_L平面ABEFD,PN1AC,又由题意知，EF1AC

如图所示：

以N为坐标原点，为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系

由题意知AB=AD=2,BD=BC=2JT,AM=1,CM=3

由=可知,

3

EF*PN=CN

1+九

则N(0,0,0),心,0,告Mg.0,0

BfA,^,4Ff0,"FT,4£>frT

U+A)I1+AJ11+九

,B(4X+1c3(3九63

则有AP+

I1+A1+A

设平面,与平面切尸的法向量分别为加=),〃=)

-(4入+l)x+3z=0()

^APm=01

则有,=><_X_=>优=U,y/3,4X+1/

BPm=0-寿大x-(x+l)y+y/3z=0

FPn=0y/3y+3z=0(片)

则〈—

[DP-71=0一九x-d3\l+^.)y+3z=0

222

/----\|5-4A,|事

所以H的卜国［QL「歹

因为入W(0,1),解得入="7

（3）设所求几何体的体积为V,设CN=x（0<x<3）,

则RV=X_x,

3

2/+生x（3-x）

：.V=Lx2__________1_____+lx2J3xl

322V

=卒［（$+1）（3—x）+l

马」］

3I3J

=且（—X3+12X）

9

vV'=--4）=-^^（X-2）G+2）

.•.当0cx<2时，V'>0,当2<x<3时，V'<0

.•.V（x）在（0,2）是增函数，在（2,3）上是减函数

.,.当X=2B寸，V有最大值，

即V=近（—8+12x2）="4

max99

：・六面体P-A£3ED的体积的最大值是吧叵

9

【点睛】

本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化,二面角的向量求法和空间几何体的体积，还考查了转化化归的

思想和运算求解的能力，属于难题.

J22

18.（1）证明见解析；（2）.

6

【解析】

试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC、BD交点为O,则以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为

/轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题.（1）只要证明脑门A力=0即可证明垂直；（2）设

n+4/?：°.［了=。\‘户『一”小一邛/1"丫二川

-4a+2"c=0［入x-y+（l-入）z=0心一）十九?42\（2）\3）UJI3J6

得M（L0,1-X）,然后求出平面MBD的法向量”，而平面ABD的法向量为。户，利用法向量夹角与二面角相等或

互补可求得义.

试题解析：（1）连结AC、BD交于点O,以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐

标系.

因为PA=AB=>/2,

则A(L0,0),B(0,1,0),D(0,一1,0),P(0,0,1).

由BN=；BD,得N(O,；,O),

由=得

1—.(112、——

所以+AD=(-1,-1,0).

因为MMS力=0,所以MN_LAD

⑵解：因为M在PA上，可设PM=kPA,得MQ,0,1-X).

所以BM=(入,-1,1-X),BD=(0,-2,0).

设平面MBD的法向量〃=(x,y,z),

n-BD=0—2y=0

由＜.，得九x-y+(l—九)z=0

〃BM=0

其中一组解为x=N—1,y=0,z=X,所以可取〃=（九-1,0,X）.

因为平面ABD的法向量为。户=（0,0,1）,

nn-OPJ2X1

所以85彳=「：-「L闩，即:="、，解得入=K，

4M。々2心工+屹2

从而N（0,；,0）,

考点：用空间向量法证垂直、求二面角.

19.（1）证明见解析（2）一丝g

35

【解析】

⑴解法一：作RD的中点〃，连接,FH.利用三角形的中位线证得E7/〃Ay,利用梯形中位线证得尸”〃CD,

由此证得平面4℃〃平面£77尸，进而证得所〃平面。OC.解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线EE的方

向向量和平面\DC的法向量垂直，证得EF〃平面.

（2）利用平面々CN和平面法向量，计算出二面角N-qc-F的余弦值.

【详解】

⑴法一：作q。的中点H,连接可.又E为AR的中点，L为丝。/乙的中位线，.•.£7/〃。。，又

F为MC的中点，.•.FH为梯形DDCM的中位线，；.FHHCD,在平面ADC中，CD=D,在平面£7"

中，四「尸"="，；•平面々DC〃平面又所u平面〃平面.

另解：(法二)•.•在长方体A3CD-ARCR中，DA,DC,两两互相垂直，建立空间直角坐标系。一盯z如

图所示，

则0(0,0,0),4(2,0,0),8(2,4,0),

C(0,4,0),D(0,0,2),A(2,0,2),

11

5(2,4,2),C(0,4,2),E(l,0,2),

1I

N(l,4,0),M(0,3,2),尸(04，斗

(1)设平面々DC的一个法向量为加=(x,y,z),

m-AD=0](x,y,z)・(-2,0,-2)=0[x+z=0

则〈__L_=>S=><,

m-AC=0(x,y,z)・(一2,4,—2)=0元-2y+z=0

i

令X=l,则Z=-1,y=0..•.而=(1,0,-1),又E户=-1),

；EH=0,EF1m,又ERU平面qoc,£F〃平面々OC.

(2)设平面ACN的一个法向量为/i=G,y,Z),

II1I

n-AN=0G,z)-(-1,4,-2)=0卜-4y+2z=0

则1n<G,y,z)•(—2,4,-2)=0=冗一2y+z=0

n-AC=0iiii，

令y=l,则z=2,x=0..\Z=(0,1,2).

同理可算得平面的一个法向量为加=(3,2,1)

11

又由图可知二面角N-A|C-尸的平面角为一个钝角,

故二面角-N的余弦值为_坐.

【点睛】

本小题考查线面的位置关系，空间向量与线面角，二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解

能力，数形结合思想，化归与转化思想.

23

20.(1)64,65；(2)—；(3)E0=12.

【解析】

(1)根据频率分布直方图及其性质可求出。，4c,平均数，中位数;

(2)设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件A,“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B，由条件概率公

P(AB)

式P(8IA)=可求出;

P(A)

(3)从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈,其中，，不合格，，的学生数为而x10=4,“合

格”的学生数为6；由题意可得&=0,5,10,15,1,利用“超几何分布”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列

与数学期望.

【详解】

由题意知，样本容量为cm?cc=60,b=60x(0.01x20)=12,

0.005x20

1Q

0=60-6-12-24=18,c=------=0.015.

60x20

(1)平均数为(30x0.005+50x0.015+70x0.02+90x0.01)x20=64,

设中位数为％,因为0.005x20+0.015x20=0.4<0.5,0.005x20+0.015x20+0.02x20=0.8>0.5,所以

xe(60,80),则0.005x20+0.015x20+(x-60)x0.02=0.5,

解得x=65.

（2）由题意可知，分数在［60,80）内的学生有24人，分数在［80/00］内的学生有12人.设“第1次抽取的测试得分

低于80分”为事件A,“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B,

24224x2346P(AB)_23

贝|JP(A)===才，P(4B)=需，所以P(8I4)=

36336x35P(A)一或

24

（3）在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人,则“不合格,，的学生人数为而x10=4,

，，合格，，的学生人数为10-4=6.

由题意可得1的所有可能取值为0,5,10,15,1.

任八o1?c3cl24小.八C2c290

P(1=0)=一U=---,尸(&=5)=..46.=---------,P(&=10)=—4_6-

C4210C4210。4210

101010

n/匕ic℃380〜匕C415

%=15)=胃=丽,即=2。)=4=而

1010

所以己的分布列为

自0510151

1249