高等数学数一微积分六章

6章多元函数积分考情分考点重要程度分级表（根据近年真题涉及考点统计得出大纲6章多元函数积分考情分考点重要程度分级表（根据近年真题涉及考点统计得出大纲考点串—二重积—二重积分(一)二重积分的概★(二)二重积分的性(三)二重积分的计(四)二重积分的应二三重积分(一)三重积分的概★(二)三重积分的性★(三)三重积分的计算(四)三重积分的应三对弧长的曲线积分（第一类曲线积分(一)对弧长的曲线积分的概念与性(二)对弧长的曲线积分的计(三)对弧长的曲线积分的应★四对坐标的曲线积分（第二类曲线积分(一)对坐标的曲线积分的概念与性(二)对坐标的曲线积分的计(三)两类曲线积分间的关★(四)格林公式及其应(五)对坐标的曲线积分的应★五对面积的曲面积分（第一类曲面积分(一)对面积的曲面积分的概念与性(一 二重积分的概 二重f(xyDDn1,n，其中(一 二重积分的概 二重f(xyDDn1,n，其中ii个小闭区域，也表示它的面积.在每一个inf(i,i)i.一点(i,i，作乘f(i,i)i(i1,n)，并作Df(x,nf(x,y)dlimf(i,i)di0DD几何意f(x,一定存在zf(xyD的边界为准线，母线平行于z轴的柱面的曲顶柱体的体积.=xOy平面上方的曲顶柱体的体积xOy平面下方的曲顶柱体的体积侧面是以f(x,D(二 二重积分的性f(xyg(x,yD设（1）线性f(x,y)g(x,y)df(x,y)dg(x,y)d，kf(x,y)dkf(x,y)dDDDDD（2）表示测度dAAD的面积DDf(x,y)df(x,y)df(x,.f(xyg(x,yDf(x,y)dg(x,D.Df(x,Df(x,y)dD上至Df(x,Df(x,y)dD上至少存在一点(,)，使f(x,y)df(,)D（6）（二重积分对称性定理）若积分区Dx轴对称，f(x,y)f(x,f(x,y)f(x,Df(x,y)dxdy f(x,D1D1Dx轴上方或下方的部分f(x,y)f(x,Df(x,y)dxdy f(x,y)dxdy,f(x,y)f(x,D1D1Dy轴左方或右方的部分f(y,x)f(x,Df(x,y)dxdy f(x,y)dxdy,f(y,x)f(x,D(三 二重积分的计 D:ax(x)y则2 (If(x,y)dxdy f(x,y)dy2 D推论估值定理）D上mf(xyMADmAf(x,y)dDD:cyd(y)x(则2 (ID:cyd(y)x(则2 (If(x,y)dxdy f(x,2. D2.利用极坐标计算二重D可用不等式：,1(r2(来 (D,r)rddr f(rcos,rsin)f(x,y)dxdy f(rD2 1(D可用不等式0r(（2）OD(f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rddrd DD（3）OD内，此( d f(rcos,rsin)0DD(四 二重积分的应 几何应 z在xOy平面上的投影区域，函f(xyDA 1[f(x,y)]2[f(x,y)]2xyD（1）Df(x2y2的形式，一定用极坐点（2）D的形心(xyy xD,.DD 物理应(x,M（2）D的形心(xyy xD,.DD 物理应(x,M(x,y)dxdyD（2）该薄片的质心坐标(x,yx(x,y(x,Dx,yD(x,(x,.DDy2(x,y)dxdyDIx2(x,y)dxdyD(axby2(x,l:axbycI.la2DFx,Fy（4）该薄片对质点的引力Gm(x,y)(xx0 dxdy,Gm(x,y)(yy0 dxdy. FF33DD二三重积(一 三重积分的概 三重f(xyz是空间闭区域上的有界函数，将任意分成定义设v1,v2nn，并作和f(i,i,ivi，如果当(i,i,i，作乘积f(i,i,ivi(i1,小闭区域直径中的最大值趋于零时和式的极限总存在（与vi的分法及(i,i,if(x,y,z)dvn即小闭区域直径中的最大值趋于零时和式的极限总存在（与vi的分法及(i,i,if(x,y,z)dvn即f(xyz)dvlimf(i,i,i.0定理f(xyz在闭区域f(xyz)dv一定存在的体密度为设有一物体在空间占有闭区域，在点y,y,y,(x,y,在M上连续，则该物体的质量(二三重积分的f(x,yz在闭区域是的体积，则至少存在一点(,,f(x,y,z)dvf(,,)(三 三重积分的计算 z(x,y2f(x,y,z1(x,yf(x,y,z)dv x(y,z2f(x,y,x1(y,zy(x,z2f(x,y,y1(x,z.D内任取一点(xy)，过空间点(x,y0)z轴的平行直线，该直线交M1(xyz1(xyM2xyz2xy.z1(xyz2xyz2(x,yI f(x,y,z)dv f(x,y,z(x,1Dz2(x,yI f(x,y,z)dv f(x,y,z(x,1D②在D内任取一点(x,z，过空间点(x0,z)y轴的平行直线，该直线交的边界y1(x,z)y2xz，y2(x,zI f(x,y,z)dv f(x,y,y(x,z1DD内任取一点yz，过空间点(0,yzx轴的平行直线，该直线交x2(I f(x,y,z)dv f(x,y,x(y,z1Dd dzf(x,y,cD(zf(x,y,z)dvb f(x,y, aD(n f(x,y,D(ym如果积分区域z①将z轴投影得投影区间cdzcd，过点(0,0,zz轴的垂直平面，该平面 D(z)，点dI f(x,y,z)dv dzf(x,y,cD(z①将ydI f(x,y,z)dv dzf(x,y,cD(z①将y轴投影得投影区间mny(mn，过点(0,y0)y轴的垂直平面，该平面截D(y)，nI f(x,y,z)dv f(x,y,mD(y①将x轴投影得投影区间abxab，过点(x0,0)x轴的垂直平面，该平面 D(x)，bI f(x,y,z)dv f(x,y,aD(利用柱坐标计算三重积柱坐标系下的体积元素dvrdrddzIdrdrf(rcos,rsin,z)dzrz(rf(x,y,z)dv f(rcos,r f(rdz 22,r,z(r, 利用球坐标计算三重积xrsincos,yrsinsin,zrcos（2）球坐标系下的体积元素dvr2成的立体，而被积函数形如f(x2y2,z)时，一般采用柱坐标来计算三重积分.Iddf(rsincos,rsinsin,rcos)r2.等（4）若空间区域可以用不式：r1(,rr2,),1(2(Iddf(rsincos,rsinsin,rcos)r2.等（4）若空间区域可以用不式：r1(,rr2,),1(2(),表示f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sin (r( sinf(rsincos,rsinsin,rcos)r2dr22 (四 三重积分的应上连续.若在空间点M0x0y0z0处有一质量为m的质点（1）该物体的质心坐标x,yz)x(x,y,y(x,y,z(x,y,x,y,z.(x,y,(x,y,(x,y,Ix(y2z2)(x,y,Iy(x2z2)(x,y,Iz(y2x2)(x,y,z绕直线l:x ymnp2(x,y,Ilm2n2Fx,Fy,Fz为（3）该物体对质点的引力 xx0 yy0 当f(x2y2z2时，一般用球坐 (x,y, Fx32(x)(yy)(zz22200 (x,y,z)( F32(x)(yy)(zz) (x,y, Fx32(x)(yy)(zz22200 (x,y,z)( F32(x)(yy)(zz)22200 (x,y,z F3（4）空间立体的形心x,yz)x,y,z.三对弧长的曲线积分（第一类曲线积分(一 对弧长的曲线积分的概念与性 对弧长的曲线积分的定f(x,M1,M2Mn1L分成n个小,Mi1Mi ,Mn1Mn(M0A,MnB)M0M1,M1M2f(1,i)si记sin并作和f(i,isi，如果当各弧段的长度的最大值0时，该和的极限总存在（的分法及点(i,i)的取法无关f(xyL对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作Lf(xy)dsn,)sf(x,y)ds f Lf(xyz在空间曲线弧上对弧长的曲线积分 对弧长的曲线积分的存在Lf(xyL上对弧长的曲线积分存在当 f(xy)dsf(xy)ds（LL方向相反的弧段LL Ln，（4）线性f(xy)dsf(xy)ds（LL方向相反的弧段LL Ln，（4）线性Lf(x,f(x,y)dsf(x,y)ds f(x,y)dsLL12nLf(x,y)g(x,y)dsLf(x,y)dsLg(x,y)ds，Lkf(x,y)dskLf(x,y)ds(二 对弧长的曲线积分的计xtf(xyy设f(x,y)ds fx(t), x'2(t)y'2(t)dtLx(t),y(t)在区间上有连续导数，且x'2ty'2t)0(三 对弧长的曲线积分的应xOyL，其上点(xy(xy)(xyL上连续,（1）该物体的质心坐标(x,yxLx(x,y)ds yLy(x,L(x,L(x,(axbyl:axbycIl(x,y)dsa2四对坐标的曲线积分（第二类曲线积分(一 对坐标的曲线积分的概念与性 对坐标的曲线积分的定LxOyAB为端点的有向光滑（或逐段光滑）P(xy),Q(xyL上有界L内任意插入n1个点M1(x1L利用定积分计算第一类曲线积分时，定积分的上限必须大于下限(M0A,MnB)M0M1,M1M2,Mi1Mi,上任取一点(i,(M0A,MnB)M0M1,M1M2,Mi1Mi,上任取一点(i,i).记xixixi1yin的最大值0时，P(i,ixi的极限总存在（Mi1Mi的分法及点(i,iP(xy)Lxn(i,i)的取法无关称此极限值为函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分记作LQ(xy)dy，nP(x,y)dx P()x LnLQ(x,y)dy Q(,)y i上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧nlimP(i,i,i)R(i,i,i)ziQ(i,i,i)0 对坐标的曲线积分的存在.L 其他性质类似于对弧长的曲线积分(二 对坐标的曲线积分的计x而且t对应于有向曲线 LLytL的终点（不一定大于P(x,y)dxQ(x,y)dy Px(t),y(t)x(t)Qx(t),ytL的终点（不一定大于P(x,y)dxQ(x,y)dy Px(t),y(t)x(t)Qx(t),y(t)y(t)''，Lx(ty(t在区间（或,）上有连续导数，且x'2ty'2t)0(三 两类曲线积分间的关M(xyL上的任一点，0LML方向一致的单位切向 dx,cos,cos0LPdxQdyL(PcosQcos)ds(四 格林公式及其应 格林公D是一平面有界闭区域，LD定理的边界曲线，LQPdxdyP(x,y)dxQ(x,y)dyyD 原函数的求法（二元函数全微分求积p(xy)dxQ(xy)dydu(x,y，则Px,y)dxQx,y)dy为函数u(xyP(xy)dxQ(xy)dy的一个原函数微分，而函数u(xyP(x,y)dxP(xyQ(xy在单连通区定理DQPQ(xy)dy为函数u(xyD内恒有 推论（平面曲线积分与路径无关的条件P(xyQ(xy在单连D D内任意简单闭曲线的曲线积分值为零）的充要条件是xy (x,y)D点L的起点，上限必须对应有向曲线弧L的终点.函数u(xyxyxyu(x,y) P(x,y)dx Q(x,u(x,y) y)dx Q(x0,y)dy函数u(xyxyxyu(x,y) P(x,y)dx Q(x,u(x,y) y)dx Q(x0,y)dy或0xyxy0000其中(x0y0D内一点(五 对坐标的曲线积分的应LABFWABFdsABP(x,y)dxQ(x,y)dy五对面积的曲面积分（第一类曲面积分(一 对面积的曲面积分的概念与性 对面积的曲面积分的定设曲面是光滑的（或分片光滑的f(xyz在上有界，把(i,i,i小片，设第i小片的面积 ，在第i小片上任取一，作乘积nn，并作和f(i,i,isif(i,i,i)si(i1,最大者0时，该和的极限总存在（与曲面的分法及点的取法均无关），则称f(xyz在f(xyz)dsnf(x,y,z)ds f()s.i 对面积的曲面积分的性质类似于对弧长的曲线积分的性质(二 对面积的曲面积分的计zz(xyxOy平面上的投影区域为Dxyzz(xyDxyf(xyz在f(x,y,z)ds f(x,y,z(x,y))1z'2(x,y)z'2(x,.xy(三 对面积的曲面积分的应，其上任一点(xyz的面密度(x,y,z)(x,y,在上连续M(x,y,z)ds（2）该物体的质心坐标x,yz)x(x,y,y(x,y,z(x,y,(x,y,在上连续M(x,y,z)ds（2）该物体的质心坐标x,yz)x(x,y,y(x,y,z(x,y,x,y,z.(x,y,(x,y,(x,y,Ix(y2z2)(x,y,Iy(x2z2)(x,y,x轴的转动惯量y轴的转动惯量Iz(x2y2)(x,y,z轴的转动惯量六对坐标的曲面积分（第二类曲面积分(一 对坐标的曲面积分的概念与性 对坐标的曲面积分的定定义设是光滑的（或分片光滑的）R(xyz在上有界，把意分成n小片，设第i小片sixOy平面上的投影为(si)xy，在第in(i,i,i，作乘R(i,i,isi)xy(i1,无关），则称此极限值为函数R(xyz在有向曲面xy的曲面积分，记作nR(x,y,z)dxdy R()s) inP(x,y,z)dydz P()s)类似地，有 inQ(x,y,z)dxdz Q()s) i一般地，有P(xyz)dydzQ(xyz)dxdzR(x一般地，有P(xyz)dydzQ(xyz)dxdzR(xy＝P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dxdzR(x,y, 若把分成1,2，则PdydzQdxdzRdxdyPdydzQdxdzRdxdyPdydzQdxdz设是和(二 对坐标的曲面积分的计设有向积分曲面是由方程zz(xy)给出xOy平面上的投影区域为DxOyzz(xyDxOyR(xyz在R(x,y,z)dxdyR(x,y,z(x,若有向曲面z轴正向夹角为锐角，取正号;z轴正向夹角为当有向曲面xI1P(g(y,z),y,z)dydzD当有向曲面xI1P(g(y,z),y,z)dydzD当有向曲面xI1I2Q(x,y,I3R(x,y,z)dxdy(三 两类曲面积分之间的关（1）（）将积分曲面的方程表示为形如:xgy,z)的单值函数3（设M(x,yz为n0为Mdydz,dxdz,ncos,cos,cos0.(四 对坐标的曲面积设M(x,yz为n0为Mdydz,dxdz,ncos,cos,cos0.(四 对坐标的曲面积分的应AAdsPdydzQdxdz(五 高期公式及其应为空间有界闭区域，ΩΩ定设的边界曲面，方向取外侧，如果P(xyzQ(xyzR(xyzΩ上有连续一阶偏导数PdydzQdxdzRdxdy(PQR (六 旋度与散 散A(xyzP(xyz)iQ(xyzjR(xyz)k，并设P,QR定AdivAPQ . 旋A(xyzP(xyz)iQ(xyzjR(xyz)k，并P,Q,R有一阶连定AijkRQiPRjQPk x y 斯托1取Px,Qy,Rz，则空间区域Ω的体积为V xdydzydxdzzdxdy3其中Ω的表面，取外侧定理如果曲线为曲面的边界曲线，为分段光滑的空间有向闭曲线，为逐片光滑的有向曲面，且的方向与的侧（即法向量的指向）符合右手规则.P,QR含PdxQdyRdz定理如果曲线为曲面的边界曲线，为分段光滑的空间有向闭曲线，为逐片光滑的有向曲面，且的方向与的侧（即法向量的指向）符合右手规则.P,QR含PdxQdyRdz.Γ历年真题分类详解与题型一交换积分次（一）直角坐标系中交换积分次01．[01，一(3)|3分]交换二次积分的积分次序 f(x,y)dx 2【分析】本题主要考查交换二次积分的积分次序 【详解】应填 f(x,【得分率 10102 f(x,y)dx f(x,y)dx解：1200220 f(x,y)dx＝ f(x,y)dx f(x,1121 ＝ f(x, 二次积分次序1【评注(1)(2)tt[04，二(10)|4分]设f(x)为连续函数，F(t) f(x)dx，则F′(2)等于．21y ttf(x)dx【分析】1tt[04，二(10)|4分]设f(x)为连续函数，F(t) f(x)dx，则F′(2)等于．21y ttf(x)dx【分析】1y(2)或者假设f(x)的一个原函数为Φ(x)，从而tf(x)dx(x)t(t)(y)yyttt于是 f(x)dx [(t)(1y1t＝(t)(t1) (y)dy1【详解】应选 【得分率】解法1：设Φ'(x)＝f(x)tttF(t) f(x)dx 1y1t＝(t)(t1) (y)dy1f(2)，选 变上限函数的求导定理解法2：交换积分次序，得tt tF(t) f(x)dx f(x)dy]dx f(x)(x1y11有的考生选了(D)，究其原因，只看到外面一道变上限，错误地ttt[ f(x)dx]ttf(x)dx01y※名师指导【评注（二 不同坐标系下二次积分的互1．[01，八|8分]设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面积满足方程2(x2y2(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧（二 不同坐标系下二次积分的互1．[01，八|8分]设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面积满足方程2(x2y2(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面【分析】本题考查二重(三重)积分的计算，曲面面积的计算，变化率问题，简单微分方程求解.是一道综合题．【详解】【得分率】1h(th(ldxdy[h(t) 22001x2y2[h(l)2h(l)z2π3＝4h 三重积分的计算16(x2y2S1(z)(z)dxdy22xyh2x2y2h(lx2y2h(l22h(l12[h2(t)16r2]2rdr.＝0解得h(t＝－13h(t)→0t＝100(小时由题设“体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9)”【评注1[06，二(8)|4分]设f(x，y)为连续函数， f(rcos,rsin)rdr等于 42 22 f(x,22f(x,0x00221y 1[06，二(8)|4分]设f(x，y)为连续函数， f(rcos,rsin)rdr等于 42 22 f(x,22f(x,0x00221y dy f(x,22f(x,0y00【分析 本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分【详解】应选 【得分率】21y原式 2f(x,y)dx0y故选※强化练习11.f(x，y)连续，则二次积分f(x,y)dy等于2arcsinarcsin11 f(x, f(x,00arcsinarcsin211 f(x, f(x,002※名师指导【评注题型二计算二重积（一）初等函数的二重积D＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x≥0}算二重积1[06，三(15)|10分设区域1 dxdy题型二计算二重积（一）初等函数的二重积D＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x≥0}算二重积1[06，三(15)|10分设区域1 dxdy1x2D【分析】Dx轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所【详解】【得分率】 则ln11r1 2dxdydxdy 2dr2D1x1x012220D1 而1x2y2dxdyD..........................................................................................................二重积分对称性定理 lndxdy 1 dxdy dxdy1x2 1x2故1x2DDD【评注Dk(k＝1，2，3，4)Ikycosxdxdy，则maxIk等于1k【分析】f(xyycosx【详解】应选 【得分率】解：本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇D2，D4xf(x,y)ycosxf(xyD1，D3yf(xy)ycos(x)ycosxf(x,y数是关于x的偶函数，所以I1 ycosxdxdy0,I30.所以正确答案为(x,y)............................................................................................................二重积分对称性定理师指导【评注（二）被积函数是分段函数的二1．[02，五|7分]计算二重积分emaxx2y2}dxdy，其D【分析】【详解】【得分率】80%（二）被积函数是分段函数的二1．[02，五|7分]计算二重积分emaxx2y2}dxdy，其D【分析】【详解】【得分率】80%0≤y≤x}D2＝{(x，emaxx2y2}dxdyemaxx2y2}dxdyemaxx2y2 二重积分的性质Dex2dxdyey21x1y22＝ edy e 利用直角坐标系计算二重积分xy00001122＝xedx yedyxy002x本题写出}的分块表达式是十分关键的一步．定积分、三重积≤.D【分析】【详解】【得分率】解：令D2＝{(x，y)|1≤x2＋y2≤ xy[1x2y2]dxdyxydxdy2 二重积分的性质D14 rdr 3220001......................................................................................................利用极坐标计算二重积分 【评注.、取极值函数max{fxyg(x，y)}3)被积函数是抽象函1.［11，三（19）|11分已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0，f f(x,y)dxdya.、取极值函数max{fxyg(x，y)}3)被积函数是抽象函1.［11，三（19）|11分已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0，f f(x,y)dxdya，其DD【分析】本题考查二重积分的计算【详解11算Ixyf(x,y)dxdy yfxy(x,y)dy，解据分的计00D1yf(x,y)dy 11f(x,f(x,y)yf(x,yxxx00011111110I fx(x,y)dyxf xf(x,xx000000111 dyxf(x,f(x, 0011 f(1,y)dyf(x,00D000f(xy)dxdy 二重D【评注】本题根据直角坐标系下结合分部积分计算二重积分名师指导画出区域D根据区域D【评注※强化练习x2y2y)dDx2＋y2＝4和(x＋1)2＋y2＝1D题型三利用球坐标计1．[03，八|12分]设函数f(x)连续且恒大于零f(x2y2z2f(x2※强化练习x2y2y)dDx2＋y2＝4和(x＋1)2＋y2＝1D题型三利用球坐标计1．[03，八|12分]设函数f(x)连续且恒大于零f(x2y2z2f(x2y2F(t) ,G(t) ，f(x2y2tf(x2D(t其中(1)讨论F(t)在区间(0，＋∞)(2)证明t＞0时，F(t)2π(1)先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重【分析【详解】【得分率解：(1)2tt f(r2)r2sin d f(r)rF(t) ,...利用极坐标计算二重积分()000 t f(r2f(r2d000ttf f(r2)r(t2)F(t)0 变上限函数的求导定理t22 f(r0所以在(0，＋∞)上F′(t)＞0，故F(t)在(0，＋∞)内单调增加t f(r2(2)因G(t0，tf(r20ππtttf(r)r f(r)dr 2 f(r)rdr]022000ttt令g(t) f(r)r f(r)dr 2 f(r)rdr],22000t g(t)f(t f(r2)(tr)2dr0 变上限函数的求导定理20故g(t)在(0，＋∞)内单调增 单t g(t)f(t f(r2)(tr)2dr0 变上限函数的求导定理20故g(t)在(0，＋∞)内单调增 单调的判定定理(0)．又g(0)＝0,t＞0时，gt＞0时，F(t)2Gπbbb f(x)g(x)dx] f(x)dx g(x)dx,222aaaf(x)f(r2r，g(x)f(r2∑是Ω的整个边界的外侧，则xdydzydzdxzdxdy 【详解】应填2π(1－2 【得分率】解：xdydzydzdxzdxdy＝ 高斯公式22R d2＝ 利用球坐标计算三重积分24000 【分析】积分区域xyz|x2y2z21}x、y、z【评注【评注4【得分率【详解】应填 21 sincos解法 zdxdydz 2222d000 21 cos 24d0002cos314 4【得分率【详解】应填 21 sincos解法 zdxdydz 2222d000 21 cos 24d0002cos314 3 ...........................................................................................利用球坐标计算三重积分131 2z)dxdydz rsin 所以 zdxdydz2(xy 243000221 rdr d4...........利用球坐标计算三重积分3 000※强化练习师指导xrsincosθ,yrsinsinθ,zrcos球坐标系下的体积元素dvr2sindrddIddf(rsincos,rsinsin,cos)r2sindr4.若空间区域Ωr1(θ,rr2θ,1(2(表f(x,y,D f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sinD ( r(,=d sind f(rsincos,rsinsin,rcos)r2dr 1( 【评注x2y2z2dxdydzΩ题型四利用化简方法计算对弧长的曲线积1．[09，二(11)|4分]已知曲线L:yx2(0x2y2z2dxdydzΩ题型四利用化简方法计算对弧长的曲线积1．[09，二(11)|4分]已知曲线L:yx2(0x 2)，则xds L【分析】应填【详解【得分率】62,则ds (x)2(y)2dx14x2dx,所以由题意知，xx,yx2,0x1814x2d(14x2)1282622xds x14xdx(14x22.L000.....................................................................................................对弧长的曲线积分的计算※强化训练四x2y2z2a22则xds 1．设xyz题型五计算对坐标的曲线积（一）积分路径为平面闭xdyLL是以点(1，0)为中心，R4x2【分析】以点(1，0)为中心，Rx1RcostyRsin师指导【评注＋z2≤1xdy.4x2L分母为0，致使被积函数不连续，格林公式不能用．(1)L1L2是两条分段光滑的简单封闭曲线，具有相同的转向，一条在另一条所围xP(x，y)与Q(x，y)连续并有连续的一阶偏导数；(3)当xdy.4x2L分母为0，致使被积函数不连续，格林公式不能用．(1)L1L2是两条分段光滑的简单封闭曲线，具有相同的转向，一条在另一条所围xP(x，y)与Q(x，y)连续并有连续的一阶偏导数；(3)当时，，则P(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y)dxQ(x,y)dyLL12【详解】【得分率yx解P2，Q，则 ，(x，y)≠(0，0) （4x＋y4x24x ε(t∈[0，2π]，C取逆时针方向)，于是由格林公xdyydx 格林公式及其应用4x22xdyxdy2＝I*Idt4x24x2LC用挖洞法解题有一定的难度．有的考生似乎也知道挖洞法，但挖 xdy4x22 这么一个洞，计算IL＝2(4cos2tsin2t4cos2tsin2＝y2．[03，五|10分]已知平面区域D＝{(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界(1) dy dx xesinydyyesinxdxsinLL(2)xesinydyyesinxdx22L【评注】【详解】【得分率01：(1)左边＝dy dx esinx)dx..定积分的性sine000右边＝dy dx esinx)dx 定积分的】【详解】【得分率01：(1)左边＝dy dx esinx)dx..定积分的性sine000右边＝dy dx esinx)dx 定积分的性质sine00 dy dx xesinydyyesinxdxsinLL2，故由(1)(2)由于 dy dx esinx)dxsinL0xesinydyyesinxdxesinx)dxdyLDxesinydyyesinxdxesinx 格林公式及其应用LD )dxdyesinx)dxdyDD dy dx xesinydyyesinxdx(2)由(1)sinLLxesinydyyesinxdx )dxdy sinLDDD dxdy esinxdxdy(利用轮换对称性sin＝DD (esinxesinx)dxdy2dxdy22DD.※名师指导【评注（二）积分路径为平面非封闭曲1．[99，四|6分]求I (exsinyb(xy))dx(excosyax)（二）积分路径为平面非封闭曲1．[99，四|6分]求I (exsinyb(xy))dx(excosyax)dy，其中a，b为L的常数，L为从点A(2a，0)沿曲线y 2axx2到点O(0，0)的弧【分析非封闭曲线的平面第二型曲线积分的计算方法，除了用参数式计算外，还有【详解】【得分率】I[exsinyb(xy)]dx(ecosyax)dy [exsinyb(xy)]dx(excosyx (ba)d 格林公式及其应0D(ba)a2b(2a)2(2)a2ba32222πDL∪L122：原函数法与参数式结合.II esinydxecosydy b(xy)dxaxdyxxLLexsinydxexcosydyd(exsiny)exsiny|(0,0)000..................................................................................................................原函数的求y＝2axx2自点(2a，0)到点(0，0)是圆周x＝a＋acost，y＝asintt＝0t＝π，b(xy)dxaxdy(a2bsinta2bsintcosta2bsin2ta3costa3cos211I2)a2ba322【评注2．[04，一(3)|4分]设L为正向圆周x2＋y2＝2Lxdy2ydx的值 【分析平面第二型曲线积分的计算方法很多，本题用到的是最简单的一种——用参3【详解】应填2π【得分率】x＝πθ：0→2y＝2cos2cos22sin2．[04，一(3)|4分]设L为正向圆周x2＋y2＝2Lxdy2ydx的值 【分析平面第二型曲线积分的计算方法很多，本题用到的是最简单的一种——用参3【详解】应填2π【得分率】x＝πθ：0→2y＝2cos2cos22sin2sin xdy2ydx 2L0 2sind 2220[08，三(16)|9分]计算曲线积分sin2xdx2(x21)ydyLy＝sin．3L【分析】【详解】【得分率】sin2xdx2(x21)ydy＝[sin2x2(x1)sinx2cosx]dx xsinL002x10xcos2xdx 2sin 0sin2xdx cos2200..............................................................................................................格林公式及其应用L1为x轴上从点(π，0)到点(0，0)的一段，DLL1sin2xdx2(x21)Lsin2xdx2(x1)ydy sin2xdx2(x21)2L104xydxdysin2xdx 4xydy cos2xsin220000D【评注2x10x(1cos2x)dx 0sin2xdx 00..................................................................................................................格林公式及其应用3：将其拆成sin2xdx2ydy2x2ydyxLLsin2xdx2(x1)ydy sin2xdx2ydy2xydyI2x10x(1cos2x)dx 0sin2xdx 00..................................................................................................................格林公式及其应用3：将其拆成sin2xdx2ydy2x2ydyxLLsin2xdx2(x1)ydy sin2xdx2ydy2xydyI22 LLL对于I1，因为y I10sin2xdx01I2xydy 2xsinxcosxdx x2sin2xdx 2222L00011112xcos2xdx 2 xdsin 22200011111 2 [xsin2x cos 2.所以，原式222204．[10，二(11)|4分]已经曲线L的方程为y＝1－|x|(x∈[－1，1])，起点是(－1，0)， xydxx2dy L【分析】【详解】应填 【得分率】xydxx2dy＝xydxx2dyxydxL01 (2xx)dx 22x20【评注＝11＝ 格林公式及其应 解法2：加、减弧段格林公式法．添直线段＝11＝ 格林公式及其应 解法2：加、减弧段格林公式法．添直线段xydxx2dy xydxx2dyxydxL1 (2xx)d 1Dxd 格林公式及其应DD所以原式（三）求解已知曲线积分与路径无关的1．[02，六|8分]设函数f(x)在(－∞，＋∞)内具有一阶连续导数是上半平面(y＞0)I＝1[1y2f(xy)]dx [y2f(xy)xL【分析】P(x，y)Q(x，y)下，平面第二型曲线积分LP(x,y)dxQ(x,y)dy与路径无关的充要条件(1)折线法※名师指导【评注【详解】【得分率1解：(1)Pyx[1＋y2f(xy)]，Q [y2f(xy)－1]Qf(xy)xyf(xy) ,P f(xy)【详解】【得分率1解：(1)Pyx[1＋y2f(xy)]，Q [y2f(xy)－1]Qf(xy)xyf(xy) ,P f(xy)xyf11PQ( (2)解法1：用折线法计算I.先从点(a，b)到点(c，b)，再到点(c，d)cdI bf(bx)]dx 2[yf(cy)22aybaccdbf(bx)dx cf(cy)dy b ab经积分变量变换后，Ic fa 解法2：原函数法I＝1[1y2f(xy)]dx [y2f(xy)xLydxxdyf(xy)(ydx＝x＝LdyLf(xy)d(xy 原函数的求法(c,dayy Lf(xy)d(xy)(c,dF(cd)F(ab) k1kkdI (1yf ) (yf(k)22ybddk b(y31kkdI (1yf ) (yf(k)22ybddk b(y3)dy d b(1)如果题中未说要考生验证与路径无关，而只说“如果ab＝cd，求I”，(2)如果标题中未设“f(x)在(－∞，＋∞)内具有一阶连续导数”，而改设“f(x)在＋∞)，内连续PQ13 2．[05，三(19)|12分]设函数y(y)dx2x2(y)dx2xydy02x2C(Ⅱ)求函数(y)的表达式【分析证明(Ⅰ)C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线应用积分与路径无关即可【详解】【得分率】【评注(y)dx(y)dx(y)dx＝－2x 2x 2x l(y)dx(y)dx(y)dx＝－2x 2x 2x ll1332(Ⅱ)，Q＝，P，Qx＞0(y)dx在该区域内与路径无关，故当x02x2P 平面上曲线积分与路径无关的条件 Q2y(2x2y4)4x2xy4x2y2(2x2y4(2x2y4P(y)(2x2y4)4(y)y32x2(y)(y)y44(y) (2x2y4(2x2y4③④由③得y＝－y2＋c，将y代入④得t＞0f(tx，ty)＝t2f(x，y)DLLyf(xy)dxxf(xy)dy0【分析 利用曲线积分与路径无关的条件y 【详解】【得分率】解：f(tx，ty)＝t2f(x，y)txfx′(tx，ty)＋yfy′(tx，ty)＝－2t-3f 复合函数的导数t＝1xfx′xy)＋yfy′xy)＝－2f(x，y)．①设P(x，y)＝yf(x，y)，Q(x，y)＝－xf(x，y)，则Qf(x,y)xf(x,y),Pf(x,y)yf(x,xy【评注PQ 都有Lyf(x,y)dxxf(x,y)dy 平面上曲线积分PQ 都有Lyf(x,y)dxxf(x,y)dy 平面上曲线积分与路径无关的条件f(tx，ty)＝t2f(x，y)xfx′xy)＋yfy′x-c(x，y)的本质，取fax2（四 求P(x，y)dx＋Q(x，y)dy的原函1．[07，，一(6)|4分]设曲L∶f(x，y)＝1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第二象限(A)f(x,y)dx(B)f(x,(C)f(x,【分析】【详解】应选 【得分率】解：M、NM(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＜x2，y1＞y2先将曲线方程代f(x,y)dx＝dx＝x－x f(x,y)dy＝dy＝y－y f(x,y)dxf(x,y)dy＝df(x,y)f(x,y)ds＝ds师指导 利用曲线积分与路径无关的必要条 【评注.............................................................................................................原函数的求法故正确选项为※强化练习(y22xy.............................................................................................................原函数的求法故正确选项为※强化练习(y22xyax2)dx(x22xyby2(x2y2题型六计算对面积的曲面积（一）利用化简方法SS(C)zdS4(D)xyzdS4SS【分析】【详解应选 【得分率】S..................................................................................二重积分对称性定师指导P(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y)dxQ(x,y)dy=dux,y函数ux,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy的一个原函数【评注S.....................................................................................................二重积分对称性定理S(D)不成立S.....................................................................................................二重积分对称性定理S(D)不成立S2zOx平面，zyzdS2zdS.zdS4 二重积分对称性定理SxdSydSzdSzdS4xdS.(C)正确，故选S2．[07，二(14)|4分]设曲面∑：|x|＋|y|＋|z|＝1，则(x|y|)dS 【分析】【详解】应填4 【得分率】3解法1：由域与被积函数的对称性有xdS0,|x|dS|y|dS|z1(x|y|)dS |y|dS＝|x|dS |y|dS |z|dS311 3 |x||y|z|dS dS＝·＝ 33解法2：利用物理意 3 ＝3·2(x|y|)dS＝|y|dS＝ ydS＝8y,x,y,【评注解法3：化成二重积43dxdy＝3(x|y|)dS＝|y|dS＝ ydS＝,解法3：化成二重积43dxdy＝3(x|y|)dS＝|y|dS＝ ydS＝,x,y,,x,y,3.［12（12）|4分］xyz|xyz1,x0,y0,z0} 【分析】【详解12y2dSy211)21)2dxdyDD3y2dxdy，其中D(x,y)x0,y0,xy 对面积的曲面积分的D算1(1x)3dx 利用直角坐标系计算二11故原式＝ ydy 02300分师指导【评注【评注（二）利用二重积分 1．[99，八|7分]设∑为椭球面 z21的上半部分，点P(x，y，z)∈∑，Π P处的切平面，ρ(x（二）利用二重积分 1．[99，八|7分]设∑为椭球面 z21的上半部分，点P(x，y，z)∈∑，Π P处的切平面，ρ(x，y，z)为点O(0，0，0)到平面Π的距离，求I(xyzdS【详解】【得分率】x(X－x)＋y(Y－y)＋2z(Z－z)＝0xXyYzZ22.................................................................曲线的法向量与切平面方程、法线1.....................................................点到平面的距离 2 z yxOy zz4x2dS1 dxdydxdyx yxy 2 所以I dS＝1(4x2y2(x,y,4D312＝0d0(4r)rdr 对面积的曲面积分的计算422【评注【分析大纲中，空间第二型曲线积分只要求计算，计算主要用两种方法：参数式法【详解】【得分率】所围成的有界部分的上侧，D为S在x【分析大纲中，空间第二型曲线积分只要求计算，计算主要用两种方法：参数式法【详解】【得分率】所围成的有界部分的上侧，D为S在xOy 11， y2z22z23x2Is(2y4z)dydz2z6x)dzdx2x2 斯托克斯公式SI[(2y4z)cos(2z6x)cos(2x2y)cosS2(4x2y3z)dS3S其中dS 3d，I2(4x2y3z)dS2(xy 面积的曲面积分的计算3SDDDD＝－12×D的面积 二重积分的对称性定理1D为|x|＋|y|≤1，D的面积.I(2y4z)dydz(2z6x)dzdx(2x2S 1 1，于 I[(2y4z)(z)(2z6x)(z)(2x2S(8x4y6z)dxdySI2(xy6)d24D解法3：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法计算．由解法1I(2y4z)dydz(2I2(xy6)d24D解法3：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法计算．由解法1I(2y4z)dydz(2z6x)dzdx(2x2SSSyOzDy3于是I (2y4z)dydz＝ (y2z)dy1621112SI2＝2(z3x)dzdx＝－8，I3＝2(xy)dxdySS曲线积分中以消去变量z，成为xOy平面上的曲线积分I＝∮L(y2－z2)dx＋(2z2－x2)dy＋(3x2－y2)d＝∮L1(y2－(2－x－y)2)dx＋(2(2－x－y)2－x2)dy＋(3x2－y2)(－dx－dL1LxOy平面上的投影曲线，逆时针．再由格林公式，得I2(xy6)d24D成的封闭折线，因此L的方程应分段表达如下：x≥0，y≥0时，L1y＝1－x，z＝2－x－y.x为参数，L1y＝1－x，z＝1，x10，于是∫L1(y2－z2)dx＋(2z2－x2)dy＋(3x2－y2)d70 x)1(2x2231x≤0，y≥0时，L2y＝1＋x，z＝1－2x，x0到－1∫L(y－z)dx＋(2z－x)dy＋(3x－y)d (2x4)dx22222220x≤0，y≤0时，L3y＝－1－x，z＝3，x从－100∫(y－z)dx＋(2z－x)dy＋(3x－y)d (2x2x26)dx＝－22222223x≥0，y≤0时，L4y＝x－1，z＝3－2x，x01118x12)dx∫(y－z)dx＋(2z－x)dy＋(3x－y)dz＝2222220(1)以上的解法1与解法2实质上是一样的，解法1【评注(2)本题最方便的解法是解法1(或解法2)，解法4也很方便，但实考中，大部分考的是解法或解法3.［11，二（12）|4分］L是柱面方程x(2)本题最方便的解法是解法1(或解法2)，解法4也很方便，但实考中，大部分考的是解法或解法3.［11，二（12）|4分］L是柱面方程x2+y2=1z=x+y的交线，从zz轴向看去为逆时针方向，则曲线积分xzdzxdy2dz L【详解】应填解x2y21zxyS（按右手准则，n1,1,1}，方向余弦为cosα1,cosβ31,cosγ313,coscosxcos由斯托克斯公式得xzdxxdy dz2Lx12ds1(1xy)ds1333LLL...........................................................................................................................斯托克斯2因为ds1z2z2dxdy 3dxdy,所以xzdxxdyydzdxdy 2LD4.［12，三（19）|10分］L是第一象限中从点(0，0)沿圆周x2＋y2＝2x到点(2，0)，x2＋y2＝4到点(0，2)J3x2ydxx2x2x2＋y2＝4到点(0，2)J3x2ydxx2x2L【分析】】所补直线L1为x＝0(0≤y≤2)，下用格林公式得：原式＝3x2ydxx3x2y)dy3x2ydxx3x2L0 (3x13x)dxdy 2D22211＝SC SC4 格林公42212※强化练习1I＝(axbyczd)2dS题型七计算对坐标的曲面积（一）积分曲面为非封闭1．[04，三(17)|12分]计算曲面I2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdyz＝1－x2－y2(z≥0)【分析】【详解】【得分率】师指导将积分曲面的方程用单值函数表示（yh(x,z表达形式下，需向xOz平面投影，得投影域dS1[hx(x,z)]2[hz(x,z)]2dxdz【评注I2x3dydz2y3dzdx3(z31)dxdy2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy2x3dydz2y3dzdx3(z31)dxdy6(x2y2I2x3dydz2y3dzdx3(z31)dxdy2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy2x3dydz2y3dzdx3(z31)dxdy6(x2y2z212211 (zr)rdz12[r(1r)r(1r)]dr22223220000而2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy3dxdy3x2y2故 高斯公式及其应用2：用转换投影法，曲面∑：z＝1－x2－y2(x2＋y2≤1)z2xz2I[2x3(z)2y3(z)3(z2{4x44y43[(1x2y2)2D {4rcos4rsin3[(1r) 44442200 2 [4rcossin3(r2r 54545300 π44132 (cos sin )d＝－8×6×4×2×2442xdydz2ydzdx3(z1)dxdy 【分析】 ∑1构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面(或柱面)坐标进行计算即【详解】应填 【得分率】解：设∑1：z＝1(x2＋y2≤1)，取上侧【评注xdydz2ydzdx3(z＝xdydz2ydzdx3(z1)dxdy－xdydz2ydzdx3(z1)dxdy................................................................................................高斯公式及其应用xdydz2ydzdx3(z＝xdydz2ydzdx3(z1)dxdy－xdydz2ydzdx3(z1)dxdy................................................................................................高斯公式及其应用 1 xdydz2ydzdx3(z1)dxdy6dV60 dz20rV.......................................................................................利用柱坐标计算三重积分xdydz2ydzdx3(z1)dxdy所以xdydz2ydzdx3(z1)dxdy3．[07，三(18)|10分]计算曲面积Ixzdydz2zydzdx2【详解】【得分率】2解：x＋＝1，z＝0取下侧.14Ixzdydz2zydzdx3xydxdyxzdydz2zydzdx(z2z)dxdydz 高斯公式及其应用D2x＋4≤由于区域D关于x轴对称，因此3xydxdy 二重积分对称性定理D11 (z2z)dxdydz dxdy3z2(1z)dz002D：xZ4在计算上述三重积分3zdVz后(x，y)【评注【评注4．[08，二(12)|4分]设曲面∑是z＝4－x2－y2xydydzxdzdxx2dxdy 【分析】【详解】4π【4．[08，二(12)|4分]设曲面∑是z＝4－x2－y2xydydzxdzdxx2dxdy 【分析】【详解】4π【得分率】解：加∑1：z＝0(x2＋y2≤4)的下侧，记∑与所围空间区域为Ω，xydydzxdzdx＝xydydzxdzdxx2dxdy－xydydzxdzdx................................................................................................................高斯公式及其应用1dxdy (xy ydxdydz－2 2x2y2x2y212 2 rdr 利用柱坐标计算二重积分d3＝00(x 3)|y2zdS4y2z24【分析】本题考查了空间曲线的计算与投影，第一型曲面积分的计算等多个知识点，【详解】【得分率】解：(1)求轨迹C令F(x，y，z)＝x2＋y2＋z2－yz－1，故动点P(x，y，z)的切平面的法向 曲面的法向量与切平面方程、法线方程求曲线C的方程为：【评注(2)计算曲面积分2 因为曲线C在xOy平面的投影为 ：x＋＝1，又因为方程x＋y＋z－yx43x，y2x＋2z－y＝0，2y＋2zz－z－yz(2)计算曲面积分2 因为曲线C在xOy平面的投影为 ：x＋＝1，又因为方程x＋y＋z－yx43x，y2x＋2z－y＝0，2y＋2zz－z－yz 解之 2yzdS1z2z2dxdy1＝y2z y2z 4y2z244x25y25z28dxdyyyIdS(x 3)dxdy 4