专题2.10幂的运算与新定义问题大题培优专练-2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】（解析版）

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.10幂的运算与新定义问题大题培优专练班级：_____________姓名：_____________得分：_____________一．解答题（共30小题）1．（2023秋•西城区校级期中）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如；因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定填空：（3，27）＝3，（4，1）＝0；（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．判断a，b，c之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）3，0；（2）a+b＝c．【分析】（1）新定义的运算法则可得答案；（2）根据新定义可知3a＝5，3b＝6，3c＝30，根据同底数幂的乘法法则，可知3c＝30＝5×6＝3a×3b＝3a+b，即可得到a+b＝c．【解答】解（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3，∵40＝1，∴（4，1）＝0．故答案为：3，0；（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∵30＝5×6＝3a×3b＝3a+b，∴3a+b＝3c，∴a+b＝c．【点评】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．2．（2023秋•西城区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．令（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z，求证：（2，6）+（2，7）＝（2，42）．【答案】证明过程见解答．【分析】根据题意，分别将6、7和42表示为幂的形式，再根据同底数幂的乘法法则进行计算并证明即可．【解答】证明：∵（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z，∴2x＝6，2y＝7，2z＝42．∵2x×2y＝2x+y＝2z＝42，∴x+y＝z，∴（2，6）+（2，7）＝（2，42）．【点评】本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是本题的关键．3．（2023秋•南岗区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝2；（5，1）＝0；（3，27）＝3．（2）计算（5，2）+（5，7）＝（5，14），并说明理由．（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据上述规定即可得到结论；（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解；（3）设（2n，3n）＝x，于是得到（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n根据“雅对”定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵22＝4，∴（2，4）＝2；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵33＝27，∴（3，27）＝3；故答案为：2，0，3；（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，则5x＝2，5y＝7，∴5x+y＝5x•5y＝14，∴（5，14）＝x+y，∴（5，2）+（5，7）＝（5，14），故答案为：（5，14）；（3）设（2n，3n）＝x，则（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n所以2x＝3，即（2，3）＝x，所以（2n，3n）＝（2，3）．【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．4．（2023秋•叙州区校级月考）对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，例如：32＝9，则log39＝2，其中a＝10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga（M•N）＝logaM+logaN．（1）解方程：logx4＝2．（2）log28＝3．（3）计算：lg2+1g5﹣2021．【答案】（1）x＝2；（2）3；（3）﹣2020．【分析】（1）根据对数的定义得出x2＝4，再求出x即可；（2）根据对数的定义求出答案即可；（3）根据loga（M•N）＝logaM+logaN求出lg2+1g5＝lg2×5＝1，再求出答案即可．【解答】解：（1）logx4＝2，x2＝4，∵x＞0，∴x＝2；（2）log28＝3．故答案为：3；（3）lg2+1g5﹣2021＝lg2×5﹣2021＝1﹣2021＝﹣2020．【点评】本题考查了同底数幂的乘法和数字的变化类，能理解对数的定义和loga（M•N）＝logaM+logaN是解此题的关键．5．（2023春•茂名期末）阅读下列材料：若a，b两数满足ax＝b，则称x为b的“对数”，记作（a，b）＝x，如42＝16，所以（4，16）＝2．请根据以上规定，回答下列问题：（1）根据上述规定要求，请完成填空：（3，27）＝3，（﹣2，16）＝4，（-23，-827（2）计算（3，2）+（3，4）＝（3，8），并写出计算过程；（3）直接写出结果：①（5，10）﹣（5，2）＝1；②（10，4）×（2，10）＝2．【答案】（1）3，4，-827；（2）3，8，见解析；（3）1，【分析】（1）根据题目定义，运用乘方运算求解；（2）运用同底数幂的乘法运算求解；（3）运用同底数幂的除法，幂的乘方运算求解．【解答】解：（1）∵33＝27，（﹣2）4＝16，(-2∴（3，27）＝3，（﹣2，16）＝4，(-2故答案为：3，4，-8（2）设（3，2）＝m，（3，4）＝n，则3m＝2，3n＝4，∴3m×3n＝3m+n＝2×4＝8，∴m+n＝（3，8），∴（3，2）+（3，4）＝（3，8）．故答案为：3，8．（3）①设（5，10）＝p，（5，2）＝q，则5p＝10，5q＝2，∴5p∴p﹣q＝1，∴（5，10）﹣（5，2）＝1；故答案为：1．②设（10，4）＝h，（2，10）＝k，则10h＝4，2k＝10，∴（2k）h＝4，∴2kh＝4，∴kh＝2，∴（10，4）×（2，10）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查同底数幂的乘法，除法，幂的乘方运算法则，掌握相关法则是解题的关键．6．（2023春•江南区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）．例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8．（1）若f（2）＝5，①填空：f（6）＝125；②当f（2n）＝25，求n的值；（2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）．【答案】（1）①125；②n＝2；（2）355．【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；（2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【解答】解：（1）①∵f（2）＝5，∴f（6）＝f（2+2+2）＝f（2）•f（2）•f（2）＝5×5×5＝125；故答案为：125；②∵25＝5×5＝f（2）•f（2）＝f（2+2），f（2n）＝25，∴f（2n）＝f（2+2），∴2n＝4，∴n＝2；（2）∵f（2a）＝f（a+a）＝f（a）•f（a）＝3×3＝31+1＝32，f（3a）＝f（a+a+a）＝f（a）•f（a）•f（a）＝3×3×3＝31+1+1＝33，…，f（10a）＝310，∴f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）＝3×32×33×…×310＝31+2+3+…+10＝355．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算．7．（2023春•仪征市期末）阅读材料，完成问题．如果ac＝b，则（a，b）＝c．例如：32＝9，则（3，9）＝2．（1）填空：（4，64）＝3，（﹣2，1）＝0，(-3，-127（2）试说明（5，3）+（5，7）＝（5，21）．【答案】（1）3，0，﹣3；（2）证明见详解．【分析】（1）根据材料提供的规定，套入计算即可；（2）根据材料提供的运算规定，进行验证即可．【解答】解：（1）∵43＝64，∴（4，64）＝3；∵（﹣2）0＝1，∴（﹣2，1）＝0，∵（﹣3）﹣3=-1∴，(-3，-故答案为：3，0，﹣3．（2）设（5，3）＝x，（5，7）＝y，（5，21）＝z，∴5x＝3，5y＝7，5z＝21，∴5x•5y＝3×7＝21，∴5x+y＝5z，∴x+y＝z，即：（5，3）+（5，7）＝（5，21）．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，读懂题意规定是作对该题的前提．8．（2023春•泰兴市校级月考）规定两正数a，b之间的一种运算记作L（a，b），如果ac＝b，那么L（a，b）＝c．例如：因为32＝9，所以L（3，9）＝2．小明在研究这种运算时发现一个结论：L（a，mn）＝L（a，m）﹣L（a，n小明给出了如下的证明：设L（a，m）＝x，L（a，n）＝y，由规定，得ax＝m，ay＝n，∴mn=ax÷ay＝a（x﹣y∴L（a，mn）＝x﹣y∴L（a，mn）＝L（a，m）﹣L（a，n请你解决下列问题：（1）填空：L（2，16）＝4，L（16，36）＝﹣2（2）证明：L（3，5）+L（3，8）＝L（3，40）；（3）如果正数a、m、n，满足L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2，求x．【答案】（1）4，16（2）见解答；（3）5．【分析】（1）根据新定义求解；（2）根据新定义，结合同底数幂的运算证明；（3）根据新定义，结合同底数幂的运算列出方程求解．【解答】解：（1）∵24＝16，∴L（2，16）＝4，∵（16）﹣2＝36L（16，36）＝﹣2故答案为：4，16（2）证明：设L（3，5）＝x，L（3，8）＝y，由规定，得3x＝5，3y＝8，∴40＝5×8＝3x×3y＝3（x+y），∴L（3，40）＝x+y，∴L（3，40）＝L（3，5）+L（3，8）；（3）∵L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2，∴ax﹣2＝m，a3x﹣6＝n，mn＝a2x+2，∴mn＝a2x+2＝ax﹣2•a3x﹣6＝a4x﹣8，∴2x+2＝4x﹣8，解得：x＝5．【点评】本题考查了同底数幂的运算，理解新定义是解题的关键．9．（2023春•万秀区校级期中）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝3；（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，求证：a+b＝c．【答案】（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据33＝27和新定义的运算法则可得答案；（2）根据新定义可知3a＝5，3b＝6，3c＝30，根据同底数幂的乘法法则，可知3c＝30＝5×6＝3a×3b＝3a+b，即可证明a+b＝c．【解答】解（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3，故答案为：3；（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∵30＝5×6＝3a×3b＝3a+b，∴3a+b＝3c，∴a+b＝c．【点评】本题考查新定义运算和同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．10．（2023春•巨野县期中）规定a*b＝2a×2b，求：（1）求1*3；（2）若2*（2x+1）＝64，求x的值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据定义以及同底数幂的乘法法则计算即可；（2）把64写成底数是2的幂，再根据定义以及同底数幂的乘法法则可得关于x的一元一次方程，再解方程即可．【解答】解：（1）由题意得：1*3＝2×23＝16；（2）∵2*（2x+1）＝64，∴22×22x+1＝26，∴22+2x+1＝26，∴2x+3＝6，∴x=3【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及有理数的混合运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．11．（2023春•滦南县期中）【阅读理解】阅读下列内容，观察分析，回答问题：Ⅰ．33×34＝（3×3×3）×（3×3×3×3）＝37；Ⅱ．53×54＝（5×5×5）×（5×5×5×5）＝57；Ⅲ．a3×a4＝（a×a×a）×（a×a×a×a）＝a7．【概括总结】通过以上分析，填空：am=a×a×a×⋯×a︸(①)=a（1）在上述分析过程中：①所在括号中填m+n，②所在括号中填m+n．【应用与拓展】：计算：（2）105×104＝109；（3）a•a3•a7＝a11；（4）如果x是不等于1的正数，且xn•x3n+3＝x35，求n的值．【答案】（1）①m+n，②m+n；（2）109；（3）a11；（4）8．【分析】（1）根据总结的规律计算即可；（2）根据总结的规律计算即可；（3）根据总结的规律计算即可；（4）根据总结的规律得到4n+3＝35，解方程求解即可．【解答】解：（1）∵a故答案为：m+n，m+n．（2）105×104＝109；故答案为：109；（3）a⋅a3⋅a7＝a11故答案为：a11；（4）∵xn•x3n+3＝x35，且x是不等于1的正数，∴4n+3＝35，解得n＝8，∴n的值为8．【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法运算法则．12．（2023春•亭湖区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（3，243）＝5，（﹣2，﹣32）＝5；②若（x，116）＝﹣4，则x＝±2（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）5，5；（2）2；（3）a+b＝c，理由见解答．【分析】（1）①根据有理数的乘方及新定义计算；②根据新定义和负整数指数幂计算；（2）根据题意得：4a＝5，4b＝6，4c＝30，根据5×6＝30列出等式即可得出答案．【解答】解：（1）①∵35＝243，∴（3，243）＝5，∵（﹣2）5＝﹣32，∴（﹣2，﹣32）＝5，故答案为：5，5；（2）根据题意得：x﹣4=1∴1x∴x＝±2，故答案为：±2；（3）a+b＝c，理由如下：根据题意得：4a＝5，4b＝6，4c＝30，∵5×6＝30，∴4a•4b＝4c，∴4a+b＝4c，∴a+b＝c．【点评】本题考查了新定义，有理数的乘法，根据5×6＝30得到4a•4b＝4c是解题的关键．13．（2023春•建邺区校级期中）我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105．（1）试求12☆3和4☆8的值；（2）（a+b）☆c是否与a☆（b+c）相等？并说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）12☆3＝1012×103＝1015；4☆8＝104×108（1分）＝1012；（2）因为（a+b）☆c＝10a+b×10c＝10a+b+c，a☆（b+c）＝10a×10b+c＝10a+b+c，即证明（a+b）☆c与a☆（b+c）相等．【解答】解：（1）12☆3＝1012×103＝1015；4☆8＝104×108＝1012；（2）相等，理由如下：∵（a+b）☆c＝10a+b×10c＝10a+b+c，a☆（b+c）＝10a×10b+c＝10a+b+c，∴（a+b）☆c＝a☆（b+c）．【点评】本题考查了同底数幂运算，熟练运用公式是解题的关键．14．（2022秋•松滋市期末）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2．（1）（﹣2，16]＝4；若（2，y]＝6，则y＝64；（2）已知（4，12]＝a，（4，5]＝b，（4，y]＝c，若a+b＝c，求y的值；（3）若（5，10]＝a，（2，10]＝b，令t=2ab①求25a16b的值；②【答案】（1）4，64；（2）60；（3）①1100；（2）2【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则和有理数的乘方解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；（3）①根据幂的乘方和新定义解答即可；②根据定义分别计算a+b和ab，从而解答即可．【解答】解：（1）∵（﹣2）4＝16，∴（﹣2，16]＝4，∵（2，y]＝6，且26＝64，∴y＝64，故答案为：4，64；（2）∵（4，12]＝a，（4，5]＝b，（4，y]＝c，若a+b＝c，∴4a＝12，4b＝5，4c＝y，∵a+b＝c，∴4a+b＝4c，即4a•4b＝4c，∴y＝12×5＝60；（3）①∵（5，10]＝a，（2，10]＝b，∴5a＝10，2b＝10，∴52a＝100，24b＝10000，∴25a＝100，16b＝1000，∴25②∵（5a）b＝10b，∴5ab＝10b，∴（5，10b]＝ab，由①知：5a＝10，2b＝10，∴5a•5b＝10×5b＝2b×5b，∴5a•5b＝10b，∴5a+b＝10b，∴（5，10b]＝a+b，∴ab＝a+b，∵t=2ab∴t＝2．【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，新定义的计算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．15．（2023春•东海县月考）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2；（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：c﹣b＝a．【答案】（1）3，0，﹣2；（2）见解答过程．【分析】（1）根据所规定的运算进行求解即可；（2）结合所规定的运算，进行求解即可．【解答】解：（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵40＝1，∴（4，1）＝0，∵2﹣2=1∴（2，0.25）＝﹣2，故答案为：3，0，﹣2；（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3c＝5×6，3c＝3a×3b，∴c＝a+b，即c﹣b＝a．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．16．（2023春•霍邱县期中）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝3，（4，1）＝0（2，0.25）＝﹣2；（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可；（2）根据已知得出3a＝5，3b＝6，3c＝30，求出3a×3b＝30，即可得出答案．【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，故答案为：3，0，﹣2；（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a×3b＝3c，∴a+b＝c．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的混合运算等知识点，能灵活运用同底数幂的乘法法则进行变形是解此题的关键．17．（2022秋•米东区期中）我们规定：a⊗b＝10a×10b，例如3⊗4＝103×104＝107，请解决以下问题：（1）试求7⊗8的值．（2）想一想（a+b）⊗c与a⊗（b+c）相等吗？请说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据a⊗b＝10a×10b代入数据即可；（2）根据所给例子对应代入即可得到答案．【解答】解：（1）7⊗8＝107×108＝1015；（2）（a+b）⊗c＝10a+b×10c＝10a+b+c，a⊗（b+c）＝10a×10b+c＝10a+b+c，∴（a+b）⊗c与a⊗（b+c）相等．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．18．（2023春•徐汇区校级期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a•a…，记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log24＝2，log216＝4，log264＝6．（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式log24+log216＝log264．（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN＝loga（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．（4）设an＝N，am＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．【答案】（1）2，4，6；（2）log24+log216＝log264；（3）loga（MN）；（4）证明过程详见解析．【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）由特殊到一般，得出结论：logaM+logaN＝loga（MN）；（4）设logaM＝b1，logaN＝b2，根据幂的运算法则：am•an＝am+n和给出的材料证明结论．【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6，故答案为：2，4，6；（2）∵4×16＝64，log24＝2，log216＝4，log264＝6，∴log24+log216＝log264，故答案为：log24+log216＝log264；（3）logaM+logaN＝loga（MN），故答案为：loga（MN）；（4）证明：设logaM＝b1，logaN＝b2，则ab1=M，∴MN=ab=a∴b1+b2＝loga（MN），∴logaM+logaN＝loga（MN）．【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．19．（2022秋•浦东新区校级期中）如果ac＝b，那么我们规定：F（a，b）＝c，例如，因为23＝8，34＝81那么我们就说F（2，8）＝3，F（3，81）＝4．（1）请根据上述定义，填空：F（4，16）＝2；F（2，64）＝6；F(25，16（2）已知F（x，5）＝a，F（x，6）＝b，F（x，m）＝c，且a+b＝c，求m的值．【答案】（1）2，6，4；（2）m＝30．【分析】（1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案；（2）根据新定义可得xa＝5，xb＝6，xc＝m，然后利用同底数幂的乘法法则求出xa⋅xb＝xa+b＝xc＝30即可．【解答】解：（1）∵42＝16，26＝64，(2∴F（4，16）＝2，F（2，64）＝6，F(2故答案为：2，6，4；（2）∵F（x，5）＝a，F（x，6）＝b，F（x，m）＝c，∴xa＝5，xb＝6，xc＝m，又∵a+b＝c，∴xa⋅xb＝xa+b＝xc＝30，∴m＝30．【点评】本题考查了有理数的乘方、新定义、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，正确理解新定义是解题的关键．20．（2022春•平和县期中）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）（理解）根据上述规定，填空：（2，8）＝3，(2，14)=（2）（说理）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c；（3）（应用）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．【答案】（1）3，﹣2；（2）理由见解析；（3）t＝80．【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；（3）根据定义解答即可．【解答】解：（1）∵23＝8，∴（2，8）＝3，∵2-2∴（2，14）＝﹣2故答案为：3，﹣2；（2）∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，∵12×5＝60，∴4a×4b＝4c，∴4a+b＝4c，∴a+b＝c；（3）设（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，∴mp＝16，mq＝5，mr＝t，∵（m，16）+（m，5）＝（m，t），∴p+q＝r，∴mp+q＝mr，∴mp×mq＝mr，即16×5＝t，∴t＝80．【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．21．（2022春•邳州市期中）规定m*n＝3m×3n．求：（1）0*2；（2）如果2*（x﹣1）＝81，求x的值．【答案】（1）9；（2）x＝3．【分析】（1）根据题意，计算有理数的乘方运算即可；（2）根据题意利用有理数的乘方运算得出方程求解即可．【解答】解：（1）0*2＝30×32＝1×9＝9；（2）∵2*（x﹣1）＝32×3x﹣1＝3x+1，∴3x+1＝81＝34，即x+1＝4，∴x＝3．【点评】题目主要考查有理数的乘方运算及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题关键．22．（2021秋•曲阜市期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝3，（﹣2，4）＝2，（﹣2，1）＝0；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n∴3x＝4，即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．（4，7）+（4，8）＝（4，56）．【答案】（1）3；2；0；（2）理由见解答．【分析】（1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解；（2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法运算法则进行分析计算．【解答】解：（1）∵53＝125，（﹣2）2＝4，（﹣2）0＝1，∴（5，125）＝3，（﹣2，4）＝2，（﹣2，1）＝0，故答案为：3、2、0；（2）设（4，7）＝x，（4，8）＝y，∴4x＝7，4y＝8，∴4x•4y＝7×8＝56，∵4x•4y＝4x+y，∴4x+y＝56，∴（4，56）＝x+y，即（4，7）+（4，8）＝（4，56）．∴等式成立．【点评】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，理解同底数幂的乘法运算法则（底数不变，指数相加）是解题关键．23．（2022春•包河区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）；例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．（1）若f（2）＝5，则：①计算f（6）；②当f（2n）＝25，求n的值；（2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）．【答案】（1）①125；②2；（2）355．【分析】（1）①利用新运算的规定进行运算即可；②将25变换为5×5＝f（2）•f（2），再利用新运算的规定解答即可；（2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出3的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可．【解答】解：（1）①∵f（2）＝5，∴f（6）＝f（2+2+2）＝f（2）•f（2）•f（2）＝5×5×5＝125；②∵25＝5×5＝f（2）•f（2）＝f（2+2），又∵f（2n）＝25，∴f（2n）＝f（2+2）．∴2n＝4．∴n＝2．（2）∵f（2a）＝f（a+a）＝f（a）•f（a）＝3×3＝32，f（3a）＝f（a+a+a）＝f（a）•f（a）•f（a）＝3×3×3＝33，••••••，f（10a）＝310，∴f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）＝3×32×33ו••×310＝31+2+3+•••+10＝355．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，本题是新定义型题目，连接并熟练应用新运算的规定是解题的关键．24．（2022春•沛县校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝3，（﹣3，1）＝0，（﹣2，-132）＝﹣5（2）令（4，6）＝a，（4，7）＝b，（4，42）＝c，试说明下列等式成立的理由：（4，6）+（4，7）＝（4，42）【答案】（1）3，0，﹣5．（2）答案见解题过程．【分析】（1）根据新定义的运算计算即可．（2）分别表示各式，再判断．【解答】解：（1）∵如果ac＝b，那么（a，b）＝c，53＝125，（﹣3）0＝1，（﹣2）﹣5=-1∴（5，125）＝3，（﹣3，1）＝0，（﹣2，-132）＝﹣故答案为：3，0，﹣5．（2）由题意得：4a＝6，4b＝7，4c＝42．∵42＝6×7，∴4c＝4a×4b＝4a+b，∴a+b＝c．∴（4，6）+（4，7）＝（4，42）．【点评】本题考查用新定义解题，理解新定义内涵是求解本题的关键．25．（2022春•宜兴市校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5；②若（x，18）＝﹣3，则x＝2（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系；（3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值．【答案】（1）①3；5；②2；（2）a+b＝c．（3）t＝24．【分析】（1）①根据新定义的运算进行求解即可；②根据新定义的运算进行求解即可；（2）根据新定义的运算进行求解即可；（3）根据新定义的运算进行求解即可．【解答】解：①∵53＝125，∴（5，125）＝3，∵（﹣2）5＝﹣32，∴（﹣2，﹣32）＝5，故答案为：3；5；②由题意得：x﹣3=1则x﹣3＝2﹣3，∴x＝2，故答案为：2；（2）∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，∵5×6＝30，∴4a•4b＝4c，∴a+b＝c．（3）设（m，8）＝p，（m，3）＝q，（m，t）＝r，∴mp＝8，mq＝3，mr＝t，∵（m，8）+（m，3）＝（m，t），∴p+q＝r，∴mp+q＝mr，∴mp•mr＝mt，即8×3＝t，∴t＝24．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的法则的掌握与灵活运用．26．（2022春•邗江区校级月考）根据同底数幂的乘法法则，我们发现：am+n＝am•an（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），请根据这种新运算解决以下问题：（1）若h（1）＝﹣1，则h（2）＝1；h（2019）＝﹣1；（2）若h（7）＝128，求h（2），h（8）的值；（3）若h(4)h(2)=4，求h（【答案】（1）1，﹣1；（2）4，256；（3）4．【分析】（1）由定义可得h（1）＝﹣1，则h（2）＝1，h（2019）＝[h（1）]2019＝﹣1；（2）由（1）可知，h（7）＝[h（1）]7＝128，求出h（1）＝2，则可求h（2）＝4，h（8）＝256；（3）h(4)h(2)=[h（1）]2＝4，求出h（1）＝±【解答】解：（1）h（2）＝h（1+1）＝h（1）•h（1），∵h（1）＝﹣1，∴h（2）＝1；h（2019）＝[h（1）]2019＝﹣1；故答案为：1，﹣1；（2）由（1）可知，h（7）＝[h（1）]7＝128，∴h（1）＝2，∴h（2）＝4，h（8）＝256；（3）∵h（4）＝[h（1）]4，h（2）＝[h（1）]2，∴h(4)h(2)=[h（1）]2＝∴h（1）＝±2，∴h（2）＝4．【点评】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是关键．27．（2021春•清江浦区校级期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．（1）填空：T（2，32）＝5；（2）计算：T(1（3）探索T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．【答案】（1）5；（2）1；（3）T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21），理由见解答．【分析】（1）根据乘方的定义解决此题．（2）根据乘方的定义解决此题．（3）根据乘方的定义以及同底数幂的乘法解决此题．【解答】解：（1）∵25＝32，∴T（2，32）＝5．故答案为：5．（2）∵(13)-3=27，（﹣2∴T（13，27）＝﹣3，T（﹣2，16）＝4∴T(13，27)+T(-2（3）T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21），理由如下：设T（2，3）＝m，T（2，7）＝n．∴2m＝3，