线性代数考试题库及答案(六)

线性代数考试题库及答案第一部分客观题（共30分）一、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分）1.若行列式，则等于()(A)(B)(C)(D)2.设，是中元素的余子式，则=（）(A)0(B)1(C)2(D)33.设为阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（）(A)(B)(C)(D)4.初等矩阵满足（）(A)任两个之乘积仍是初等矩阵(B)任两个之和仍是初等矩阵(C)都是可逆矩阵(D)所对应的行列式的值为15.下列不是阶矩阵可逆的充要条件为（）(A)(B)可以表示成有限个初等阵的乘积(C)伴随矩阵存在(D)的等价标准型为单位矩阵6.设为矩阵，为阶可逆矩阵，，则()。(A)秩()>秩()(B)秩()=秩()(C)秩()<秩()(D)秩()与秩()的关系依而定7.如果向量可由向量组线性表示,则下列结论中正确的是（）(A)存在一组不全为零的数，使得成立(B)存在一组全为零的数，使得成立(C)存在一组数，使得成立(D)对的线性表达式唯一8.设是齐次线性方程组的解，是非齐次线性方程组的解，则（）(A)为的解(B)为的解(C)为的解(D)为的解9.设,则的特征值是()。(A)(B)(C)(D)10.若阶方阵与某对角阵相似，则()。(A)(B)有个互不相同的特征值(C)有个线性无关的特征向量(D)必为对称矩阵二、判断题（共10小题，每小题1分，共10分）注：正确选择A,错误选择B.11.设和为阶方阵，则有。（）12.当为奇数时，阶反对称矩阵是奇异矩阵。（）13.设为同阶方阵，，则。（）14.若矩阵有一个阶子式，且中有一个含有的阶子式等于零，则的秩等于。（）15.若非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解。（）16若向量组线性无关，则向量组线性无关。（）17.等价的向量组的秩相等。（）18.设与都是阶正交矩阵，则也是正交矩阵。（）19.矩阵不同特征值对应的特征向量必线性无关。（）20.两个相似的方阵必等价，两个合同的方阵也必等价。（）第二部分主观题（共70分）三、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）1．的符号是2．若为3阶方阵，为的逆矩阵且，则.3.线性方程组仅有零解的充要条件是.4.已知三阶矩阵的特征值为，则.5．实二次型，当＝时，其秩为2.。四、计算题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）1.计算4阶行列式2.已知向量组线性相关，求 3.设，用施密特正交化法将该向量组正交化。五、计算题（二）（共2小题，每小题8分，共16分）1.设，，若矩阵满足，求。2.设，问为何值时，矩阵能对角化？六、计算题（三）（共2小题，每小题10分，共20分）1.当为何值时，线性方程组有解？在有解的情况下，求其全部解（若有无穷解，用其导出组的基础解系表示）。2.求向量组、、、、的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。七、证明题（共1小题，每题6分，共计6分）设和是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为和，证明不是的特征向量。线性代数课程试卷（A）及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分，共计20分）1.若都是四维列向量，且四阶行列式，，则四阶行列式(A)m+n(B)-(m+n)(C)n-m(D)m-n2.设矩阵，则（B）(A)(B)(C)(D)3.若A、B均为非零方阵，且AB=O，则有A、B（D）(A)都可逆(B)至少有一个可逆(C)r(A)=r(B)(D)都不可逆4.下列向量中，可由与线性表示的是（B）(A)(B)(C)(D)5.设矩阵A满足O，则（A）(A)A与A+4E同时可逆(B)A+5E一定可逆(C)齐次线性方程组O有非零解(D)A-E一定可逆6.若n阶矩阵A的行列式，则A的秩为（D）(A)1(B)0(C)n-1(D)n7.设A为n阶方阵，且，有（C）(A)A中必有两行（列）元素对应成比例(B)A中至少有一行（列）元素全为零(C)A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合8.设A为矩阵，则齐次线性方程组AX=O仅有零解的充要条件是（D）(A)A的行向量线性相关(B)A的列向量线性相关(C)A的行向量线性无关(D)A的列向量线性无关9.可逆矩阵A与矩阵（A）有相同的特征值(A)(B)(C)(D)A+E10.与分别是n阶方阵A的属于特征值的特征向量，若，则与（B）(A)线性相关(B)线性无关(C)相等(D)正交二、判断题（共10小题，每题1分，共计10分）答题要求：判断正误，正确选择A，错误选择B11.若方阵可逆，则也可逆（A）12.设A、B均为n阶方阵，则（B）13.对任意n阶方阵（n>1）A与B，都有（B）14.若向量组与等价，则（B）15.若齐次线性方程组AX=O存在基础解系，则方程组AX=b（b≠0）有无穷多解(B)16.若同阶矩阵A与B的秩相等，则A可经过有限次的初等变换化成B（A）17.若是方阵A的特征值，则是的特征值（其中为自然数）（A）18.若n阶方阵A相似于对角矩阵，则A有n个互异特征值（B）19.设与是A的任意两个特征向量，则也是其特征向量（B）20.若A为正交矩阵，则（A）本题得分本题得分答题要求：请将最终答案直接填在题中横线上.21.设A为三阶矩阵，且，则5422.，则23.设矩阵A可逆，则其伴随矩阵可逆，且24.如果阶矩阵A的行向量组线性无关，则齐次线性方程组AX=O的基础解系中含有个向量25.若向量组中含有零向量，则此向量组线性相关26.若与正交，则27.设A为正交矩阵，则28.设三阶矩阵A的特征值为-2、1、4，则29.已知-5是方阵A的特征值，则A-2E一定有一个特征值-730.设为非齐次线性方程组AX=b的一组解，如果也是该方程组的一个解，则S1：本题得分本题得分答题要求：写出文字说明和主要验算步骤1．计算四阶行列式解：=2.解矩阵方程，其中，解：S2：本题得分本题得分答题要求：写出文字说明和主要验算步骤1.给定向量组，，，，求该向量组的秩，并确定一个极大无关组，将其余向量用该极大无关组线性表示。解：所以：，是一个极大无关组，且2.用其导出组的基础解系表示下面方程组的全部解令，得线性方程组的一个特解其导出组的一般解为：令分别为得导出组的基础解系为：所以，方程组的全部解为：（）3.已知的特征值为-1,2，5，求正交矩阵，使得为对角矩阵。解：当时，由，得基础解系为当时，由，得基础解系为当时，由，得基础解系为不难验证是正交向量组，把单位化，得S3：本题得分本题得分答题要求：应写出文字说明已知n维向量线性无关，则向量组线性无关。证明：整理得：线性无关解得：所以，向量组线性无关。第三部分近年考研试题 一、单项选择题1.[2006-3]若均为n维列向量，是矩阵，下列选项正确的是(A)若线性相关，则线性相关.(B)若线性相关，则线性无关.(C)若线性无关，则线性相关.(D)若线性无关，则线性无关.[A]2.[2006-3、4]设为3的阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则(A)=.(B)=.(C)=.(D)=.[B]3.[2007-3、4]设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A)(B)(C)(D)[A]4[2007-3、4]设矩阵，，则与(A)合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)不合同，也不相似[B]5.[2008-3]设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若，则(A)不可逆，不可逆.(B)不可逆，可逆.(C)可逆，可逆.(D)可逆，不可逆[C]6.[2008-3]设，则在实数域上与A合同的矩阵为(A)(B)(C)(D)[D]7.[2009-3]设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，，则分块矩阵的伴随矩阵为(A)(B)(C)(D)[B]8.[2009-3]设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且.若，，则为(A)(B)(C)(D)[A]9.[2010-3]设向量组I:可由向量组II:线性表出.下列命题正确的是(A)若向量组I线性无关，则 (B)若向量组I线性相关，则 (C)若向量组II线性无关，则 (D)若向量组II线性相关，则[A]10.[2010-3]设为4阶实对称矩阵，且.若的秩为3，则相似于(A)(B)(C)(D)[D]11.[2011-3]设A为3阶方阵，将A的第2列加到第一列得到矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记，则A=(A)(B)(C)(D)[D]12.[2011-3]设A为4×3矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意常数，则的通解为(A)(B)(C)(D)[C]二、填空题1.[2006-3、4]已知为2维列向量，矩阵，.若行列式-2.2.[2006-4]设矩阵，E为2阶单位矩阵，矩阵满足矩阵，则B=3.[2007-3、4]设矩阵，则的秩为4.[2008-3]设3阶矩阵A的特征值是1,2,2，E为3阶单位矩阵，则=_3___5.[2009-3]设