导数在研究初等函数上的应用

第3页安阳师范学院本科学生毕业论文导数在研究初等函数上的应用作者系（院）数学科学学院专业数学与应用数学年级学号指导教师论文成绩日期导数在研究初等函数上的应用摘要：文章介绍了导数的概念及其几何意义,在此基础上讨论了函数的单调性、极值、最值、凸凹性、拐点等方面性质.并选取一些典型的问题,用导数来刻画、加深、巩固知识.关键词：导数;单调性;极值;凸凹性;拐点1引言导数是数学分析课程中最重要的基本概念之一,它反映了一个变量对另一个变量的变化率.导数的概念是从很多实际的科学问题抽象而产生的,有着广泛的应用意义.导数的思想最初是法国数学家费马为解决极大、极小值问题而引入的.但导数作为微积分学中最主要的概念,却是英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别在研究力学和几何学过程中建立的,教学大纲对此的要求突出一个“用”字.利用函数的导数可以用来研究函数分析性质,诸如单调性、极值点、凹凸性等许多性质.本文着重阐述运用导数来研究中学中常见的因式分解、证明恒等式、曲线的切线和法线方程、方程根的讨论等,目的是可以给中学里解决数学问题拓展新的思路,可以使得有些数学问题得到简化,希望能给中学的老师和同学得到一些可借鉴的东西.2预备知识2.1导数的概念2.1.1从运动的角度看曲线的切线：如图所示,设曲线：与直线的交点为：，则有：此时,为曲线的割线,如果,沿着曲线无限接近,那么与重合时,l与曲线只有一个交点,则变成了曲线的切线.2.1.2从运动的角度看切线的斜率我们不难得出：所以图2-1当沿无限接近时,所以在点处的切线的斜率:2.1.3导数的有关概念定义1函数的导数,就是当时,函数的增量与自变量的增量的比的极限,即.实际背景：瞬时速度,加速度,角速度,电流等.2.2导数的几何意义函数在点处的导数的几何意义,就是曲线在点处的切线的斜率.3导数的应用3.1函数的单调性函数的单调性是函数的一个重要性态,它反映了函数在某个区间随自变量的增大而增大（或减少）的一个特征.但是,利用单调性的定义来讨论函数的单调性往往是比较困难的.下面利用导数符号来研究函数的单调性．由图可以看出,当函数在上是单调增加时,其曲线上任一点的切线的倾斜角都是锐角,因此它们的斜率都是正的,由导数的几何意义知道,此时,曲线上任一点的导数都是正值,即．由图可以看出,当函数在上是单调减少时,其曲线上每一点的切线的倾斜角都是钝角,因此它们的斜率都是负的,此时,曲线上任一点的导数都是负值,即．图3-1图3-2定理2设函数在内可导,则(1)如果在内,那么函数在内单调增加;(2)如果在内,那么函数在内单调减少．注：在区间内个别点处导数等于零,不影响函数的单调性．如幂函数,其导数在原点处为,但它在其定义域内是单调增加的．例1判断函数的单调性．解因为,所以,函数在其定义域内是单调增加的．例2确定函数的单调区间．解函数的定义域为,求导数得．令,得．用它们将定义域分为小区间,我们分别考察导数在各区间内的符号,就可以判断出函数的单调区间．为了更清楚,列表如下：＋－＋↗↘↗从表中看得很清楚,函数的单调增加区间为和,函数的单调减少区间为．还应该注意到,导数不存在的点,也可能成为单调增区间和单调减区间的分界点,看下面的例子.例3确定函数的单调区间．解函数的定义域为,求导数得,令,得．当时,不存在．我们用以上三个点把定义域分成小区间,列表考察各区间内的符号：－+不存在－＋↘↗↘↗所以,函数的单调增加区间为和,单调减少区间为和．从以上三例可以看出,函数的单调性是函数的局部状态.研究函数的单调性,应先求出的点或不存在的点,这些点把定义域分为若干个小区间,考查在各个区间内的符号,然后根据定理判断在各个小区间内的单调性.3.2函数的极值3.2.1极值的概念如图所示,函数在点的函数值比它左右近旁的函数值都大,而在点的函数值比它左右近旁的函数值都小,对于这种特殊的点和它对应的函数值,我们给出如下定义：定义3设函数在区间内有定义,是内的一个点．(1)如果对于点近旁的任一点,都有,那么称为函数的一个极大值,点称为的一个极大值点．(2)如果对于点近旁的任一点,都有,那么称为函数的一个极小值,点称为的一个极小值点．函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点与极小值点统称为函数的极值点．图3-3如图中的和是函数的极大值点,和是函数极大值;和是函数的极小值点,和是函数的极小值．注:(1)极值只是一个局部概念,它仅是与极值点邻近的函数值比较而言较大或较小的，而不是在整个区间上的最大值或最小值．函数的极值点一定出现在区间的内部,在区间的端点处不能取得极值;(2)函数的极大值与极小值可能有很多个,极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小;(3)函数的极值可能取在导数不存在的点．3.2.2函数极值的判定从图可以看出,曲线在点、、、取得极值处的切线都是水平的,即在极值点处函数的导数等于零．对此,我们给出函数存在极值的必要条件：定理4如果函数在点处可导且取得极值,那么．使得函数的导数等于零的点(即方程的实根),叫做函数的稳定点．上述定理说明,可导函数的极值点必定是它的稳定点,但是,函数的稳定点不一定是它的极值点．例如点是函数的稳定点,但不是极值点．所以定理4还不能解决所有求函数极值的问题．但是,定理4提供了寻求可导函数极值点的范围,即从稳定点中去寻找．还要指出连续但不可导点也可能是其极值点,如,在处连续,但不可导,而是该函数的极小点．判断稳定点是否是极值点,我们有如下定理：定理5设函数在点的近旁可导,且．(1)如果当时,;当时,,那么是极大值点是函数的极大值;(2)如果当时,;当时,,那么是极小值点,是函数的极小值;(3)如果在点的左右两侧,同号,那么不是极值点,函数在点处没有极值．图分别显示了以上三种情形：(1)(2)(3)图根据定理4和定理5,可得到求函数极值点和极值的步骤如下：(1)求出函数的定义域;(2)求出函数的导数;(3)令,求出函数在定义域内的全部稳定点;(4)用所有稳定点和导数不存在的点把定义域分成若干个部分区间,列表考察每个部分区间内的符号,确定极值点;(5)求出各极值点处的函数值,即得函数的全部极值．例4求函数的极值．解(1)函数的定义域为;(2)函数的导数为;(3)令,得稳定点,;(4)列表考察：＋－＋↗极大值↘极小值↗所以,函数的极大值为,极小值为．例5求函数的极值．解(1)函数的定义域为;(2)函数的导数为;(3)令,得稳定点,,;(4)列表考察：－－＋＋↘↘极小值↗↗由上表可知,函数的极小值为,稳定点,不是极值点．例6求函数的极值．解(1)函数的定义域为;(2)函数的导数为(3)令得稳定点,又函数的在点和处的导数都不存在．(4)用,和这三个点将定义域分为四个区间．列表考察：－不存在＋－不存在＋↘极小值↗极大值↘极小值↗由上表可知,函数的极大值为,极小值为．3.3函数的最值在生产实践中,常会遇到一类“最大”、“最小”、“最省”等问题,例如厂家生产一种圆柱形杯子,就要考虑在一定条件下,杯子的直径和高取多大时,用料最省;又如在销售某种商品时,在成本固定之下,怎样确定零售价,才能使商品售出最多,获得利润最大等.这类问题在数学上叫做最大值、最小值问题,简称最值问题. 设函数在闭区间上连续,由闭区间上连续函数的性质知道,函数在闭区间上一定有最大值与最小值．最大值与最小值可能取在区间内部,也可能取在区间的端点处,如果取在区间内部,那么,它们一定取在函数的稳定点处或者导数不存在的点处．函数的极值是局部概念,在一个区间内可能有很多个极值,但函数的最值是整体概念,在一个区间上只有一个最大值和一个最小值．由以上分析知,求函数在闭区间上的最大值与最小值的步骤为：(1)求出在区间内的所有稳定点,导数不存在的点,并计算各点的函数值;(2)求出端点处的函数值和;(3)比较以上所有函数值,其中最大的就是函数在上的最大值,最小的就是函数在上的最小值．例7求函数在区间上的最大值与最小值．解(1)函数的导数为,令,得函数定义域内的稳定点为,,其函数值分别为,．(2)在区间端点处的函数值分别为,;(3)比较以上各函数值,可以得到,函数在区间上的最大值为,最小值为．例8求函数在区间上的最大值与最小值．解函数的导数为,令得函数定义域内的稳定点为(因为不合题意舍去)．由,,,可知,函数在区间上的最大值是,最小值是．3.4曲线的凹凸性与拐点研究函数的单调性与极值,对于了解函数的性态,描绘函数的图形起到了重要作用．但是仅依赖于这些知识,还不能比较准确地描绘出函数的图形．例如函数与在上的图形(),其曲线都是单调上升的,但他们的弯曲方向却不同,这就是所谓的凹与凸的区别．曲线上任一点的切线均位于曲线下方,形状是凹的,而曲线上任一点的切线均位于曲线上方,形状是凸的．图3-5

一般地,从图3-6可以看出,在向下凸的曲线弧上,任一点处的切线都在曲线的下方;在向上凸的曲线弧段上,任一点处的切线都在曲线的上方．定义6如果在某区间内,曲线弧段上任一点处的切线都在曲线的下方,那么称此曲线弧段为凹曲线;曲线弧段上任一点处的切线都在曲线的上方,那么称此曲线弧段为凸曲线．从中还可以看出,当曲线弧段是凹的时候,其切线的斜率是逐渐增加的,即函数的导数是单调增加的;当曲线弧段是凸的时候,其切线的斜率是逐渐减少的,即函数的导数是单调减少的．根据函数单调性的判定方法,有如下定理：图3-6定理7设函数在区间内具有二阶导数．(1)如果当时,恒有,则曲线在区间内是凹的;(2)如果当时,恒有,则曲线在区间内是凸的．例9判定曲线的凹凸性．解函数的定义域为,因为,,所以,函数在其定义域内是凹的.例10判定曲线的凹凸性．解函数的定义域是,因为,,所以,当时,;当时,,由定理４知：曲线在区间内凸的,在区间内是凹的．例1中点是曲线由凸变凹的分界点．对于这样的点,我们给出下面的定义：定义8连续曲线上凸的曲线与凹的曲线的分界点叫做曲线的拐点．例11求曲线的凹凸区间与拐点．解函数的定义域为,因为,,所以,当时,;当时,,由定理7知:曲线的凹区间为,凸区间为,点是曲线凹凸的分界点,所以拐点为．为了更清楚,我们列出表格＋－拐点由例3可以看出,判定曲线的凹凸性,求拐点的步骤如下：(1)确定函数的定义域;(2)求出函数的二阶导数;(3)用二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点把函数的定义域分成小区间;(4)列表考察各部分区间内二阶导数的符号,判断出曲线的凹凸区间,求出曲线的拐点．例12求函数的凹凸区间与拐点．解(1)函数的定义域为．(2),．(3)解方程,得,．(4)列表考察＋－＋拐点拐点所以函数的凹区间为和，凸区间为，拐点为和.3.5导数在经济中的应用3.5.1基本概念如果函数在其定义域上的函数值满足，其中，则称为函数的最小值，为函数的最大值．连续函数的最大值和最小值只能在区间内的极值点和端点处取得。3.5.2基本运算3.5.2.1闭区间上连续函数的最大、最小值问题解题时，只要求出所有的极值点（稳定点及不可导点）及端点，然后比较这些点处的函数值，其中最大的必然就是最大值，最小的必然就是最小值．例13求函数在区间上的最大值及最小值．解令，得稳定点为，，由于，，，比较各值，得函数在区间上的最大值为，最小值为．如果函数在上连续，且在上仅有一个极大值，而没有极小值，则此极大值就是函数在上的最大值；如果连续函数在上有且仅有一个极小值，而没有极大值，则此极小值就是函数在上的最小值．例14求函数在区间上的最值．解令，得稳定点为，由于，所以是函数的极大值点，又因为在区间上只有唯一的极大值点，故也是函数在区间上的最大值点，相应的最大值．3.5.2.2经济问题中的最大值和最小值在实际问题中，首先要根据问题的具体意义，建立函数关系式，并确定函数的定义域，然后求出函数的最大值和最小值。若问题的最大值和最小值的客观存在是明显的，且在所限定的区间内，只有唯一的稳定点，那么，这个唯一稳定点的函数值，一定是所求的最大值或最小值.参考文献[1]华东师大数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1980.[2]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(第二版)[M].北京：人民教育出版社，1982.[3]徐利治.数学分析的方法及例题选讲[M].北京：高等教育出版社，1984.[4]梁开福.极值点与拐点关系的研究[J].数学理论与应用,1999,29(4)：25-29.[5]田雄飞.关于导数应用的研究[J].山西教育学院学报,2000,25(3)：36-40.[6]郭书力.例说利用导数研究函数[J].呼伦贝尔学院学报,2004,11(5