同济大学《自动控制原理》控制工程基础-计算机采样控制系统sun(1)

2024/1/141控制工程基础第八章计算机采样控制系统（1）孙泽昌

2024/1/142主要内容

计算机控制系统的概述

信号的采样与保持

Z变换和Z反变换2024/1/143计算机控制系统的概述（1）连续（模拟）信号：时间上连续的模拟量信号；离散（采样）信号：时间上离散的，幅值为模拟量或数字量的脉冲序列，通常是按照一定的时间间隔对连续信号进行采样而得到。连续（模拟）控制系统：系统中各处的信号均为连续信号；离散（采样）控制系统：系统中一处或数处的信号为离散信号。

2024/1/144计算机控制系统的概述（1）计算机控制系统：用计算机作为控制器，控制规律由计算机软件程序来实现的离散控制系统。采用计算机控制可以避免模拟控制实现时的许多困难可实现连续控制难以实现的更为复杂的控律；控制算法实现更加灵活；精度和控制器器件特性漂移问题得到有效的解。2024/1/145计算机控制系统的概述（2）计算机控制系统的组成：被控对象、测量环节、比较器、数字控制器和执行机构。数字控制器由数字计算机实现，包括模-数（A/D）变换器、数-模（D/A）变换器、控制算法等。这样的控制系统也被称作DDC系统2024/1/146计算机控制系统的概述（3）

计算机内信息的传递过程：采样、量化、运算和保持。采样和量化是由A/D变换器完成的，运算是在计算机的CPU(中央处理器)内进行的，而计算机输出信号经D/A变换器在采样间隔中保持为常数(零阶保持器)

。

采样后误差信号：量化后误差信号：控制信号：

连续的模拟控制信号：

数-模转换器输出信号：A/D转换D/A转换2024/1/147信号的采样与保持（1）采样过程：按照一定的时间间隔周期性的对连续信号进行截取，将其变为时间上离散的脉冲序列的过程。理想采样器

：采样周期；：每次闭合时间2024/1/148信号的采样与保持（2）采样脉冲信号的数学描述：理想脉冲函数高度为，宽度为，面积为a的矩形脉冲可用下式描述：当时，上面的脉冲是一个幅值无穷大，宽度趋于零，面积（强度）为a的理想脉冲面积为a

亦被称为单位理想脉冲函数2024/1/149信号的采样与保持（3）上式说明：在经理想采样开关采样后，变为离散的采样脉冲信号(采样脉冲函数）。该信号在数学上可以表示为强度等于连续函数在t=kT采样时刻函数值的理想脉冲序列。结合对实际采样过程的分析，连续函数的采样信号可由下式表示：脉冲强度脉冲发生时刻由周期为T的单位理想脉冲组成的脉冲序列由下式表示：2024/1/1410信号的采样与保持（4）采样定理周期函数:可展开成傅氏级数：傅里叶系数：；故时间函数的采样脉冲可表示为：2024/1/1411信号的采样与保持（5）对采样脉冲序列表达式两边分别取拉氏变换：故的拉氏变换为：其傅里叶变换为：

的周期函数，周期为;同时反映了离散信号频谱与连续信号频谱间的关系根据拉氏变换位移定理2024/1/1412信号的采样与保持（6）可见：离散序列的频谱是无限多个频谱的周期重复，其幅值为连续信号频谱的，周期为，时为主频谱，其余称为边频谱。为使采样后的离散信号恢复为原连续信号，必须使采样信号的频谱中各部分相互不重叠。理想低通滤波器2024/1/1413信号的采样与保持（7）香农采样定理：对一个具有有限频谱的连续信号进行采样，只有当采样频率满足时，采样后的离散信号才能保持原连续信号的信息，并可无失真地恢复为原来的连续信号。物理意义：对频谱中最高频率的正弦分量，在一个周期内至少应采样两次。香农采样定理是选择连续信号采样周期的一个基本依。2024/1/1414信号的采样与保持（8）零阶保持器：采用恒值外推规律的保持器。将采样时刻的采样值恒定不变地保持到下一个采样时刻。输出信号为阶梯形函数。除基波外，还包含着高次谐波，存在相位滞后。工程上可实现的一类滤波器：2024/1/1415信号的采样与保持（9）单位脉冲响应：传递函数：1(t)－1(t-T)零阶保持器的频率特性分析：ZOH2024/1/1416信号的采样与保持（10）频率特性：频率特性：相频特性：2024/1/1417信号的采样与保持（11）可见：1）幅值随频率的增大而衰减，存在明显的低通滤波特性，但存在高频分量；

2）采用零阶保持器存在相角滞后，对稳定性不利。理想滤波器幅频特性2024/1/1418采样信号的量化量化：把离散的模拟信号转变成数字信号的过程。量化单位：

：变换器输入的最大和最小值：变换器的位数量化误差：2024/1/1419计算机控制系统的方块图表示：连续的误差信号；：连续的控制作用；模数转换器（A/D）：相当于每隔T秒瞬时接通一次的理想采样开关；数模转换器（D/A）：将离散的数字信号转换成连续信号,其作用是一个保持器。2024/1/1420Z变换和Z反变换（1）关于Z变换：

1）类似于连续实变函数的拉氏变换表示，对采样脉冲序列也有相应的变换表示。

2）

变换是线性时不变离散系统分析与设计的理论基础。

变换定义：采样脉冲信号

的拉氏变换

2024/1/1421Z变换和Z反变换（2）令

，则为采样脉冲函数的变换，记为。

Z变换只适用于离散信号。其主要局限性是它只能提取和表达信号在采样时刻的信息，不能提供采样时刻间隔内的信号信息。当称是函数y(t)的Z变换时，实际上是指对该函数采样脉冲函数的Z变换.也即Z变换本身同时也包含对连续函数的离散化。则定义2024/1/1422Z变换和Z反变换（3）求变换的方法：1）由变换的定义，应用变换的基本运算规则和级数求和公式而求得。利用变换定义求几种简单函数的变换：单位脉冲时间序列：

2024/1/1423Z变换和Z反变换（4）单位阶跃时间序列：单位斜坡时间序列：

衰减指数序列：2024/1/1424Z变换和Z反变换（5）其采样脉冲序列则f(t)的Z变换其中满足按定义直接求取单位斜坡函数和衰减指数函数的Z变换：2024/1/1425Z变换和Z反变换（6）单位斜坡函数其采样脉冲序列则f(t)的Z变换2024/1/1426Z变换和Z反变换（7）求变换的方法：2）部分分式法：由时间函数拉氏变换求取该函数的Z变换。当连续函数为复杂函数时，其拉氏变换为的高阶有理分式，当分母多项式能够分解因式时，可以展开为部分分式

S域域Z域2024/1/1427Z变换和Z反变换（8）3）公式法：如果函数除有限个极点外在某域内是解析的，则由复变函数理论和留数定理可知:例12024/1/1428Z变换和Z反变换（9）留数的计算方法因是否有重极点而异：

当无重极点时，即当时则

当具有重极点时，则2024/1/1429Z变换和Z反变换（10）例3例22024/1/1430Z变换和Z反变换（11）

变换的基本定理：1）线性定理：若，则2）迟后定理：若时间函数y(t)当时有，，则说明：原函数在时域内延时个采样周期，相当于该函数变换乘以。算子的物理意义为：将采样信号延时个采样周期2024/1/1431Z变换和Z反变换（11）3）超前定理：对于函数y(t),若时有则进一步，如若则有2024/1/1432Z变换和Z反变换（12）4）初值定理：如果函数y(t)有z变换存在，并且存在，则y(t)的初值y(0)为：通常利用初值定理来检验时间函数y(t)Z变换结果的对错，因为Y(0)通常是已知的，或很容易求得。4）终值定理：设Y(z)为y(t)，t<0时，y(t)=0;且Y(z)的所有极点都在单位园内，则2024/1/1433Z变换和Z反变换（13）5）卷积定理2024/1/1434Z变换和Z反变换（14）反变换：

幂级数展开法：

(直接除法）注意：Z反变换只能根据Y(Z)求取原函数的采样脉冲函数，而不能求得原时间函数。2024/1/1435Z变换和Z反变换（15）例：求的Z反变换。解：将分子和分母多项式按升幂排列，然后做多项式除法分之多项式分母多项式商2024/1/1436Z变换和Z反变换（16）由此得到则2024/1/1437Z变换和Z反变换（17）2）部分分式法

设F(Z)是Z的有理分式，当有n个互不相同极点时，利用部分分式法求F(Z)反变换的步骤为：①展开，其中

②把展开式两边同乘以，得③上式两端分别求Z反变换，得到其中从而有2024/1/1438Z变换和Z反变换（18）例5：求下式y(z)的Z反变换解：1）2）3）4) 2024/1/1439Z变换和Z反变换（19）如果的分母多项式中包含一对共轭复根，其余为互不相同的实数根。则其中