2024届吉林省榆树市一高高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届吉林省榆树市一高高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，已知是边上一点，，，则等于（）A． B． C． D．2．若不等式对实数恒成立，则实数的取值范围（）A．或 B．C． D．3．下列四组中的函数，表示同一个函数的是（）A．， B．,C．， D．，4．己知的周长为，内切圆的半径为，，则的值为（）A． B． C． D．5．经过点，和直线相切，且圆心在直线上的圆方程为（）A． B．C． D．6．直线的倾斜角为A． B． C． D．7．若线性方程组的增广矩阵是5b1102bA．1 B．2 C．3 D．48．已知，，下列不等式成立的是（）A． B．C． D．9．两条直线和，，在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．10．已知向量，，，则实数的值为()A． B． C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知角满足，则_____12．设集合，它共有个二元子集，如、、等等．记这个二元子集为、、、、，设，定义，则_____．（结果用数字作答）13．如图,圆锥型容器内盛有水,水深,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________14．数列中，为的前项和，若，则____．15．某县现有高中数学教师500人，统计这500人的学历情况，得到如下饼状图，该县今年计划招聘高中数学新教师，只招聘本科生和研究生，使得招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，且研究生的比例保持不变，则该县今年计划招聘的研究生人数为_______.16．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列规律，第行从右至左的第3个数为___________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．若数列满足：存在正整数，对任意的，使得成立，则称为阶稳增数列.（1）若由正整数构成的数列为阶稳增数列，且对任意，数列中恰有个，求的值；（2）设等比数列为阶稳增数列且首项大于，试求该数列公比的取值范围；（3）在（1）的条件下，令数列（其中，常数为正实数），设为数列的前项和.若已知数列极限存在，试求实数的取值范围，并求出该极限值.18．如图所示，在平行四边形ABCD中，若，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.19．已知函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间：(2)求函数在区间上的最大值及取最大值时的集合.20．已知向量，不是共线向量，，，（1）判断，是否共线；（2）若，求的值21．在中，角的对边分别为.已知（1）若，，求的面积；（2）若的面积为，且，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

利用向量的减法将3，进行分解，然后根据条件，进行对比即可得到结论【题目详解】∵3，∴33，即43，则，∵λ，∴λ，故选A．【题目点拨】本题主要考查向量的基本定理的应用，根据向量的减法法则进行分解是解决本题的关键．2、C【解题分析】

对m分m≠0和m=0两种情况讨论分析得解.【题目详解】由题得时，x＜0，与已知不符，所以m≠0.当m≠0时，，所以.综合得m的取值范围为.故选C【题目点拨】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、A【解题分析】

分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【题目详解】．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以，表示同一个函数．．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，所以，不能表示同一个函数．．的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以，不能表示同一个函数．．的定义域为，的定义域，两个函数的定义域不相同，对应法则相同，所以，不能表示同一个函数．故选．【题目点拨】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据主要是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．4、C【解题分析】

根据的周长为，内切圆的半径为，求得，再利用正弦定理，得到，然后代入余弦定理，化简得到求解.【题目详解】因为的周长为，内切圆的半径为，所以，又因为，所以.由余弦定理得：，，所以，所以，即，因为A为内角，所以，所以.故选：C【题目点拨】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5、B【解题分析】

设出圆心坐标，由圆心到切线的距离和它到点的距离都是半径可求解．【题目详解】由题意设圆心为，则，解得，即圆心为，半径为．圆方程为．故选：B．【题目点拨】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．求出圆心坐标与半径是求圆标准方程的基本方法．6、D【解题分析】

把直线方程的一般式方程化为斜截式方程，求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，求出倾斜角.【题目详解】，设直线的倾斜角为，，故本题选D.【题目点拨】本题考查了直线方程之间的转化、利用斜率求直线的倾斜角问题.7、C【解题分析】

由题意得5×3421+【题目详解】由题意得5×3421+解得b1则b2【题目点拨】本题主要考查了线性方程组的解法，以及增广矩阵的概念，考查运算能力，属于中档题.8、A【解题分析】

由作差法可判断出A、B选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D选项中不等式的正误.【题目详解】对于A选项中的不等式，，，，，，，，A选项正确；对于B选项中的不等式，，，，，，，B选项错误；对于C选项中的不等式，，，，，，，即，C选项错误；对于D选项中的不等式，，函数是递减函数，又，所以，D选项错误.故选A.【题目点拨】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.9、A【解题分析】

由方程得出直线的截距，逐个选项验证即可.【题目详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，直线的横、纵截距分别为选项A，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，故A正确；选项B，只有当时，才有直线平行，故B错误；选项C，只有当时，才有直线的纵截距相等，故C错误；选项D，由的图象可得，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图像不对应，故D错误；故选：A【题目点拨】本题考查了直线的截距式方程，需理解截距的定义，属于基础题.10、A【解题分析】

将向量的坐标代入中，利用坐标相等，即可得答案.【题目详解】∵，∴.故选：A.【题目点拨】本题考查向量相等的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

利用诱导公式以及两角和与差的三角公式，化简求解即可．【题目详解】解：角满足，可得

则．

故答案为：．【题目点拨】本题考查两角和与差的三角公式，诱导公式的应用，考查计算能力，是基础题．12、1835028【解题分析】

分别分析中二元子集中较大元素分别为、、、时，对应的二元子集中较小的元素，再利用题中的定义结合数列求和思想求出结果.【题目详解】当二元子集较大的数为，则较小的数为；当二元子集较大的数为，则较小的数为、；当二元子集较大的数为，则较小的数为、、；当二元子集较大的数为，则较小的数为、、、、.由题意可得，令，得，上式下式得，化简得，因此，，故答案为：.【题目点拨】本题考查新定义，同时也考查了数列求和，解题的关键就是找出相应的规律，列出代数式进行计算，考查运算求解能力，属于难题.13、【解题分析】

通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积.【题目详解】作出相关图形，显然,因此，因此放球前，球O与边相切于点M，故，则，所以，,所以放球后，而，而，解得.【题目点拨】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.14、【解题分析】

由，结合等比数列的定义可知数列是以为首项，为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．【题目详解】因为，所以，又因为所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以由等比数列的求和公式得，解得【题目点拨】本题考查利用等比数列的定义求通项公式以及等比数列的求和公式，属于简单题．15、50【解题分析】

先计算出招聘后高中数学教师总人数，然后利用比例保持不变，得到该县今年计划招聘的研究生人数.【题目详解】招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，则招聘后，该县高中数学教师总人数为，招聘后研究生的比例保持不变，该县今年计划招聘的研究生人数为.【题目点拨】本题主要考查学生的阅读理解能力和分析能力，从题目中提炼关键字眼“比例保持不变”是解题的关键.16、【解题分析】

由题可以先算出第行的最后一个数,再从右至左算出第3个数即可.【题目详解】由图得,第行有个数,故前行一共有个数,即第行最后一个数为,故第行从右至左的第3个数为.【题目点拨】本题主要考查等差数列求和问题,注意从右至左的第3个数为最后一个数减2.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）设，由题意得出，求出正整数的值即可；（2）根据定义可知等比数列中的奇数项构成的等比数列为阶稳增数列，偶数项构成的等比数列也为阶稳增数列，分和两种情况讨论，列出关于的不等式，解出即可；（3）求出，然后分、和三种情况讨论，求出，结合数列的极限存在，求出实数的取值范围.【题目详解】（1）设，由于数列为阶稳增数列，则，对任意，数列中恰有个，则数列中的项依次为：、、、、、、、、、、、、、、、、，设数列中值为的最大项数为，则，由题意可得，即，，解得，因此，；（2）由于等比数列为阶稳增数列，即对任意的，，且.所以，等比数列中的奇数项构成的等比数列为阶稳增数列，偶数项构成的等比数列也为阶稳增数列.①当时，则等比数列中每项都为正数，由可得，整理得，解得；②当时，（i）若为正奇数，可设，则，由，得，即，整理得，解得；（ii）若为正偶数时，可设，则，由，得，即，整理得，解得.所以，当时，等比数列为阶稳增数列.综上所述，实数的取值范围是；（3），由（1）知，则.①当时，，，则，此时，数列的极限不存在；②当时，，，上式下式得，所以，，则.（i）若时，则，此时数列的极限不存在；（ii）当时，，此时，数列的极限存在.综上所述，实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查数列新定义“阶稳增数列”的应用，涉及等比数列的单调性问题、数列极限的存在性问题，同时也考查了错位相减法求和，解题的关键就是理解新定义“阶稳增数列”，考查分析问题和解决问题能力，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.18、（1）；（2）22【解题分析】

（1）易得，，再由即可得解；（2）由可得出，再由，可得：，即，即可得到的值.【题目详解】（1）由向量的加法法则得：，，，因为，所以；（2），∴，∴，即，∴.【题目点拨】本题平面向量的应用，考查向量的加法法则，考查向量数量积的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.19、（1）,单调递增区间为；（2）最大值为,取最大值时，的集合为.【解题分析】

（1）对进行化简转换为正弦函数，可得其最小正周期和递增区间；（2）根据（1）的结果，可得正弦函数的最大值和此时的的集合.【题目详解】解：（1）∴.增区间为：即单调递增区间为（2）当时，的最大值为，此时，∴取最大值时，的集合为.【题目点拨】本题考查二倍角公式和辅助角公式以及正弦函数的性质，属于基础题.20、（1）与不共线.（2）【解题分析】

（1）假设与共线，由此列方程组，解方程组判断出与不共线.（2）根据两个向量平行列方程组，解方程组求得的值.【题目详解】解：（1）若与共线，由题知为非零向量