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文档简介
云南省金平县第一中学2024年高三数学第一学期期末复习检测模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知实数,满足约束条件,则的取值范围是()A. B. C. D.2.的展开式中的项的系数为()A.120 B.80 C.60 D.403.已知向量满足,且与的夹角为,则()A. B. C. D.4.若双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.5.设正项等比数列的前n项和为,若,,则公比()A. B.4 C. D.26.设函数(,为自然对数的底数),定义在上的函数满足,且当时,.若存在,且为函数的一个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.7.已知函数满足:当时,,且对任意,都有,则()A.0 B.1 C.-1 D.8.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.9.以下关于的命题,正确的是A.函数在区间上单调递增B.直线需是函数图象的一条对称轴C.点是函数图象的一个对称中心D.将函数图象向左平移需个单位,可得到的图象10.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级.某班共有名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中,这两科等级均为的学生有人,这两科中仅有一科等级为的学生,其另外一科等级为,则该班()A.物理化学等级都是的学生至多有人B.物理化学等级都是的学生至少有人C.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人D.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人11.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,则的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.612.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于()cm3A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设实数x,y满足,则点表示的区域面积为______.14.如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,则此四棱锥的体积为_____.15.已知等差数列满足,,则的值为________.16.已知向量,,若,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线C:x24py(p为大于2的质数)的焦点为F,过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.(1)求点G的轨迹方程;(2)当点G的横坐标为整数时,S是否为整数?若是,请求出所有满足条件的S的值;若不是,请说明理由.18.(12分)如图,四棱锥中,底面是菱形,对角线交于点为棱的中点,.求证:(1)平面;(2)平面平面.19.(12分)椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上两动点使得四边形为平行四边形,且平行四边形的周长和最大面积分别为8和.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线与椭圆的另一交点为,当点在以线段为直径的圆上时,求直线的方程.20.(12分)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的人的得分(满分:分)数据,统计结果如下表所示.组别频数(1)已知此次问卷调查的得分服从正态分布,近似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),请利用正态分布的知识求;(2)在(1)的条件下,环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.(ⅰ)得分不低于的可以获赠次随机话费,得分低于的可以获赠次随机话费;(ⅱ)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.赠送的随机话费/元概率现市民甲要参加此次问卷调查,记为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列及数学期望.附:,若,则,,.21.(12分)已知椭圆过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为.(1)求椭圆C的标准方程:(2)设A是椭圆的左顶点,过右焦点F的直线,与椭圆交于P,Q,直线AP,AQ与直线交于M,N,线段MN的中点为E.①求证:;②记,,的面积分别为、、,求证:为定值.22.(10分)已知函数.(1)当时,不等式恒成立,求的最小值;(2)设数列,其前项和为,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
画出可行域,根据可行域上的点到原点距离,求得的取值范围.【详解】由约束条件作出可行域是由,,三点所围成的三角形及其内部,如图中阴影部分,而可理解为可行域内的点到原点距离的平方,显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值,此时,点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值,此时.所以的取值范围是.故选:B【点睛】本小题考查线性规划,两点间距离公式等基础知识;考查运算求解能力,数形结合思想,应用意识.2、A【解析】
化简得到,再利用二项式定理展开得到答案.【详解】展开式中的项为.故选:【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力.3、A【解析】
根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.【详解】.故选:A.【点睛】本题主要考查数量积的运算,属于基础题.4、C【解析】
利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【详解】由已知,双曲线的渐近线方程为,故圆心到渐近线的距离等于1,即,所以,.故选:C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法,求双曲线离心率问题,关键是建立三者间的方程或不等关系,本题是一道基础题.5、D【解析】
由得,又,两式相除即可解出.【详解】解:由得,又,∴,∴,或,又正项等比数列得,∴,故选:D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用,属于基础题.6、D【解析】
先构造函数,由题意判断出函数的奇偶性,再对函数求导,判断其单调性,进而可求出结果.【详解】构造函数,因为,所以,所以为奇函数,当时,,所以在上单调递减,所以在R上单调递减.因为存在,所以,所以,化简得,所以,即令,因为为函数的一个零点,所以在时有一个零点因为当时,,所以函数在时单调递减,由选项知,,又因为,所以要使在时有一个零点,只需使,解得,所以a的取值范围为,故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题,难度较大.7、C【解析】
由题意可知,代入函数表达式即可得解.【详解】由可知函数是周期为4的函数,.故选:C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用,属于基础题.8、A【解析】
根据三视图可得几何体为直三棱柱,根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱,直观图如图所示:其中,底面为直角三角形,,,高为.∴该几何体的体积为故选:A.【点睛】本题考查三视图及棱柱的体积,属于基础题.9、D【解析】
利用辅助角公式化简函数得到,再逐项判断正误得到答案.【详解】A选项,函数先增后减,错误B选项,不是函数对称轴,错误C选项,,不是对称中心,错误D选项,图象向左平移需个单位得到,正确故答案选D【点睛】本题考查了三角函数的单调性,对称轴,对称中心,平移,意在考查学生对于三角函数性质的综合应用,其中化简三角函数是解题的关键.10、D【解析】
根据题意分别计算出物理等级为,化学等级为的学生人数以及物理等级为,化学等级为的学生人数,结合表格中的数据进行分析,可得出合适的选项.【详解】根据题意可知,名学生减去名全和一科为另一科为的学生人(其中物理化学的有人,物理化学的有人),表格变为:物理化学对于A选项,物理化学等级都是的学生至多有人,A选项错误;对于B选项,当物理和,化学都是时,或化学和,物理都是时,物理、化学都是的人数最少,至少为(人),B选项错误;对于C选项,在表格中,除去物理化学都是的学生,剩下的都是一科为且最高等级为的学生,因为都是的学生最少人,所以一科为且最高等级为的学生最多为(人),C选项错误;对于D选项,物理化学都是的最多人,所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少(人),D选项正确.故选:D.【点睛】本题考查合情推理,考查推理能力,属于中等题.11、C【解析】
根据题意,将a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【详解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,当且仅当时取“=”号.
答案:C【点睛】本题考查基本不等式的应用,“1”的应用,利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是首先要判断参数是否为正;二定是其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是最后一定要验证等号能否成立,属于基础题.12、D【解析】解:根据几何体的三视图知,该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据,计算它的体积为:V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=(6+1.5π)cm1.故答案为6+1.5π.点睛:根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据计算它的体积即可.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先画出满足条件的平面区域,求出交点坐标,利用定积分即可求解.【详解】画出实数x,y满足表示的平面区域,如图(阴影部分):则阴影部分的面积,故答案为:【点睛】本题考查了定积分求曲边梯形的面积,考查了微积分基本定理,属于基础题.14、【解析】
画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可.【详解】解:如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,此四棱锥中,是边长为的正方形,是边长为的等边三角形,故,又,故平面平面,的高是四棱锥的高,此四棱锥的体积为:.故答案为:.【点睛】本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意15、11【解析】
由等差数列的下标和性质可得,由即可求出公差,即可求解;【详解】解:设等差数列的公差为,,又因为,解得故答案为:【点睛】本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用,属于基础题.16、1【解析】
根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.【详解】向量,则,则因为即,化简可得解得故答案为:【点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)当G点横坐标为整数时,S不是整数.【解析】
(1)先求解导数,得出切线方程,联立方程得出交点G的轨迹方程;(2)先求解弦长,再分别求解点到直线的距离,表示出四边形的面积,结合点G的横坐标为整数进行判断.【详解】(1)设,则,抛物线C的方程可化为,则,所以曲线C在点A处的切线方程为,在点B处的切线方程为,因为两切线均过点G,所以,所以A,B两点均在直线上,所以直线AB的方程为,又因为直线AB过点F(0,p),所以,即G点轨迹方程为;(2)设点G(,),由(1)可知,直线AB的方程为,即,将直线AB的方程与抛物线联立,,整理得,所以,,解得,因为直线AB的斜率,所以,且,线段AB的中点为M,所以直线EM的方程为:,所以E点坐标为(0,),直线AB的方程整理得,则G到AB的距离,则E到AB的距离,所以,设,因为p是质数,且为整数,所以或,当时,,是无理数,不符题意,当时,,因为当时,,即是无理数,所以不符题意,当时,是无理数,不符题意,综上,当G点横坐标为整数时,S不是整数.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线中的切线问题通常借助导数来求解,四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题,表示出面积的表达式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.18、(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】
(1)连结根据中位线的性质证明即可.(2)证明,再证明平面即可.【详解】解:证明:连结是菱形对角线的交点,为的中点,是棱的中点,平面平面平面解:在菱形中,且为的中点,,,平面平面,平面平面.【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.19、(1)(2)或【解析】
(1)根据题意计算得到,,得到椭圆方程.(2)设,联立方程得到,根据,计算得到答案.【详解】(1)由平行四边形的周长为8,可知,即.由平行四边形的最大面积为,可知,又,解得.所以椭圆方程为.(2)注意到直线的斜率不为0,且过定点.设,由消得,所以,因为,所以.因为点在以线段为直径的圆上,所以,即,所以直线的方程或.【点睛】本题考查了椭圆方程,根据直线和椭圆的位置关系求直线,将题目转化为是解题的关键.20、(1);(2)见解析.【解析】
(1)根据题中所给的统计表,利用公式计算出平均数的值,再利用数据之间的关系将、表示为,,利用题中所给数据,以及正态分布的概率密度曲线的对称性,求出对应的概率;(2)根据题意,高于平均数和低于平均数的概率各为,再结合得元、元的概率,分析得出话费的可能数据都有哪些,再利用公式求得对应的概率,进而得出分布列,之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.【详解】(1)由题意可得,易知,,,;(2)根据题意,可得出随机变量的可能取值有、、、元,,,,.所以,随机变量的分布列如下表所示:所以,随机变量的数学期望为.【点睛】本题考查概率的计算,涉及到平均数的求法、正态分
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