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文档简介
甘肃省兰州市兰化一中2024届高一数学第二学期期末预测试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.向量,,若,则()A.5 B. C. D.2.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.3.在的二面角内,放置一个半径为3的球,该球切二面角的两个半平面于A,B两点,那么这两个切点在球面上的最短距离为()A. B. C. D.4.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.5.已知,若将它的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的图象的一条对称轴的方程为()A. B. C. D.6.已知,若,则等于()A. B.1 C.2 D.7.在中,,,,则的面积是()A. B. C.或 D.或8.已知函数,,的零点分别为a,b,c,则()A. B. C. D.9.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,b=c,且满足=,若点O是△ABC外一点,∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,则平面四边形OACB面积的最大值是()A. B. C.3 D.10.设,,若是与的等比中项,则的最小值为()A. B. C.3 D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.若数列的首项,且(),则数列的通项公式是__________.12.已知圆锥的表面积等于,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为__________.13.某中学高一年级有学生1200人,高二年级有学生900人,高三年级有学生1500人,现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究,则应从高三年级学生中抽取_____人.14.某工厂生产三种不同型号的产品,产品数量之比依次为,现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本,样本中种型号产品有16件,那么此样本的容量=15.已知,,若,则____16.当时,的最大值为__________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.有n名学生,在一次数学测试后,老师将他们的分数(得分取正整数,满分为100分),按照,,,,的分组作出频率分布直方图(如图1),并作出样本分数的茎叶图(如图2)(图中仅列出了得分在,的数据).(1)求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值;(2)分数在的学生中,男生有2人,现从该组抽取三人“座谈”,求至少有两名女生的概率.18.为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况,某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭,获得第个家庭的月收入(单位:千元)与月储蓄(单位:千元)的数据资料,计算得:,,,,.(1)求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程;(2)指出(1)中所求出方程的系数,并判断变量与之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为9千元,预测该家庭的月储蓄.19.已知直线l的方程为.(1)求过点且与直线l垂直的直线方程;(2)求直线与的交点,且求这个点到直线l的距离.20.在中,角的对边分别为.已知(1)若,,求的面积;(2)若的面积为,且,求的值.21.已知点,,曲线任意一点满足.(1)求曲线的方程;(2)设点,问是否存在过定点的直线与曲线相交于不同两点,无论直线如何运动,轴都平分,若存在,求出点坐标,若不存在,请说明理由.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】
由已知等式求出,再根据模的坐标运算计算出模.【题目详解】由得,解得.∴,,.故选:A.【题目点拨】本题考查求向量的模,考查向量的数量积,及模的坐标运算.掌握数量积和模的坐标表示是解题基础.2、B【解题分析】由题意不妨令棱长为,如图在底面内的射影为的中心,故由勾股定理得过作平面,则为与底面所成角,且如图作于中点与底面所成角的正弦值故答案选点睛:本题考查直线与平面所成的角,要先过点作垂线构造出线面角,然后计算出各边长度,在直角三角形中解三角形.3、A【解题分析】
根据题意,作出截面图,计算弧长即可.【题目详解】根据题意,作出该球过球心且经过A、B的截面图如下所示:由题可知:则,故满足题意的最短距离为弧长BA,在该弧所在的扇形中,弧长.故选:A.【题目点拨】本题考查弧长的计算公式,二面角的定义,属综合基础题.4、D【解题分析】分析:分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能,代入概率公式可求得概率.详解:设2名男同学为,3名女同学为,从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能,选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为,故选D.点睛:应用古典概型求某事件的步骤:第一步,判断本试验的结果是否为等可能事件,设出事件;第二步,分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数;第三步,利用公式求出事件的概率.5、B【解题分析】分析:由左加右减,得出解析式,因为解析式为正弦函数,所以令,解出,对k进行赋值,得出对称轴.详解:由左加右减可得,解析式为正弦函数,则令,解得:,令,则,故选B.点睛:三角函数图像左右平移时,需注意要把x放到括号内加减,求三角函数的对称轴,则令等于正弦或余弦函数的对称轴公式,求出x解析式,即为对称轴方程.6、A【解题分析】
首先根据⇒(cos﹣3)cos+sin(sin﹣3)=﹣1,并化简得出,再化为Asin()形式即可得结果.【题目详解】由得:(cos﹣3)cos+sin(sin﹣3)=﹣1,化简得,即sin()=,则sin()=故选A.【题目点拨】本题考查了三角函数的化简求值以及向量的数量积的运算,属于基础题.7、C【解题分析】
先根据正弦定理求出角,从而求出角,再根据三角形的面积公式进行求解即可.【题目详解】解:由,,,根据正弦定理得:,为三角形的内角,或,或在中,由,,或则面积或.故选C.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理,三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键,属于中档题.8、B【解题分析】
,,分别为,,的根,作出,,的图象与直线,观察交点的横坐标的大小关系.【题目详解】由题意可得,,分别为,,的根,作出,,,的图象,与直线的交点的横坐标分别为,,,由图象可得,故选:.【题目点拨】本题主要考查了函数的零点,函数的图象,数形结合思想,属于中档题.9、A【解题分析】
根据正弦和角公式化简得是正三角形,再将平面四边形OACB面积表示成的三角函数,利用三角函数求得最值.【题目详解】由已知得:即所以即又因为所以所以又因为所以是等边三角形.所以在中,由余弦定理得且因为平面四边形OACB面积为当时,有最大值,此时平面四边形OACB面积有最大值,故选A.【题目点拨】本题关键在于把所求面积表示成角的三角函数,属于难度题.10、C【解题分析】
先由题意求出,再结合基本不等式,即可求出结果.【题目详解】因为是与的等比中项,所以,故,因为,,所以,当且仅当,即时,取等号;故选C【题目点拨】本题主要考查基本不等式的应用,熟记基本不等式即可,属于常考题型.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解题分析】,得(),两式相减得,即(),,得,经检验n=1不符合。所以,12、【解题分析】
设出底面圆的半径,用半径表示出圆锥的母线,再利用表面积,解出半径。【题目详解】设圆锥的底面圆的半径为,母线为,则底面圆面积为,周长为,则解得故填2【题目点拨】本题考查根据圆锥的表面积求底面圆半径,属于基础题。13、1.【解题分析】
先求得高三学生占的比例,再利用分层抽样的定义和方法,即可求解.【题目详解】由题意,高三学生占的比例为,所以应从高三年级学生中抽取的人数为.【题目点拨】本题主要考查了分层抽样的定义和方法,其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.14、1.【解题分析】
解:A种型号产品所占的比例为2/(2+3+5)=2/10,16÷2/10=1,故样本容量n=1,15、【解题分析】
由,,得的坐标,根据得,由向量数量积的坐标表示即可得结果.【题目详解】∵,,∴又∵,∴,即,所以,解得,故答案为.【题目点拨】本题主要考查了向量的坐标运算,两向量垂直与数量积的关系,属于基础题.16、-3.【解题分析】
将函数的表达式改写为:利用均值不等式得到答案.【题目详解】当时,故答案为-3【题目点拨】本题考查了均值不等式,利用一正二定三相等将函数变形是解题的关键.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),,;(2)【解题分析】
(1)利用之间的人数和频率即可求出,进而可求出、;(2)列出所有基本事件,再找到符合要求的基本事件即可得解.【题目详解】(1)由题意可知,样本容量,,.(2)由题意知,分数在的学生共有5人,其中男生2人,女生3人,分别设编号为,和,,,则从该组抽取三人“座谈”包含的基本事件:,,,,,,,,,,共计10个.记事件A“至少有两名女生”,则事件A包含的基本事件有:,,,,,,,共计7个.所以至少有两名女生的概率为.【题目点拨】本题考查了频率分布直方图和古典概型概率的求法,属于基础题.18、(1);(2)正相关;(3)2.2千元.【解题分析】
(1)直接利用公式计算回归方程为:.(2)由(1),故正相关.(3)把代入得:.【题目详解】(1)∵,,样本中心点为:∴由公式得:把代入得:所求回归方程为:;(2)由(1)知,所求出方程的系数为:,,∵,∴与之间是正相关.(3)把代入得:(千元)即该居民区某家庭月收入为9千元时,预测该家庭的月储蓄为2.2千元.【题目点拨】本题考查了回归方程的计算和预测,意在考查学生的计算能力.19、(1)(2)1【解题分析】
(1)与l垂直的直线方程可设为,再将点代入方程可得;(2)先求两直线的交点,再用点到直线的距离公式可得点到直线l的距离.【题目详解】解:(1)设与直线垂直的直线方程为,把代入,得,解得,∴所求直线方程为.(2)解方程组得∴直线与的交点为,点到直线的距离.【题目点拨】本题考查两直线垂直时方程的求法和点到直线的距离公式.20、(1);(2).【解题分析】
(1)先根据计算出与,再利用余弦定理求出b边,最后利用求出答案;(2)利用正弦定理将等式化为变得关系,再利用余弦定理化为与的关系式,再结合面积求出c的值.【题目详解】解:(1)因为,所以.又,所以.因为,,且,所以,解得,所以.(2)因为,由正弦定理,得.又,所以.又,得,所以,所以.【题目点拨】本题考查正余弦定理解三角形,属于基础题.21、(1);(2)【解题分析】
(1)设,再根据化简求解方程即可.(2)设过定点的直线方程
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