11083-国家开放大学2023年春期末统一考试《几何基础》答案

试卷代号：11083国家开放大学2023年春季学期期末统一考试几何基础试题2023年7月一、选择题（每小题4分，本题共20分）1.设向量a={-2，O，1}，b={l，-3，-1}，则a×b=（）.A.{3，1，6} B.{-3，1，-6}C.{-3,-1,-6} D.{3,-1,6}2.在中心射影下，如下哪种量不变（）.A.角度 B.交比C.面积 D.长度3.下列（）是仿射不变性质.A.三角形三条中线交于一点 B.三角形三条高线交于一点C.三角形内接于一个圆 D.角平分线上一点到角的两边距离相等4.若两个一维基本图形成射影对应，则对应四元素的交比（）.A.等于2 B.不等C.等于1 D.相等5.无穷远点关于二次曲线的极线称为二次曲线的（）.A.半径 B.直径C.渐近线 D.切线二、填空题（每小题4分，本题共20分）6.设向量a={-1，2，-2}，b={1，z，2}，则a∥b的充分必要条件是x=________.7.仿射变换把等腰梯形变成________.8.x轴上无穷远点的线坐标方程为________.9.由配极原则可知，无穷远点的极线一定通过________.10.(AB,CD)=(BA,DC)=r，则(BD,AC)=________.三、计算题（每小题10分，共30分）11.求使直线x+y-l=0的每个点不变，且把点(1，1)变成点（-1，1）的仿射变换.12.已知A和B的齐次坐标分别为(5，1，1)和（-1，0，1），求直线AB上一点C，使(ABC)=-1，若C=A+λB，求出λ.13.求二阶曲线x2-4xy+2y2-2x+4y+l=0过点（1，-1）的直径.四、证明题（每小题10分，共30分）14.以任意三角形的三条中位线为边可做一个三角形.15.利用笛沙格定理证明三角形的三条中线交于一点.16.如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点. 试卷代号：11083国家开放大学2023年春季学期期末统一考试几何基础试题答案及评分标准（供参考）2023年7月一、选择题（每小题4分，本题共20分）1.D 2.B 3.A 4.D 5.B二、填空题（每小题4分，本题共20分）6.-27.梯形8.u1=09.中心10.1-r三、计算题{每小题lO分，共30分）11．解设所求的仿射变换为 x在直线.x+y-1=0上任取两点(1，0)，(0，1)，则所求的仿射变换把三点(1，1)，(1，O)，(0，1)分别变成（-l，1)，(1，0)，(0，1)，将三对点代人仿射变换式得 -1=a+a11解得： a=2b=0a11因此，所求的仿射变换式为 x'=-x-2y+2y'12．解A，B两点的非齐次坐标为A(x，y)=(5，1)．B（x,y）=(-1，0)，设C=（x,y），由(ABC)=ACBC，x-5x+1=-1,解得 y-1y-0=-1,解得y=12 …………即C=（2,12）,C点的齐次坐标为（2,1因为C=12A+12B，所以λ=1. …………13.解 二次曲线 a的直径公式可表示为（a11x+a12y+a13代人系数和点(l,-l)得 (x-2y-1)+k k=1得直径方程为 x-1=O． …………10分四、证明题（每小题10分，共0（1分） 14.证明 如图， 设AB=c，BC=a，AC=b，则a+b+c=O． …………3分 设E．F，D分别为△ABC一边AC．AB，BC的中点，则FE=DF=12FE+DF+ED=12BC+12CA+12AB=12a+即以中位线EF，FD，ED为边可作成个三角形 ……………lO分15.证明 如图所示， △ABC的中点分别为A’，B’，C’，由三角形中位线定理，A’B’∥AB，B’C’∥BC，A’C’∥AC,于是，AB与A’B’交于P∞，BC与B’C’AC与A’C’交于R∞． ………………因为P∞,Q∞，即△ABC与△A’B’C’对应边的交点共线（无穷远直线）．由笛沙格定理，△ABC与△A’B’C’对应顶点的连线共点，即AA’，BB’,CC’共点． ……………10分16证明 若三点形ABC与A’B’C’的对应边BC与B’C’的交点X，AC与A’C’的交点Y，AB与A