高中文科数学高三模拟测试练习题

高中文科数学高三模拟测试练习题

第一部分选择题(共50分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.i(l+i)2=().

A,I+iB.—1+zC,—2D.2

2.已知集合”=国1082%<1}*="次<1},则A/nN=().

A.{x[0<x<l}8.{x[0<x<2}79

C.{x\x<\]D.0845647

3.如图是2008年元旦晚会举办的挑战主持93

人大赛上，七位评委为某选手打出的分数第3题图

的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据

的众数和中位数分别为().

A.84,85A84,84

C.85,84〃.85,85

4.如图，三棱柱的棱长为2,

面是边长为2的

正三角形，A4,,正视图

边长为2的

正方形，则左视图的面积为第4题图

俯视图

().

A.4326c.2收〃.V3

x+y>0

5.在平面直角坐标系中，不等式组.x-y+420

x<l

表示的平面区域面积是（）.

A.3B.6c.-2D.9

6.在△,中，角4B、。的对边分别为如3K

则。=（）.

A.1B.2

C.V3—\D.V3

7.在佛山市禅城区和南海区打的士

收费办法如下：不超过2公里收7

元，超过2.公里的里程每公里收2.6

元，另每车次超过2公里收燃油附

加费1元（其他因素不考虑）.相应

收费系统的流程图如图所示，则①处应填（）.

A.y=7+2.6x8>,=8+2.6x

C.y=7+2.6（x-2）〃.y=8+2.6（x-2）

8.椭圆<+y2=：i的两个焦点为£、过百作垂直于x轴的直

线与椭圆相交，一个交点为只则「到£的距离为（）.

A.BB.百C.ID.4

22

9.若数列｛%｝满足a2-d=d（d为正常数,neN*）,则称｛《,｝为

”等方差数列”.

甲：数列｛叫是等方差数列；乙：数列｛叫是等差数列，则（）.

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

10.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始

时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完.已知圆柱

中液面上升的速度是一个常量，〃是圆锥形漏斗

中液面下落的距离，则〃与下落时间Z（分）的

函数关系表示的图象只可能是（）.

第二部分非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，其中11—13题是必做题，14—

15题是选做题.每小题5分，满分20分）

11.函数y=sinx+binjtj的值域是.

12.若三点A（2,2）,B（a,0）,C（0,4）共线，则a=.

13.观察：V7+V15<2Vn；V57+ViK5<2>/n；J3-6+J19+百<2而；….

对于任意正实数a,。，试写出使G+北42而成立的一个条件可

以是—.

▲选做题：在下面二道小题中选做一题，二题都选只计算前

一题的得分.

14.（坐标系与参数方程）在直角坐标系中圆c的小k

参数方程为（8为参数），以原点。为

极点，以X轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆

C的圆心极坐标为.

15.（几何证明选讲）如图，A3、8是圆。的两条解，题星AB

是线段切的中垂线，已知/后6,c»2后,则线段的长度

为

三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤）

16.（本题满分12分）34

如图45是单位圆。上的点，且8在第二小C

象限.。是圆与X轴正半轴的交点，4点的坐号声

z

标为△/如为正三角形.71P

(I)求sinNCOA;

(II)求cosNCOB.第16题图

17、（本题满分12分）

如图，四棱锥P-ABC。的底面是边长为1的

正方形，PA上CD,PA=T,PD=6.

（I）求证：PAL平面ABCD；

（II）求四棱锥P-ABC。的体积.第17题图

18.（本小题满分14分）

为了让学生了解环保知识，增50.5-60.540.08

强环保意识，某中学举行了一

次“环保知识竞赛”,共有90060.5-70.50.16

名学生参加了这次竞赛.为了70.5-80.510

解本次竞赛成绩情况，从中抽

取了部分学生的成绩（得分均80.5-90.5160.32

为整数，满分为100分）进行统

90.5-100.5

计.请你根据尚未完成并有局

部污损的频率分布表和频数分合计50

（I）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；

（II）补全频数条形图；

（III）若成绩在75.5~85.5分的学生为二等奖，问获得二等

奖的学生约为多少人？

19.（本小题满分14分）

抛物线尸=2内的准线的方程为k一2,该抛物线上的每个点到

准线户-2的距离都与到定点〃的距离相等，圆4是以"为圆

心,同时与直线4：y=x和4：y=-x相切的圆，

(I)求定点〃的坐标；

(II)是否存在一条直线/同时满足下列条件：

①/分别与直线4和4交于48两点，且48中点为£(4,1)；

②/被圆儿截得的弦长为2；

20.(本小题满分14分)

观察下列三角形数表

1一第一行

22一第二行

343一第三行

4774—第四行

51114115

假设第»行的第二个数为an(n>2,neN,),

(I)依次写出第六行的所有6个数字；

(II)归纳出《川与4的关系式并求出a“的通项公式；

(III)设anbn=1,求证：4+4+…+2<2

21.(本小题满分14分)

已知函数/(x)=ar+/?sinx,当x吐/(x)取得极小值

(I)求a,6的值；

(II)设直线/:y=g(x),曲线S:y=F(x).若直线/与曲线S同时满

足下列两个条件：

(1)直线/与曲线S相切且至少有两个切点；

（2）对任意不£7?都有8（幻之尸（力则称直线/为曲线S的“上

夹线”.

试证明：直线/:y=尤+2是曲线S:y=ox+/?sin尤的“上夹线”.

参考答案和评分标准

一、选择题（每题5分，共50分）

题

12345678910

号

答

CAABDBDCDB

案

二、填空题（每题5分，共20分,两空的前一空3分，后一

空2分）

11.[0,2]12.413.a+b=22

14.（2,1）15.V30

三、解答题（本大题共6小题，共80分）内34

16.（本题满分12分）衣斗去占三）

如图46是单位圆。上的点，且B在第二象限.。是工

圆与x轴正半轴的交点，/点的坐标为（|,扑XAOB

为正三角形.

（I）求sinZCOA；

(II)求cosNCOB.

第16题图

解：(1)因为A点的坐标为(|,弓，根据三角函数定义可知

sinZCOA=-4分

(2)因为三角形AOB为正三角形，所以〃。8=60。,

4

sinZCOA=—9cosZCOA一6分

所以cosZCOB=cos(ZCOA+60°)

=cosZCOAcos60°-sinZCOAsin60°~10分

上在一上述—12分

525210

17、(本题满分12分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,

PALCD,PA=I,PD=6.

(I)求证：平面ABCD；

(II)求四棱锥P-ABC。的体积.°

(I)因为四棱锥P-ABC。的底面是边长为1的正方形,

PA=1,PD=C

所以所以尸A,A。-4分

又PA工CD,ADp\CD^D

所以以_L平面ABC。一8分

(II)四棱锥P-ABCD的底面积为1,

因为PA_L平面45CD,所以四棱锥P-的高为1,

所以四棱锥P_A8c0的体积为g.一12分

18.（本小题满分14分）

为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一

次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了

解本次竞赛成绩情况，从中抽取了

分组频频率

部分学生的成绩（得分均为整数，

满分为100分）进行统计.请你根数

据尚未完成并有局部污损的频率

50.5-60.540.08

分布表和频数分布直方图，解答下

列问题：60.5-70.50.16

火数

70.5-80.510

—

80.5-90.5160.32

-———-—

90.5-100.5

合计50

1，

50.560.570.580.590.5100.5成绩（分）

（I）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；

（II）补全频数条形图；

（III）若成绩在75.5〜85.5分的学生为二等奖，问获得二等

奖的学生约为多少人？

解：⑴

分组频频率

数

50.5-60.540.08

60.5-70.580.16

70.5-80.5100.20

80.5-90.5160.32

90.5-100.5120.24

合计501.00

4分

(2)频数直方图如右上所示一一8分

⑶成绩在75.5-80.5分的学生占70.5-80.5分的学生的得,

因为成绩在70.5-80.5分的学生频率为0.2,所以成绩在

76.5-80.5分的学生频率为0.1,10分

成绩在80.5-85.5分的学生占80.5-90.5分的学生的磊，因

为成绩在80.5-90.5分的学生频率为0.32,所以成绩在

80.5-85.5分的学生频率为0.16-12分

所以成绩在76.5-85.5分的学生频率为0.26,

由于有900名学生参加了这次竞赛，

所以该校获得二等奖的学生约为0.26x900=234(人)14

分

19.（本小题满分14分）

抛物线y2=2px的准线的方程为x=-2,该抛物线上的每个点到

准线x=-2的距离都与到定点"的距离相等，圆"是以4为圆

心,同时与直线4:y=x和4：y=-彳相切的圆，

（I）求定点〃的坐标；

（II）是否存在一条直线/同时满足下列条件：

①/分别与直线4和4交于48两点，且力分中点为玖4,1）；

②/被圆"截得的弦长为2；

解：（1）因为抛物线V=2px的准线的方程为％=一2

所以p=4,根据抛物线的定义可知点4是抛物线的焦点，-

_2分

所以定点4的坐标为（2,0）-3分

（2）假设存在直线/满足两个条件，显然/斜率存在，--4

分

设/的方程为y-l=Z（x-4）,（女工±1）5分

以/V为圆心，同时与直线《:y=x和4:y=7:相切的圆7V的半径为

V2,-6分

方法1：因为/被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距

离等于1,-7分

即〃=隼』=1,解得左=0或H-8分

7T+F3

当k=0时，显然不合46中点为£(4,1)的条件，矛盾！一9

分

当攵=g时，/的方程为4x-3y-13=0-10分

由产-3丫-13=0,解得点/坐标为(印3),11分

y=x

由产一3-3=0,解得点8坐标为件「外12分

［y=-X(77；

显然49中点不是E(4,1),矛盾！T3分

所以不存在满足条件的直线/•14分

方法2：由［)'T="(x-4),解得点/坐标为住占1,誓］,7分

由尸-1=%。-4),解得点8坐标为(牛:一誓］,8分

因为/夕中点为E(4,l),所以普+整=8,解得4=4,10分

k-\k+\

所以/的方程为4x-y-15=O,

圆心N到直线/的距离岑，-11分

因为/被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,

矛盾！-13分

所以不存在满足条件的直线/.-14分

方法3:假设/点的坐标为(a,a),

因为45中点为E(4,l),所以8点的坐标为(8-a,2-a),-8分

又点8在直线尸-X上，所以a=5,-9分

所以/点的坐标为（5,5）,直线/的斜率为4,

所以/的方程为4x-y-15=0,—10分

圆心N到直线/的距离耳，-11分

因为/被圆4截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,

矛盾！13分

所以不存在满足条件的直线/•-14分

20.（本小题满分14分）

观察下列三角形数表

1一第一行

22一第二行

343一第三行

4774—第四行

51114115

假设第〃行的第二个数为4（〃N2,〃eN*）,

（I）依次写出第六行的所有6个数字；

（II）归纳出4M与4的关系式并求出％的通项公式；

（III）设《仇=1,求证：仇+么+…+仇＜2

解：（1）第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,

16,6；-2分

（2）依题意a.+i=a,+〃（〃22）,tz2=2-5分

=。2+(。3-。2)+(。4-。3)+....+("〃-。〃一1)7分

-2+2+3++(〃-1)-2d~,

所以='”2-工〃+1(n>2);-9分

22

(3)因为区优=1,所以“二一一^一一=2(上-')一11分

n~—n+2n—nn—\n

仇+/+仇+….+bn<2[(1-^-)+(^-^)+...+(^—-—)]=2(1--)<214分

1223n-\nn

21.(本小题满分14分)

已知函数/(x)=ax+8sinx,当x=q吐/(x)取得极小值

(I)求(3,6的值；

(II)设直线/：y=g(x),曲线S:y=尸(x).若直线1与曲线S同时满

足下列两个条件：(1)直线/与曲线S相切且至少有两个切

点；(2)对任意不£火都有g(x)NF(x).则称直线/为曲线S的

“上夹线”.

试证明：直线/:y=x+2是曲线S:y=ox+Osinx的“上夹线”.

解：(