导数压轴题中的三角问题（题目+详细解析）

导数中的三角问题

1.(2021春•常熟市期中)已知函数/(x)=xlnx-aex+a,其中a€R.

(1)若/G)在定义域内是单调函数，求〃的取值范围；

(2)当a=l时，求证：对任意在(0,+8),恒有f(x)Vcosx成立.

2.(2020•道里月考)已知x为正实数.

(1)比较COSX与1-L2的大小；

2

(2)若/-1>x+a^恒成立，求实数a的取值范围;

(3)求证：2e'+cosx>，^/”(x+—)+sior+2.

3.(2021春•瑶海区月考)已知/(x)=",当x20时，/(2x)恒成立.

(1)求实数。的取值范围；

(2)当x€[0,二]时，求证：37-sinxWxe2A.

4.(2020•庐阳区校级模拟)已知函数/(x)=xlnx+ax+\,aER.

(1)如果关于k的不等式/(x)20在x>0恒成立，求实数。的取值范围;

⑵当时，证明：<lnx<x2-sin(x-l)-l,

5.(2019•北辰区模拟)已知函数/(x)-ax,(oER),g(x)=sinx

2+cosx

(I)求函数/(x)的单调区间；

(II)若g(x)Wfcc在工10,+°°)恒成立，求攵的取值范围；

(III)当。=1,工20时，证明：(2+cosx)/(x)23sinx.

6.(2019秋•广东月考)函数/(X)-X-1,g(x)(公+xcosx+l).

(1)求函数/'(x)的极值，并证明，当X>-1时，-L4」一；

gX、x+1

(2)若a>-1,证明：当xe(0,1)时，g(x)>1.

2

7.(2020•黄州区校级二模)已知函数/(x)=^+cosx-2,f(x)为f(x)的导数.

(1)当x'O时，求/(x)的最小值；

(2)当x>—■时，xd+xcosx-ax2-2x20恒成立，求a的取值范围.

8.(2019•陕西模拟)已知函数/(x)=(x-a)Inx(aGR),它的导函数为/(%).

(1)当a=l时，求/(x)的零点；

(2)当a=0时，证明：f(x)Ve'+cosx-l.

9.(2020秋•兴庆区校级月考)已知函数/(x)=lnx+xsinx,f(x)是/(x)的导数，且g(x)=f(x).

(1)证明：g(x)在区间(三，TT)上存在唯一的零点；

2

(2)证明：对任意成(0,+8),都有/(工)<2xlnx+x(1+siax).

3

10.(2020秋•潍坊期中)已知函数/(X)=xex-a(lnx+x).

(1)当a>0时，求/(x)的最小值；

(2)若对任意x>0恒有不等式/(x)成立.

①求实数a的值；

②证明：(x+2)/nx+2siru.

11.(2020•福州模拟)已知函数=l+x-2siar,x>0.

(1)求/(x)的最小值；

(2)证明：f(x)>6^.

12.(2020•肇庆一模)设函数/(x)=sinj：-ar+—x3(aGR).

6

(1)讨论f(x)的导函数，(x)零点的个数；

(2)若对任意的x20,/(x)20成立，求。的取值范围.

4

13.(2019秋•东湖区校级月考)已知函数/(x)=sinx-xcosx(x20).

(I)求函数/(x)的图象在(个，1)处的切线方程；

(II)若任意在(0,+8),不等式F(x)Vox3恒成立，求实数a的取值范围;

14.(2019秋•唐山月考)已知函数/(x)—cvcsinx+bcosx,且曲线y=f(x)与直线相切于点,3

7222

(1)求/(X)；

(2)若f(X)W/A+l,求实数团的取值范围.

15.(2019秋•天津期中)已知/(%)=asirir(t/GR),g(x)=d.

(1)若0<aWl,判断函数G(x)=/(1-x)+枢在(0,1)的单调性；

(2)证明：sin-^+sin—i-+sin—^-+•,,+sin-------</n2,(〃GN+)；

223242(n+1)2

(3)设尸(x)=g(x)-m^-2(x+1)+k(A€Z),对Vx>0,m<0,有F(x)>0恒成立，求Z的最小值.

5

16.(2019•天津)设函数/(X)=e'cosx,g(x)为/(x)的导函数.

(I)求/G)的单调区间；

(II)当彳日工，2L］时，证明/(x)+g(x)(2L-x)20；

422

(III)设X”为函数“(x)=f(x)-1在区间(2mr+匹，2〃n+工)内的零点，其中〃€N,证明2〃TT+三-x〃

422

-2n^

<_-®------------.

sinxg-cosXQ

17.(2019秋•荔湾区校级月考)已知函数f(x)=F，inx,g(x)=x*cosx-sinx.

x

(1)判断函数g(x)在区间(0,3n)上零点的个数；

(2)函数/(X)在区间(0,+8)上的极值点从小到大分别为外，X2,X3,X4…，Xn……，证明:

(z)/(加)tf(X2)<0;

(万)对一切，£N*,fCxi)+f(X2)+/(X3)+,,,+/(x/j)VO成立.

6

18.(2020•石家庄模拟)已知函数/(x)=/+/"+(2-b)x,g(x)=a^+b(a,beR),若)，=且(x)在x=l处

的切线为y=2i+14/(。)・

(I)求实数。，b的值;

(II)若不等式/(x)，依(x)-2Z+2对任意xER恒成立，求左的取值范围;

(HI)设0,9,0(Q,其中"22,〃WN*,证明：f(sin01)•/(cos0)+/(sin02)•/(cos0

12n27lrt

-1)+,,•+/(sin0zz.i)•/(cosO2)+f(sin0w)*/(cos0i)>6n.

19.(2020•新课标H)已知函数0(x)=sin2xsin2x.

(1)讨论/(x)在区间(0,IT)的单调性；

(2)证明：|f(x)

8

(3)设〃WN*,证明：sin2xsin22xsin24x***sin22,lx^---.

4n

7

9x

20.（2020秋•胶州市期中）已知函数/秋）=lnaxe+asinx9a>0.

（1）若x=0恰为f（x）的极小值点.

（i）证明：

2

（ii）求/（x）在区间（-8,皿）上的零点个数;

(2)若。=1,

?心味）（1+味）（卜奈）（1+奈）（卜含）（1+肃）…（卜能）（1+备）…,

又由泰勒级数知：cosx=l-2—J--^―+…+(?)_/—+…，"6N’.证明：…=2L

2!4!6!(2n)!J22g2n26

21.（2020秋•集宁区校级月考）设/（x）=x-sinx,xER,/（x）的导函数是7（x）.

(1)求/(x)的极值；

(2)若x40,n],06(0,n),试证明：2flsJ+f⑺〉f(2"+x).

33

8

22.(2020•湖北模拟)已知函数/(x)=xsinx+cosx,g(x)=滔邑.

X

(1)判断函数/(龙)在区间(0,3n)上零点的个数；

(2)设函数g(x)在区间(0,3n)上的极值点从小到大分别为XI，X2，…，X"，证明g(XI)+g(X2)+…+g

(即)<0成立.

23.(2020秋•邹城市期中)已知函数f(x)=l+ln(l+x)(x>0),

X

(1)判断函数/(x)在(0,+8)上的单调性；

(2)若f(x)>_L恒成立，求整数k的最大值；

x+1

(3)求证：(1+1X2)(1+2X3)…[1+〃(〃+1)]>e2n'3.

9

试题解析

1.(2021春•常熟市期中)已知函数/(x)=xlnx-aex+a,其中aWR.

(1)若/(x)在定义域内是单调函数，求〃的取值范围；

(2)当4=1时，求证：对任意尤(0,+°°),恒有/(X)〈COSX成立.

【解答】解：(1)因为/(x)=xlnx-

所以/(x)=lnx+\-aex

因为/(x)在定义域内是单调递减函数,

则/(X)W0在(0,4-oo)上恒成立,

若/(x)wo,则心1佻+.L,

X

e

111

--inx-1

令G(x)=1呼士1(>0),得G'(x)x

XxX

ee

易知G'(1)=0,且函数y=-l-/ar-1在(0,+8)上单调递减,

X

当x>0时,/>1,所以在区间(0,1)上，G(x)>0；在(1,+8)上GG)<0,

所以G(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

此时G(x)的最大值为G(1)=1,

e

所以当a2工时，f(x)在定义域上单调递减;

e

即。的取值范围是+8).

e

(2)证明：当。=1时，/(x)=xlnx-1,要证/(x)<cosx,即证x/心V，+cosx-1,

当OVxWl时，x/nxWO,而F+cosx-l>l+cosl-l=cosl>0,

故xbvc<ex+cosx-1成立，即/(x)<cosx成立，

当x>l时，令力(x)=^+cos%-xlnx-1(x>l),

则(x)=/-siar-/nx-1,

设g(x)-sinx-Inx-1(x>l),则g'(x)=ex-cosx-

*.'x>L.,.g'(x)-cosx-->e-1-1>0,

x

故x>l时'g(x)单调递增，故g(x)>e-sinx-l>0,即〃'(x)>0,h(x)在(1,+8)单调递增,

故〃(x)>^+cosl-1>0,即/(x)VCOSJV成立，

综上：对任意xW(0,+8),恒有f(x)Vcosx成立.

2.(2020•道里月考)己知x为正实数.

(1)比较COSX与1-L?的大小；

2

(2)若/-恒成立，求实数。的取值范围；

10

(3)求证：2c'+cosx>^/^/〃(x+-1-)+siar+2.

【解答】解：(1)令/(x)=COSJ;-1+Ax2,JC>0,

2

:・f(x)=-sinx+x,f(x)=-cosx+120恒成立，

：.f(x)在(0,+8)上单调递增，且，(0)=0,

・•・当x>0时，/(x)>0,函数/(X)单调递增，

：.f(x)>/(0)=1-1+0=0,

.".cosx>l-1■/；

2

解：(2)，-恒成立，即e'-1-x-〃/>()恒成立，

令g(x)="-1-x-ax2,x>0,则g'(x)=d-1-2ax,g"(x)=e'-2a,

当2aWl,即时，g”(x)>0,：.gf(x)单调递增，

Jg'(x)>0在(0,+8)上恒成立，且/(0)=0,

.*.g(x)在(0,+°°)单调递增，则g(x)>g(0)=1-1-0=0,满足题意；

当2a>1,即工时，xE(0,ln2a)时，g"(x)<0,函数g'(x)单调递减,

2

又g'(0)=0,g(x)在(0,ln2a)上单调递减，而g(0)=0,

：.g(x)V0在(0,ln2a)上成立，与已知矛盾,

・・.〃〉工舍去.

2

综上所述，。的取值范围为(-8,A］；

2

12

证明：(3)由(1)(2)可得，当〃=工时，/>l+x+w一

22

x

；・/+cosx>e2>x+2>sin%+2；

1

・•・只要证/>«ln(x得)=22>in(x+|">

令〃(x)=e^-x-1,hf(x)="-1,

可得当淤(-8,0)时，hf(x)<0,h(x)单调递减，

当尤(0,+°°)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，

又人(0)=0,工/z(x)20恒成立，即，2x+l；

令/(x)=lnx-x+1,tf(x)=--p

x

当尤(0,1)时，/(x)>0,t(x)单调递增，

当xE(1,+8)时,，/(x)<0,t(x)单调递减，

且/(1)=0,：.t(x)WO,BPInx^x-1.

11

1

/._X2>x+A,In(x+旦)<x+A_i=x+A,

e2222

1

/ee2>ln(x+y)>

即2^'+cos^>y/"Qln(x+—)+sinx+2.

3.(2021春•瑶海区月考)已知/(x)=",当工20时，/(2x)2公+1恒成立.

(1)求实数〃的取值范围；

(2)当x£［0,£■］时，求证：3/-sinxWxe2V.

【解答】解：(1)/(2x)2or+l即e2A-OY-120恒成立，

令h(x)=elv-ax-\(x20),贝！I"'(x)=20-。，

当aW2时，，hf(x)20,则〃(x)在［0,+8)上是增函数，

故"(0)=0,故h(x)20成立，

当。>2时，存在必使得〃'(刈)=0,

xe(0,xo),〃'(无)<0,h(x)为减函数，

xG(x(),+8),(x)>0,h(x)为增函数，

故"(xo)<h(0)=0,不合题意，

故。《2；

(2)证明：由(1)得当在［0,工］时，6级22%+1,

2

故要证37-sinxWxe%只要证37-siircWx(2x+l),

即证：f-x-sinxWO,设刀(x)=x1-x-siax,xG［0,-2I_］,

2

h'(x)=2x-1-cosx,h"(x)=2+sinx>0,

故/i'(x)在［0,三］上是增函数，h'(0)=-2,h'(2L)=F-l>0,

22

故存在即40,—］,使得/?'(xo)=0，

2

故工曰0,xo］时，h'(x)<0,则人(x)为减函数，

x&(xo,2L］时，h'(x)>0,则刀(x)为增函数，h(0)=0,h(2L)=211-2L-1=.TC2-.2KT£<0,

22424

故x€［0,三］时，h(x)WO,故命题成立.

2

4.(2020•庐阳区校级模拟)已知函数/(x)=xlnx+ax+\,aER.

(1)如果关于x的不等式f(x)20在x>0恒成立，求实数。的取值范围；

⑵当时，证明：<］nx<x2-sin(x-l)T,

12

【解答】解：(1)由/(x)20,得X/MT+OT+120(x>0).

整理，得一a4］nxJ恒成乂，(lnx-*—)•,

xxmin

令FGhlnx」1,则F'(x)=-1x-1

x2X2

・・・函数/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

•二函数F(x)=lnxd最小值为b(1)=L，-aWl,即。2-1.

x

・・・〃的取值范围是［-1，+8)

(2)由(1),当a=-l时,有xlnx2x-1,即］nx>'/

x

要证e(x-l)4inx，可证时，且但工L4211

exex*

即证旦《工，尤力.

Xv

ex

构造函数G(x)=/-ex(x2l).

贝IJG(x)=e'-e...,当时，G(x)NO.

：.G(x)在［1,+8)上单调递增.

：.G(x)》G(1)=0在口，+8)上成立，即/>ex,证得工<上.

XV

ex

...当工41,+8)时，屋王成立•

ex

构造函数"(x)=bvc-jT+l+sin(x-1)G21).

则H,(2-D)Y2X2+X1)=-(X+D(2X-1)

XXX

•.•当X>1时，H(x)<0,

：.H(x)在［1,+8)上单调递减.

：.H(x)<//(1)=0,即上x-7+l+sin(x-1)WO(x》l)

当xG［l,+°°)时，InxW?-1-sin(x-1)成立.

综上，当xe［l,+°°)时，-e(x；l)《lnx《x2-l-sinG-l)

ex

5.(2019•北辰区模拟)已知函数=/-or,(«GR),g(x)=sinx

2+cosx

(I)求函数/(x)的单调区间；

(H)若g(x)Wfcc在xRO,+8)恒成立，求k的取值范围；

(III)当。=1,x20时，证明：(2+cosx)f(x)23sinx.

【解答】解：(/)由函数/(x)=/-依，知：f(x)=，-«.

(1)当aWO时，f(x)20恒成立，.•./(x)在定义域R上单调递增.

(2)当”>0时，令/(x)=0,解得x=/〃a,

则x,f(x),/(x)变化情况如下表：

13

X(-8,1砌)InaUna,+8)

f（X）-0+

/（X）1极小值t

：.f(x)的单调减区间为(-8,加〃)，单调增区间为(I必+8).

(〃)(1)当x=0时，原不等式化为0W0恒成立，可知依R.

(2)当x>0时，则)2苫(.),令h(x)=g(x)=——sinx--,

xxx(2+cosx)

则T(x)=cosx(2+cosx)-sinx(2+cosx+x(-sinx)：=2xcosx-2sinx-sinxcosx+x

x2(2+cosx)2x2(2+cosx)2

令(p(x)=2xcosx-2sinx-sirircosx+x,贝!J(p(x)=2sinr(sinx-x),

当xW(0,Tt)时，OVsinxVx,则(p'(x)<0,

/.(p(x)在(0,IT)上单调递减，.*.<p(x)<(p(0)=0,

即/(x)<0,：.h(x)在(0,TT)上单调递减，

,・1・ir、=1.sinx_..COSE一1

X

xi0x(2+cosx)x^o2+cosx-xsinx3

：.h(x)</,•"*，

当x€E，+8)时，h(x)=里，)=—sinx---.,•攵

xx(2+cosx)x兀33

综上所述：^>1.

证明：(〃/)(1)当a=\时，f(x)="-x,则/(x)-1,

由(//)可得了20时，sinx《工・・.3sinx《

2+cosx32+cosx

则只需证明：f(x)=e”-l>x成立，

令F(x)=厘-x-1,

当x>0时，F'(x)=，-1>0,

：.F(x)在［0,+8)上单调递增，：.F(x)2F(0)=0,

/.ex-13sinx《We"-1,

2+cosx

/.(2+cosx)f(x)23sinx.

6.(2019秋•广东月考)函数/(x)=^v-x-1,g(x)=e'(or+xcosx+1).

(1)求函数/(x)的极值，并证明，当X>-1时，L4_L；

exx+1

(2)若a>-1,证明：当(0,1)时，g(x)>1.

【解答】解：(1)函数f(x)=d-x-1的定义域为R,7G)=/-1

由了(%)>0得x>0,/(x)<0得x<0,

函数f(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

14

...函数，(x)只有极小值/(O)=0,

：.fCx)="-x-lN0,.•.e'ex+l,又x>-l,得上

/'+]

(2)不等式g(x)>1等价于ax+xcosx+l>—L，xe(0,1).

X

e

由(1)知，当xe(0,1),得上<_

exx+1

所以ax+xcosx+1-J>ax+xcosx+lr：/=ax+xcosx+(a+cosx+)

x

ex+1x+1x+1

令h(x)=cosx+a+);则h'(x)=-sinx----------y

x+1(x+1)2

当xe(0,1)时，h'(x)<0,

：.h(x)在(0,1)上为减函数，

因此，h(x)>h(l)=a+~+cosl,

因为cosl〉cos-E=L所以,当a>-l时,a」_+cosl>0，

322

所以h(x)>0,所以当xe(0,1)时g(x)>1.

7.(2020•黄州区校级二模)已知函数/(x)=/+cosx-2,f(x)为f(x)的导数.

(1)当x20时，求/(x)的最小值；

(2)当x>—■时，xe'+xcosx-ox2-2r20恒成立，求a的取值范围.

【解答】解：(1)/(x)sinx,令g(x)—ex-sin.r,x20,则g'(x)—e^-cosx.

当x€[0,IT)时，g'(x)为增函数，g'(x)》g'(0)=0；

当xe(7T,+8)时，g'(x)》l>0.

故x20时,g'(x)20,g(x)为增函数,

故g(x)mm=g(0)=1,即/(X)的最小值为1.

(2)令〃(x)=d+85-2-ax,h'(x)-sinx-a,则时，x'h(x)20恒成立.

当aWl时，若x>0,则由(1)可知，h'(x)》l-a20,

所以〃(x)为增函数，故也(%)(0)=0恒成立，即炉〃(%)20恒成立；

若xg[-今，0]，则(X)=，-cosx,

h'"(x)=/+sinx在[一0]上为增函数，

又(0)=1,h"'(-^)=e~-l<0.

故存在唯一乂。日(令，0)，使得(加)=0.

当xE(-5，X。)时，G)<0>h"(x)为减函数；

15

xG(x(),0)时，h"'(x)20,h"(x)为增函数.

TT

__

又h〃(-^)=e2->0.h"(0)=0,

故存在唯一X[£(令，0)使得(xi)=0.

故xE(一看，X1)时，h"(XI)>0,h'(x)为增函数；

xG(xi，0)时，h"(Xi)<0,h'(x)为减函数.

JT

又h，(-£-)=e2+l-a>0,h'(0)=1-a^Q,

所以xE[_Ato]时，〃(X)>0,h(x)为增函数，

故〃(x)Wh(0)=0,BPx9h(x)20恒成立;

当时，由(1)可知万(x)=，-sinx-a在[0,+°°)上为增函数，

且“(0)=1-6z<0,厅(1+a)2/+"-1-。>0,

故存在唯一X2W(0,+8),使得"(12)=0.

则当在(0,A-2)时，R(X)<0,h(X)为减函数，

所以力(x)<h(0)=0,此时尤•力(%)<0,与(x)20恒成立矛盾.

综上所述，

8.(2019•陕西模拟)已知函数/(x)=Cx-a)Inx(o€R),它的导函数为/(x).

(1)当。=1时，求/(x)的零点；

(2)当〃=0时，证明：f(x)V/+cosx-1.

【解答】解：(1)(方法一)/(x)的定义域为(0,+8)

当a=\时，f(x)=(x-1)Inx,f(x)=lnx+\-―,

易知，(x)=/nx+l-工为(0,+8)上的增函数，

x

又，(1)=lnl+l-1=0,所以x=l是f(x)的零点；

(方法二)也可以画出y=阮什1和>=工的图象，观察出两个图象的交点为(1,1),所以/(x)的零点为x

X

=1;

(2)证明：当a=0时，f(x)=xlnx,

①若0VxW1,贝(Je"+cosx-1>0,xlnxWO

所以/(x)<ex+cosx-1成立，

②若无>1,设//(x)=/+cosx-xbvc-1,则力'(x)~sinx-Inx-1,

令m(x)=hr(x),则"7,(x)-A-cosx,

16

因为x>l,所以/(x)>e-l>0,从而m(x)在(1,+oo)上单调递增，

所以加(x)>m(1)=e-sinl-1>0,即m(x)=h'(x)>0,〃(工)在(1,+°°)上单调递增;

所以/?(x)>h(1)=e+cosl-l>0,即尤历xVc'+cosx-1,

故/(x)</+cosx-1,

9.(2020秋•兴庆区校级月考)已知函数/(x)=lnx+xsinx9/(x)是/(x)的导数，且g(x)=f(x).

(1)证明：g(x)在区间(三，7T)上存在唯一的零点；

2

(2)证明：对任意在(0,+8),都有/(X)<2xlnx+x(l+sirtr).

【解答】证明：(1)g(x)=f(x)=A+sinx+xcosx,

x

Jg'(x)=--^-+2cosx-xsinx,

x

Vx6IT),--L-<0,2cosx<0,xsinx>0,

乙9x2

・・・g'G)<0,即g(x)在(三，IT)上单调递减，

2

又g(-ZL)=-2_+l>0,g(TT)=-^--n<0,

2兀兀

・・・g(x)在(匹，IT)上存在唯一零点.

2

(2)令〃(x)=2xlm+x(1+sinx)-f(x)=(2x-l)Inx-^-x,则”(x)=2lnx-A+3,

x

令(x)=H(x)=2lnx-A+3,显然〃Z(X)在(0,+8)上单调递增，

x

u：m(1)=2>0,m(A)=1-2历2VO,

2

•二存在唯一的冲€(A,1),使得机(即)=2历xo-」二+3=0,

2x0

当OVxVxo时，H(x)=m(x)VO,即A(%)在(0,xo)上单调递减，

当x>xo时，〃(x)=m(x)>0,即〃(x)在(xo，+°°)上单调递增，

故〃(x)min=h(xo)=(2x()-l)lnx()+x()=--(2r()+―-—),

22x0

VA-OG(A,1),

2

/./?(xo)>0,即(2x-1)/〃x+x>0恒成立，

综上所述，对任意(0,+8),都有/(x)<2xlnx+x(l+sinx).

10.(2020秋•潍坊期中)已知函数/(x)=xev-a(/nx+x).

(1)当〃>0时，求/(x)的最小值；

(2)若对任意公>0恒有不等式/G)21成立.

①求实数〃的值；

17

②证明：(x+2)队r+2sin;r.

【解答】解：(l)/(x)的定义域是(0,+8),

由题意得/(x)=(x+1)(x.gX-A),

x

x

令x/-。=0得：a=xe9

令g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)->0,

故g(x)在(0,+8)递增，且g(0)=0,

故。=叱有唯一实数根，

即，(x)=0有唯一实数根，设为协即。=冲丁。，

故fG)在(0,xo)上为减函数，在(xo,+8)上为增函数，

故.f(x)min=f(xo)=xogX0-Clnxo+xo)=a-alna；

(2)①当aVO时，/(x)单调递增，/(x)的值域为R,不符合题意；

当4=0时，则/(工)=返<1,也不符合题意.

22

当〃>0时、由(1)可知，f(x)min—CL-aIna,故只需EG1.

令尸工，上式即转化为Int^t-1,

a

设"⑺=lnt-t+\,则力'⑺因此〃⑺在(0,1)上单调递增，

t

=

在(1,+8)上单调递减，从而力(X)tnaxh(1)=0,所以/mWL1.

因此，lnt=t-1=>^=1,从而有!=£=1=4=1.

a

故满足条件的实数为4=1.

②证明：由①可知/-人力优27+工，因而只需证明：Vx>0,恒有/+%>2/依+2$仙犬.

注意到前面已经证明：x-1^Inx,因此只需证明：x2-x+2>2sinx.

当x>l时，恒有2sinrW2Vx2-x+2,且等号不能同时成立；

当0VxW1时，设g(x)=/-x+2-2sinx,贝!Jg'(x)=2x-1-2cosx,

当(0,1用寸，g'(x)是单调递增函数，且g'(1)=1-2cosl<l-2COS-2I_=0,

3

因而淤(0,1］时恒有g(x)<0；从而炬(0,1］时，g(x)单调递减，

从而g(x)2g(1)=2-2sinl>0,即/-x+2>2siiu：.

故(x+2)/7ir+2sirLV.

11.(2020•福州模拟)已知函数/(x)=l+x-2siax,x>0.

(1)求/(x)的最小值；

(2)证明：/(%)

18

【解答】解：(1)，(x)=1-2cosx,令，(%)=0,得cosx二七

VV2

故在区间［0,1T］±,f(X)的唯一零点是x」L,

3

当x€［0,工)时，/(X)<0,/(X)单调递减；当x€(―,冗］时，f(X)>0,f(x)单调递增,

33

故在区间［0,n］±,/(x)的极小值为f(工)=1+工飞，当x>TT时，f(x)〉l+兀-2=7T-l〉f三),

333

.V(X)的最小值为f(工”1+工出；

33

(2)要证x>0时，f(x)>e%即证x>0时，g(x)=(1+x-2sinx)1,

g'(x)=2(1+x-2sinx)elv+(1-2cosx)e2』(3+2x-4sia¥-2cosx)於，

令h(x)=x-siru,x>0,

则O'(x)=1-cosx>O,即〃G)是(0,+8)上的增函数，

:・h(x)>h(0)=0,即x>sinx,

.7T

3+2x-4sim-2cosx>3+2sinx-4sirix-2cosx=3-2(sinx+cosx)=3.2V^sin(x+4)>0'

；•/(x)=(3+2x-4sinx-2cosx)6标>0,

即g(x)是(0,+8)上的增函数，g(x)>g(0)=1,

故当公>0时，/(x)>/法，即得证.

12.(2020•肇庆一模)设函数/(X)=siru--ar+A?(«eR).

6

(1)讨论/(x)的导函数/(x)零点的个数；

(2)若对任意的x》0,f(x)三0成立，求a的取值范围.

2

【解答】解：(1)f，(x)=cosx-a4^x1

令gGhcosx-aAx2，g(x)为偶函数，先研究x20,

则g'(x)—x-sinx,g"(x)=1-cosx>0,

：.g'(x)在［0,+8)为递增函数,

且g(0)=0,：.g'(x)》0,即g(x)在［0,+8)为单调递增函数，

当g(0)=1-a>0,即a<\,g(x)没有零点，

当g(0)=1-4=0,即a=l,g(X)有1个零点，

当g(0)=1-〃》<0,即”>1,g(x)=cosx-a+^-x^^>^-x2-a_l,

当x〉d2(a+l)，g(x)>0,

.•.当x>Y2(a+l)，g(A)在［0,+8)有1个零点，

(x)为偶函数，在(-8,0］也有有1个零点.

19

综上：a<\,f(x)没有零点；

〃=1,/(x)有1个零点；

«>1,/(%)有2个零点.

⑵f'(x)=cosx-a+^-x2

①当aWl时，由(1)知了(x)》0,f(x)在[0,+8)为单调递增函数，f(x)(0)=0,

②当a>l时，f(2a)=cos2a-a+2“2=cos2a+J+a(a-1)>0.f(0)=1-a<0,

由零点存在性定理知(0,2a)使得/(xo)=0,

且在(0,xo),f(x)<0,即/(x)单调递减，/(x)</(0)=0与题设不符.

综上可知，aWl时，f(x)>0,

13.(2019秋•东湖区校级月考)已知函数/(X)=sinx-xcosx(x20).

(I)求函数/(x)的图象在4，1)处的切线方程；

(II)若任意在(0,+8),不等式/(x)Var3恒成立，求实数a的取值范围；

【解答】解：(I),：f(x)=xsinx,/(2L)=2L,

22

切线为：y^—(x-2L)+1；

22

(II)f(x)Wax^Qsinx-xcosx-c/WO，

令g(x)=siru-xcosx-ar3,

则g'(x)=xsiar-3aj?=x(sinr-3ax),

又令h(x)=sinx-3ax=>h,(x)=cosx-3a,

①当3aW-l,即aW-工时，h'(x)与0恒成立，；./?(x)递增，

3

：.h(x)%(0)=0,：.g'(x)20,：.g(x)递增，

：・g(x)2g(0)=0(不合题意)；

②当3a21即〃21■时，hf(x)W0=〃(x)递减，

3

：.h(x)&h(0)=0,：.gf(x)WO,：.g(x)递减

:.g(x)Wg(0)=0(符合题意)

③当-1<3aV1,即-[<“<•!时，

33

由(0)=1-340"(n)=-1-3a<0,

...在(0,IT)上，Bxo,使〃(回)=0

且无€(0,xo)时，h'(x)>0今g'(k)>0,.\g(x)递增，，g(x)>g(0)=0(不符合题意)

综上：

20

14.(2019秋•唐山月考)已知函数/(x)=axsiar+/?cosx,且曲线y=/(x)与直线产/_相切于点(号-,

(1)求/(x)；

(2)若/(x)求实数加的取值范围.

【解答】解：(1)由f(工兀=兀得〃=1

、2,22

f(x)=xcosx+(1-Z?)sinx,

由f'今)=l-b=0得，=L

所以f(元)=xsinx+cosx.

(2)令g(x)=A7ir2+l-f(x)=mx^-xsiar-cosx+1,

由g(x)20得g(2n)=4ir2/?7^O,所以加20.

显然g(x)为偶函数，所以只需x20时，g(x)20.

g'(x)=2/wc-xcosx=x(2m-cosx),

当1rl^时，g'(X)NO,即g(x)在［0,+8)上单调递增，

所以g(x)Ng(0)=0,

从而■时，/(X)W"?7+l成