专题1.6立体几何的最值、范围问题（强化训练）（原卷版）

专题1.6立体几何的最值、范围问题题型一数量积的最值范围范围题型二面积、体积的最值范围问题题型三夹角的最值范围问题题型四距离的最值范围问题题型一 数量积的最值范围范围1．在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（

）A． B．17 C． D．2．已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（多选）已知MN是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值可为（

）A．-1 B．0 C． D．54．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（

）A．若直线与平面平行，则三棱锥的体积为B．若直线与平面平行，则直线上存在唯一的点，使得与始终垂直C．若，则的最小值为D．若，则的最大值为6．一个长方体的棱长分别为，是该长方体外接球的一条直径，点是长方体表面上的一个动点，则的取值范围是_____.7．已知P是棱长为1的正方体内（含正方体表面）一动点．（1）当点P运动到中点时，的值为_____；（2）当点P运动时，的最大值为_____．8．已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为_____.题型二 面积、体积的最值范围问题9．如图，已知四棱锥中，正三角形的边长为2，平面，且，则四棱锥的体积的最大值为（

）

A． B． C． D．10．已知三棱锥中，，，，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（

）A．2 B． C． D．11．已知底面为矩形的直四棱柱高为4，体积为16，各顶点都在一个球面上，则这个球的体积的最小值是（

）A． B． C． D．12．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为_____.13．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，.记四面体的外接球的球心为，为球表面上的一个动点，当取最大值时，四面体体积的最大值为_____.

14．一个圆锥母线与底面所成的角为，体积为，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为_____．15．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近A的三等分点，为上靠近的三等分点．

(1)证明：平面//平面．(2)若平面，，与平面的距离为，，，三棱锥的体积为，试写出关于的函数关系式．(3)在（2）的条件下，当为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值．16．如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的母线，，是上的动点.

(1)求圆柱的侧面积；(2)求四棱锥的体积的最大值.题型三 夹角的最值范围问题17．（多选）如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（

）

A．当且时，有B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，直线和所成的角的取值为D．当时，直线与平面所成角的正弦值范围是18．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为面对角线上的一个动点（包含端点），则下列选项中正确的有（

）

A．三棱锥的体积为定值B．线段上存在点，使平面C．当点与点重合时，二面角的余弦值为D．设直线与平面所成角为，则的最大值为19．（多选）在正四棱锥中，，，点满足，其中，，则下列结论正确的有（

）A．的最小值是B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，与所成角可能为D．当时，与平面所成角正弦值的最大值为20．（多选）在棱长为1的正方体中，点为的中点，点，分别为线段，上的动点，则（

）A． B．平面可能经过顶点C．的最小值为 D．的最大值为21．如图（1）所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点记作点）

(1)求点到面的距离；(2)求四棱锥外接球的体积；(3)点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，试确定点的位置．22．如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，为中点.底面为等腰三角形，为的中点.(1)证明：平面平面；(2)记二面角的大小为.①当时，求直线与平面所成角的正弦值.②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值.23．如图，在三棱锥中，的中点为.

(1)证明：直线平面；(2)若，当直线与平面所成的角最大时，求三棱锥的体积.24．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的动点..

(1)证明：；(2)求平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.题型四 距离的最值范围问题25．在长方体中，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（

）A． B． C． D．26．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．27．（多选）在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（

）A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面C．的最小值 D．当为中点时，为钝角28．（多选）已知正方体，的棱长为2，E为的中点，平面过B，，E三点，则（

）A．与平面平行B．平面与平面垂直C．平面截正方体所得截面面积为D．正方体的顶点到平面的距离最大值29．（多选）长方体中，，，是线段上一动点，则到平面的距离不可能是（

）A．B