第2章对称图形-圆（单元测试）（解析版）

第2章对称图形一圆

单元测试

精选练习

基础篇

一、单选题

1.若四边形ABCD是。0的内接四边形，ZA：ZC=1：2,则NC=()

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】A

【分析】③。的内接四边形性质对角和180。，加上已知条件ZC=1：2,即可求得NC.

【详解】解：•..四边形A8CD是。。的内接四边形

/.ZA+ZC=180°

又；NA：ZC=1：2

/.ZC=120°

故选：A.

【点睛】此题考查了OO的内接四边形性质，解题的关键结合已知条件求解.

2.如图，已知AB为。。的直径，点C在。。上，乙4=15。，则NBOC的度数为()

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】根据圆周角定理解答.

【详解】解：ZBOC=2ZBAC=2x15°=30°,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，要知道，同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半.

3.如图，在。。中，AB是弦，半径于点。，若。C=10,AB=\6,则C。的长为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】连接0A,如图，利用垂径定理得到再利用勾股定理计算出0D,然后计算OC-OD

即可.

【详解】解：连接0A,如图，

OCA-AB,

：.AD=BD=^AB^8

在Rt4OAD中，0D=yjACf-AD1=>/102-82=6

庆0000=10-6=4.

故选C.

【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

4.下列命题是真命题的是（）

A.相等的圆心角所对的弧，所对的弦相等

B.两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等

C.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

D.菱形的对角线互相平分且相等

【答案】c

【分析】判断一个命题的真假，需要分析题设能否推出结论.

【详解】解：A、相等的圆心角所对的弧，所对的弦相等的前提条件是在同一个圆或者半径相等的圆中，故

A选项不正确；

B、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故B选项不正确；

C、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，这是线段垂直平分线的性质，故C选项正确；

D、菱形的对角线互相平分但不一定相等，例如一个角为60。的菱形的对角线就不相等，故D选项不正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假

的关键在于对学过的性质定理的掌握程度.

5.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A,8的读数分别为86。，30。，

则NACB的度数是（）

A.28°B.30°C.36°D.56°

【答案】A

【分析】设半圆圆心为O,连。4,则乙4。8=86。-30。=56。，根据圆周角定理得NACB=gN4OB,

即可得到NACB的大小.

【详解】设半圆圆心为。，连OA,OB,如图，

ZAOfi=86°-30o=56°,

ZACB=|ZAOB=1x56°=28°.

故选A.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.

6.如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（）

C.246D.485/3

【分析】计算出1个正六边形的面积，利用矩形的面积减去图中未涂色部分的面积即可.

【详解】解：如图所示,

♦.•正六边形的中心角为60。,

.••每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成，

，A0=03=AB=l,A£>=1,OD=>JAO2-AD2=—,

因此每个正六边形的面积为：6x-ABOD=6x-xlx^=^H,

2222

图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积：16x里=24百.

2

整个图形是一个矩形，长为12,宽为46,

矩形的面积为：12x46=486,

因此图中阴影部分的面积是：48石-246=24班，

故选C.

【点睛】本题考查等边三角形相关计算，利用等边三角形计算出每个正六边形的面积是解题的关键.

7.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两

个底角均为90。，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的

大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知。。的直径就是铁球的直径，AB

是。。的弦,CO切。。于点，4口18、8。，（7。,若。。=165,/^=81>4加，则这种铁球的直径为（）

图⑴图（2）

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

【答案】c

【分析】连接。A，OE,设OE与AB交于点P,根据AC=BD,ACLCD,BD_LC力得四边形ABDC是矩

形，根据CD与切于点E,OE为。的半径得OELCD,OEA.AB,即=PE=AC,根据边之

间的关系得B4=8cm,AC=BD=PE=4cm,在放△Q4P,由勾股定理得，PA^OP^OA2,进行计算可

得。4=10,即可得这种铁球的直径.

【详解】解：如图所示，连接04,OE,设0E与AB交于点尸,

VAC=BD,ACLCD,BDLCD,

.••四边形A8OC是矩形,

：C£>与O切于点E,0E为广。的半径，

/.OE1CD,OELAB,

：.PA=PB,PE=AC,

VAB=CZ>16cm,

PA=8cm,

AC=BD=PE=4cm,

在此△Q4P,由勾股定理得，

PA'+OP^OA2

82+(04-4产=。/

解得，Q4=10,

则这种铁球的直径=204=2x10=20。〃?，

故选C.

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点.

8.如图，点A,8的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点，BC=1,点M为线段AC

的中点，连接OM,则线段OM的最大值为()

A.y/2B.2夜C.2立+1D.&+g

【答案】D

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的圆8上，通过画图可知，C在80与圆5的交点时,

最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论.

【详解】

•.•点C为坐标平面内一点，BC=1,

；.C在圆8上，且半径为1,

取。。=。4=2,连接C。，

AM=CM,OD=OA,

:.OM是/\ACD的中位线，

\OM=-CD,

2

当OM最大时，即最大，而。，B,C三点共线时，当C在DB的延长线上时，0M最大，

OB=OD=2,ZBOD=90。,

B。=2夜，

:.CD=2y/2+\，

.-.OM=1cD=x/2+1,即OM的最大值为&+

故选：D.

【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理及圆的相关知识等，确定OM为最大值时点C

的位置，并熟练掌握知识点是解题的关键.

9.如图，四边形A8CO为矩形，AB=3,BC=4.点尸是线段BC上一动点，点M为线段4P上一

点.ZADM=NBAP，则的最小值为（)

C.V13--D.V13-2

2

【答案】D

【分析】证明44"。=90°，得出点M在。点为圆心，以40为半径的园上，从而计算出答案.

【详解】设4。的中点为。，以。点为圆心，AO为半径画圆

;四边形ABCD为矩形

/•NBAP+NMAD=90°

ZADM=ZBAP

ZMAD+AADM=9()

NAMD=90°

二点例在。点为圆心，以A。为半径的园上

连接。B交圆。与点N

•点B为圆。外一点

，当直线8M过圆心。时，8M最短

,:BO1=AB-+AO1，A0=；AD=2

•*.BO2=9+4=13

，8。=/

BN=BO-AO=4Y?>-2

故选:D.

【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识.

10.如图，点E是A8C的内心，AE的延长线和;ABC的外接圆相交于点。，与3C相交于点G,则下列

结论：®ZBAD=ZCAD；②若ZB4c=60。，则NBEC=120。；③若点G为3c的中点，则ZBG£>=90。；④

BD=DE.其中一定正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据点E是a4?C的内心，可得NBA£>=NC4£>,故①正确；连接BE,CE,可得/43C+NAC8=2

(ZCBE+NBCE),从而得到NC8E+/8CE=60。，进而得到N8EC=12()。，故②正确；ZBAD=ZCAD,得

出8D=CD，再由点G为8C的中点，则/BG£>=90°成立，故③正确；根据点E是ABC的内心和三角形

的外角的性质，可得N8E£>=；(ZR4C+NA8C),再由圆周角定理可得NOBE=；(/8AC+ZA8C),从而得

到NDBE=NBED,故④正确；即可求解.

【详解】解：•••点E是ABC的内心，

AZBAD=ZCAD,故①正确；

如图，连接BE,CE,

A

:点E是LABC的内心,

:.NABC=2NCBE,NACB=2NBCE,

：.ZABC+ZACB=2(NCBE+NBCE),

'：ZBAC=60°,

：.ZABC+ZACB=]20°,

：.NCBE+NBCE=60°,

：.ZBEC=\20°,故②正确;

•点E是0BC的内心,

ZBAD=ZCAD,

BD=CD，

•.•点G为8c的中点,

线段AD经过圆心O,

ZBGO=90°成立，故③正确;

:点E是二A6C的内心，

2BAD=NCAD=；NBAC,NABE=NCBE=|ZABC,

NBED^/BAD+NABE,

ZBED=^(ZBAC+ZABC)

'：NCBKNCAD,

：.ZDBE=ZCBE+ZCBD=ZCBE+ACAD,

ZDB£1=1(ZBAC+ZABC),

ZDBE=ZBED,

/.BD=DE,故④正确;

.••正确的有4个.

故选：D

【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内

心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键.

二、填空题

II.已知圆锥的侧面积是8万，底面半径是2,则圆锥的母线长是.

【答案】4

【分析】设母线长为R,可得底面周长为4乃，再由圆锥的侧面积是8万，可得Jx4;rxR=8万，即可求解.

【详解】解：设母线长为七

•底面半径是2,

底面周长=2x27r=4;r,

•••圆锥的侧面积是8不，

/.—x4^rx/?=8^,解得：R=4.

2

故答案为：4

【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键，难度不大.

12.如图，四边形ABC。内接于。。,45为。。的直径，NA£)C=130。,连接AC,则N84C的度数为

【答案】40°##40度

【分析】首先利用圆内接四边形的性质和/4DC的度数求得/5的度数，然后利用直径所对的圆周角是直

角确定NACB=9()。，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可.

【详解】解：：四边形ABC。内接与。。，ZADC=130°,

,ZB=180°-ZADC=180°-130°=50°,

•.•A8为直径，

二ZACB=W°,

，NCA8=90°-/2=90°-50°=40°,

故答案为:40°.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互

补.

13.如图.在矩形ABC。中，AB=6,BC=4,以点B为圆心，的长度为半径画孤，交4B于点E；以点

A为圆心，AE的长度为半径画弧，交4。于点尸.则图中阴影部分的面积为.（结果保留1）

【答案】24—5乃##-5乃+24

【分析】利用分割法求解即可.

【详解】解：在矩形ABC。中AB=6,BC=4,

:.BE=BC=4,

：.AE=AB-BE=6-4=2,

•*-Sfff=S矩影ABCD-Sg/^AEF-S晶影BEC

=6x4-史7rxz-史乃巡：

360360

=24-5;r,

故答案为：24-5人

【点睛】本题考查扇形的面积，矩形的面积，明确S疥5比彩4BCQ-S匆修AEF-S扇/BEC是解题的关键.

14.如图，一块直角三角板的30。角的顶点A落在；。上，其两条边分别交。于8,C两点，连接BC,OB,

OC.若弦8C=3,贝ho的半径为

5

【答案】3

【分析】根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半得到/BOC=60。，推出A80C是等边三角形，即可求出

0B=BC=3.

【详解】解：•••/•BAC=30。，

，/BOC=60。，

；OB=OC,

...△BOC是等边三角形，

.,.OB=BC=3,即。的半径为3,

故答案为：3.

【点睛】此题考查了圆周角定理，等边三角形的判定及性质，正确理解同弧所对的圆心角等于圆周角的二

倍是解题的关键.

15.如图，在中，4=90。，。。过点A、C,与交于点。，与BC相切于点C,若NA=32。，则

ZADO=__________

©

C

【答案】64。##64度

【分析】根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍计算出ZDOC,再根据A8〃OC,内错角ZADO=NDOC得

到答案.

【详解】如下图所示，连接OC

B

从图中可以看出，ND4c是圆弧QC对应的圆周角，/OOC是圆弧DC对应的圆心角

得ZDOC=2ZDAC=64".

是圆0的切线

，OC±BC

；4=90。

，ABLBC

：.AB//OC

ZADO=ZDOC=64

故答案为：64°.

【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理、平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆和平行

线的相关知识.

16.在R_ABC中，ZACfi=30°,BC=4,以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交54,8c于点M,

N；再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点。，作射线80,交AC于点E,点

P为射线BE上一动点.若存在△APC是以AC为斜边的直角三角形，则BP的长为.

［答案］36+而或3也一拒

2"2

【分析】以AC的中点。为圆心，以AO为半径作圆，射线8E交圆。于点片，P2,连接A《，CPy,AP2,

CP2,过点［作片尸，8C,过点<作邛G_L4B交48于点G,即可得

RB=ZPtFC=ZPtGA=ZPfiB=ZAPtC=AAP2C=90。，根据三角形内角和定理和角平分线得

ZABE=ZCBE=30°,在尺心鹿勺中，设G^=x,贝U即=2x,根据勾股定理得BG=Gr,根据A4s即可证

明得尸［=G£=x,BF=BG=y/3x,则AG=2-。，CF=4-显,在RtZ\AG《中，

根据勾股定理得盟=(2-内尸+/，在RSCF6中，根据勾股定理得%=(4-6尸+丁，在R2A［C中,

根据勾股定理得A^+C[2=AC),进行计算即可得.

【详解】解：如图所示，以AC的中点。为圆心，以A。为半径作圆，射线BE交圆。于点R,P2,连接A[,

行，AP2,CP2,过点q作片FL8C,过点[作《GLAB交A8于点G,

则NRFB=ZPtFC=N[GA=N：GB=ZAf^C=ZAP2C=90°,

在RtAABC中，ZACB=3O°,BC=4,

：.ZABC=60°,

由题意得，BE是NA8c得角平分线，

Z.ZABE=NCBE=-ZABC=30°,

2

在MBG＜中,设G4=x,则贴=2x,

根据勾股定理得，BG=y/BR-GR=7(2X)2-X2=瓜,

在ABG/＞和中,

Z.GBPt=ZFBPt

"NBGR=NBF£

BR=BR

，ZkBG眸△B"；(AAS),

二咐=G＜=x,BF=BG=®,

二AG=AB-BG=2-®,

CF=CB-CF=4-6x,

在Rtz^AGA中，根据勾股定理得，

M=AG2+GFf=(2-扬2+x2,

在RtZSCg中，根据勾股定理得，

CJP2=CF2+哨=(4-A/3)2+x2,

在RtaARC中，根据勾股定理得，

AP；+CP；=AC2,

(2-73)2+X2+(4->^)2+X2=12

8/-12后+8=0

2/—3后+2=0

解得，=3#±J(3百『-4x2x2=3限而,

，X-2^2―4

„,〃3V3±Vn3石土而

BPD=2x=2x-------=--------,

42

故答案为：述MI或撞二叵

22

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，角平分线，圆与三角形，圆周角推论，解题的关键是

掌握这些知识点.

17.如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点,线段AE与AD关于直线AP对称，连接£»并延长交直线AP

于点尸，连接CF.

(1)如图1,ZBAP=20P,直接写出NAFE=____；

(2)如图2,连接CE,G是CE的中点，AB=\,若点尸从点B运动到点C,直接写出点G的运动路径长

为_____.

。寸>，色,

DaDA

图1图2

7T

【答案】4507

【分析】⑴由轴对称的性质可得NZMP=ZE4P=70°,AD=AE,由等腰三角形的性质和三角形内角和定

理可求解;

(2)先确定点G在以。为圆心，3为半径的圆上运动，再用弧长公式可求解.

【详解】解：(1)ZBAP=20°,

.•.ZZMP=70°,

线段AE与关于直线AP对称，

:.ZDAP=^EAP=10Q,AD=AE.

.\ZBAE=50°,AB=AE,

二ZE=ZABE=65。,

.•.ZAFE=180o-70°-65o=45o；

(2)如图，连接AC,BD交于点0,连接OG,

.四边形A8C0是正方形，

AO=CO,

又•.G是CE中点，

:.OG=-AE=-AD=-,

222

.••点G在以。为圆心，g为半径的圆上运动，

•1•点P从点B运动到点C,点G的运动路径长=—x*=£,

18004

故答案为：45。，

4

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形中位线定理，求弧长等知识，

灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

18.如图，已知AB=6,以点A为圆心，2为半径作A,点C为A上一点，以BC为边作等边△BCD,

则AD的最大值为.

D

【答案】8

【分析】以圆的半径AC为边，作等边三角形ACE交于圆上一点£连接他，根据等边三角形的性质和三

角形全等的判定条件，可得，QC4g.BCE(SAS),进而得至ijAD=E8；在/.A阳中利用三角形三边关系(三

角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)可得E8的取值范围，从而得到AD的最大值.

【详解】：如图，以圆的半径AC为边，作等边三角形ACE交于圆上一点E,连接上艮

二ACE和aBCD均为等边三角形

：.AC=CE=AE=2,DC=BC

ZDCB=ZACE=60°

：.NDCB+NBCA=NACE+NBCA

JZDCA=ZBCE

在A£)C4和..8CE■中，

AC=CE

<ZDCA=ZBCE

DC=BC

：.ADCA..BCE(SAS)

：.AD=EB

在八ABE中，

AB-AE<EB<AB+AE

AE=AC=2

.\4<EB<8

.\4<AD<8

.•.AZ）的最大值为8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，圆的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，解题的关

键是构造等边三角形，合理添加辅助线.

三、解答题

19.如图，AD,是O的弦，AD1BD,且3短=2AD=8,点C是3。的延长线上的一点，CD=2,求

证：4c是.。的切线.

【答案】证明见解析.

【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.

【详解】证明：连接A8,

AD1BD,且80=249=8

：.AB为直径，A*=82+42=80,

：CD=2,AO=4

AC2=22+42=20

\"CD=2,BD=8,

AB^lO^lOO

AC2+AB2=CB2,

，ZBAC=90°

...AC是。的切线.

【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角

三角形.

20.如图，AB是。。的直径，CB是弦，OOLCB于E,交BC于。,连接AC.

⑴请写出三个不同等型的正确结论;

⑵若C8=8,EZ>2,求。。的半径.

【答案】(1)结论见解析

(2)5

【分析】(1)根据垂径定理即可证明出BE=CE,BD=8，ZB£D=90°；

(2)设圆的半径等于/?,利用垂经定理和勾股定理列方程可求出圆的半径.

(1)不同类型的正确结论有：①8E=CE：②BD=Cr>；③N8E690。.证明如下：是弦，0DJ_C8

于£,：.BE=CE,BD=CD-ZBED=90°.

(2)•.♦0£)，CB，8E=CE=gcB=4设半径等于/?,则OE=。。-2在4△OEB中，由勾股定理得,

OE2+BE2=OB2即(R-2)2+42=/?2解得R=5：.。。的半径为5.

【点睛】本题主要考查「垂径定理，求圆的弦，半径，弦心距的问题可以转化为解直角三角形的问题，解

题的关键是熟练掌握垂径定理.

21.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，AAB。的三个

顶点坐标分别为A(-l,3),B(-4,3),0(0,0).

(1)画出△AB。绕点。顺时针旋转90。后得到的4A1B1O-.

(2)在(1)的条件下，求点A旋转到点4/所经过的路径长(结果保留力).

【答案】(1)作图见解析

(2)—

【分析】(1)先画出A点和B点绕点。顺时针旋转90。的对应点，再连接A/B/、BIO、A/O即可；

(2)点A旋转到点A/所经过的路径是一段弧，圆弧对应的半径0A=J6,圆心角乙404=90。，根据圆弧

的计算公式即可得出答案.

(1)如图，△A/B/O即为所求

叵兀

(2)依题意：NAOA/=90。，OA=Jii.•.点A旋转到4所经过的路径长为:"x2“M=

36002

【点睛】本题考查了旋转作图，熟练掌握性质是本题的关键.

22.如图，在AABC中，AB=BC,以AB为直径的。。交AC于点£>,过点。作切线。E交AB的延长线于

点E,交BC于点F.

(1)求证：BC1DE；

(2)若48=4,NA=30。，填空:

①线段AQ的长为；②线段BF的长为.

【答案】(1)见解析

⑵①2石，②1

【分析】(1)证明。。是△A3。的中位线，再根据切线的性质即可证明BCJ_£>E；

(2)利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解.

(1)

证明：连接BC、OD,

TAB为。O的直径，

.♦.408=90。，AO=OB,

'：AB=BC,

：.AD=DC,

二。。是的中位线，

J.OD//BC,

：力£是。。的切线，

J.ODA.DE,

J.BCYDE-,

E

B

(2)

解：①；48=4,ZA=30°,ZADB=90°,

：.DB=^AB=2,AD=y]42-22=2^.

②；NA=30°,

•\ZBOD=60°,

.♦.△OB。是等边三角形，

ZODB=60°,

,：ODLDE,

：.ZBDF=30°,

YBCLDE,

：.ZDFB=90°,

：.BF=-BD=i,

2

故答案为：①26,②L

【点睛】本题考查了切线的性质，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答

本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

23.已知AB是一。直径，PC,P8分别切(。于点C,B.

(1)如图①，若NA=58。，求NP的度数；

(2)如图②，延长OB到点。，使BD=OB,连接PO,若NDPC=81。,求N£＞的度数.

【答案】⑴64°

(2)63°

【分析】（1）连接0C,根据切线的性质得到NPCO=NP8O=90。，根据等腰三角形的性质得到NA=/ACO=58。,

根据三角形外角的性质和四边形的内角和定理即可得到结论；

（2）连接0P,根据切线的性质得到NC尸。=N8P0,NP8O90。，证明PB是。。的垂直平分线，可得

ZOPB=ZDPB=ZCPO,进而可以解决问题.

（1）

解：如图，连接0C,

,:PC,P8分别切。。于点C,B,A8是直径,

NPCO=/P8O=90。，

OC=OA,

:.NA=NACO=58。，

二ZBOC=ZA+ZACO=\\f>°,

：.ZP=360o-90°-90°-l16°=64°；

(2)

解：如图，连接OP,

,：PC,PB分别切。。于点C,B,A8是直径,

/.ZCPO=ZBPO,ZPBO=W°,

,:BD=OB,

...P8是。。的垂直平分线,

：.PO=PD,

：.NOPB=NDPB,

：.ZOPB=ZDPB=ZCPO,

ZDPC=SI°,

：.ZOPB=ZDPB=ZCP0=2T,

/.ZD=90o-27o=63°.

【点睛】本题考查/切线的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

3

24.如图，P为正比例函数>图象上的一个动点，OP的半径为3,设点P的坐标为（x、y）.

（1）求。尸与直线尸2相切时点P的坐标.

（2）请直接写出。P与直线户2相交、相离时x的取值范围.

153

【答案】（1）点P的坐标为（5,彳）或（-1,--）；或x>5

22

【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点P的横坐标，再根据直线

的解析式求得点P的纵坐标.

（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时x的取值范围.

【详解】解：（1）过P作直线k2的垂线，垂足为4

当点P在直线x=2右侧时，AP=x-2=3,得x=5；

当点P在直线x=2左侧时，PA=2-x=3，得x=-1,

153

...当。P与直线m2相切时,点尸的坐标为(5,y)或(-1，--)；

(2)由(1)可知当-l<x<5时，。尸与直线户2相交

当x<-l或x>5时，0P与直线x=2相离.

【点睛】本题考查了直线和圆的不同位置关系，根据数量关系正确求解是解决本题的关键.

提升篇

1.如图，。。是△ABC的外接圆，A3为直径，过点。作OZ）〃BC,交AC于点£>.

（1）求NAOO的度数；

（2）延长。。交。。于点E,过E作。。的切线，交CB延长线于点F,连接。F交。8于点G.

①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；

②若BG=2,AD=3,求四边形CDEF的面积.

27

【答案】（1）90°；（2）①四边形C0EF为矩形，理由见解析；②彳

【分析】（1）由圆周角和平行线的性质求出结论.

（2）根据矩形的判定定理得出结论.

（3）根据全等三角形和勾股定理得到方程，联立方程组求出OA的长度，即可求出矩形的面积.

【详解】（1）TAB为直径，

,ZC=90°.

'JOD//BC,

.,.ZAD6>=ZC=90°.

（2）①四边形CDEF为矩形，理由如下：

：NC=90。，OD//BC,

二NODC=180°—90°=90°.

与。。相切于点E,

ZOEF=90°.

*：NC=NODC=NOEF=90°,

二四边形CQEF为矩形.

②如图，连接4E,OC,

9

：OA=OC9OD±ACf

：.AD=DC=3.

由①知四边形CDEF为矩形,

:・DE=CF.

又,:NAOE二尸二90。，

AAADE^ADCF(SAS).

：・NOEA=NCFD.

■:DE〃CF,

：・/CFD=NODG.

：./ODG=/OEA.

：.DG//AEf

：.ZOGD=ZOAE.

又由OA=OE知/OAE=NOEA,

・♦・/ODG=/OGD,

：.OD=OG.

设OA=x,则OB=OE=x.

•：BG=2,

OG=x-2

/.OD=OG=x-2.

XVAD=3,

13

・••在R3ADO中，32+(x-2)2=/,解得工=—

4

.135

.•OE=x=—,OD=x-2=—,

44

9

：・DE=OD+OE=-.

2

927

・•・矩形COE/的面积为：DCDE=3x-=—.

R

【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质,

找准全等三角形是解题的关键.

2.已知：如图(I),在。0中，直径A8=4,8=2,直线相交于点E.

(2)如图(2),AB与C。交于点尸，请补全图形并求/E的度数；

(3)如图(3),弦AB与弦CD不相交，求NAEC的度数.

【答案】(1)60°；(2)见解析，60°；(3)60°

【分析】(1)连结OD,OC,BD,根据已知得到ADOC为等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，求

出NE的度数；

(2)同理解答(2)(3).

【详解】(1)如图(1),连接OROCBO..O£>=OC=CZ)=2,1OOC为等边三角形，

..NOOC=60,..NOBC=30°.QAB为直彳仝，..N">B=9O",..N8QE=9O0,.•.NE=90°-30°=60°.故答案

为60。.

(2)如图(2),直线A2CB交于点E,连接O2OCAC.

OO=OC=C£>=2".=DOC为等边三角形，,NZ)OC=60°,.，.ND4C=30".QAB为直径，

ZACB=NADB=90°,，NCBD=360°-90°-90°-30°=150°,/.NEBD=30°,ZE=90°-30°=60°,

(3)如图(3),连接O2OC..OD=OC=CD=2,,•.△OOC为等边三角形，60°,，NC8D=30°,

QAB为直径，ZADB=90ABED=60",ZAEC=60°.

【点睛】本题考查的是圆周角定理及其推论、等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造直

角三角形，利用直径所对的圆周角是直角进行解答.

3.已知：如图，在Rt^ABC中，NC=90。，RsABC的内切圆。0,切点分别为点力、E、F,

(1)若AC=3,BC=4,求AABC的内切圆半径；

(2)当A£>=5,BO=7时，求A48C的面积；

(3)当AD=/n,8。=〃时，直接写出求AABC的面积(用含力，〃的式子表示)为.

【答案】(1)1;(2)35；(3)mn

【分析】(1)连接0E、0F,如图，设。。的半径为r,利用勾股定理计算出48=5,利用切线的性质

和切线长定理得到。E_LAC,0F1BC,CE=CF,AE=AD,8尸=8力，则四边形CU0E为正方形，所以CE

—CF=OE—r,从而得3-r+4-r=5,然后求出r即可；

(2)设③。的半径为r,利用(1)中的结论得到AE=AC=5,BF=BD=1,AC=5+r,BC=7+r,再利用

勾股定理得到(5+r)2+(7+r)2=(5+7)2,求出『得到AC="[-1,8。=历+1,然后根据三角形面

积公式求解；

(3)设。。的半径为r,与(2)一样得到AE=AO=〃?，BF=BD=n,AC=m+r,BC=n+r,利用勾股定理

得到(m+r)2+(〃+厂)、(〃,+〃)2,解得+J疗+/+6〃，〃或,=+(舍

22

去)，所以AC=1c"--+J，"2+〃2+6刃〃)),BC—~(-/n+n+yjm2+n2+6mn),然后利用勾股定理计算•:角

22

形的面积即可.

【详解】解：(1)连接O。、OE、OF,如图，设。。的半径为〃

在RtZSABC中，A8=,3,+42=5,

•••RSABC的内切圆。。，切点分别为点。、E、F,

：.OE±AC,OFLBC,CE=CF,AE=AD,BF=BD,

易得四边形CR9E为正方形，

:.CE=CF=OE=r,

.9.AD=AE=3-r,BD=BF=4-r,

/.3-r+4-r=5,解得r—\,

即△ABC的内切圆半径为1：

(2)设。。的半径为小

由(1)得AE=4O=5,BF=BD=7,

/.AC=5+r,BC=7+r,

在RtAABC中，(5+r)2+(7+r)2=(5+7)