高考数学模拟检测试卷例题（新编）

高考数学一模试卷

一、选择题(在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)

1.如果A={xdR|x>0},B={0,1,2,3),那么集合AAB=()

A.空集B.{0}C.{0,1}D.{1,2,3}

2.某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人.现对大学生社团活动情况

进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为

()

A.200B.100C.80D.75

3.如果a=log41,b=log23,c=log2n,那么三个数的大小关系是()

A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

4.如果过原点的直线I与圆x2+(y-4)2=4切于第二象限，那么直线I的方程是

()

A.B.C.y=2xD.y=-2x

5.设函数若f(a)>1,则实数a的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,+8)C.(2,+8)D.(…，0)u(2,+8)

6.“sina+cosa=0"是"cos2a=0"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

7.如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形

的有()

A.1B.2C.3D.4

8.如果函数y=f(x)在定义域内存在区间［a,b］,使f(x)在［a,b］上的值域

是［2a,2b］,那么称f(x)为"倍增函数若函数f(x)=ln(ex+m)为“倍增函

数"，则实数m的取值范围是()

A.B.C.(-1,0)D.

9.设集合A={x|lVxV3},集合B={X|X2>4},则集合ACB等于()

A.{x2<x<3}B.{x|x>l}C.{xl<x<2}D.{x|x>2}

10.圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为()

A.(x-1)2+y2=lB.(x+1)2+y2=lC.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1

11.执行如图所示的程序框图，输出的x的值为()

A.4B.3C.2D.1

12.若实数a,b满足a>0,b>0,贝是k+1血>6+|[113"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）

A.B.C.D.3

14.在aABC上，点D满足，则（）

A.点D不在直线BC上B.点D在BC的延长线上

C.点D在线段BC上D.点D在CB的延长线上

15.若函数的值域为[-1,1],则实数a的取值范围是（）

A.[1,+8）B.（-8,-1]C.（0,1]D.（-1,0）

如图，在公路两侧分别有七个工厂，各工厂与公路

16.MNAi，A2,A7MN

（图中粗线）之间有小公路连接.现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站

址的标准是"使各工厂到车站的距离之和越小越好则下面结论中正确的是

（）

①车站的位置设在C点好于B点；

②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；

③车站位置的设置与各段小公路的长度无关.

A.①B.②C.①③D.②③

二、填空题（将答案填在答题纸上）

1.已知复数z=a（1+i）-2为纯虚数，则实数a=.

已知等比数列｛中，则公比,其前项和

2.aja2a4=a5，a4=8,q=4

$4=.

3.若抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，则实数p=.

4.若x,y满足则的最大值是—.

5.已知函数f(x)=sinu)x(u)>0),若函数y=f(x+a)(a>0)的部分图象如图

所示，则3=,a的最小值是.

6.阅读下列材料，回答后面问题：

在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中，主持人说："…加入

此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到

1320人.尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具.①

世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航

空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人;②截

至2014年9月，每百万架次中有2.1次(指飞机失事)，乘坐汽车的百万人中其

死亡人数在100人左右.“

对上述航空专家给出的①、②两段表述(划线部分)，你认为不能够支持"飞机仍

是相对安全的交通工具”的所有表述序号为—，你的理由是—.

7.已知复数z=a(1+i)-2为纯虚数，则实数a=.

已知等比数列｛中，则公比,其前项和

8.aja2a4=a5,a4=8,q=4

$4=.

9.若抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，则实数p=—.

10.若x,y满足则的最大值是—.

11.已知函数f(x)=sincox(u)>0),若函数y=f(x+a)(a>0)的部分图象如图

所示，则3=,a的最小值是.

12.阅读下列材料，回答后面问题：

在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中，主持人说："…加入

此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到

1320人.尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具.①

世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航

空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人;②截

至2014年9月，每百万架次中有2.1次(指飞机失事)，乘坐汽车的百万人中其

死亡人数在100人左右.”

对上述航空专家给出的①、②两段表述(划线部分)，你认为不能够支持"飞机仍

是相对安全的交通工具”的所有表述序号为，你的理由是.

13.如果(x2-1)+(x-1)i是纯虚数，那么实数*=.

14.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k=.

15.如果直线I：y=kx-1(k>0)与双曲线的一条渐近线平行，那么

k=.

16.“墨子号"是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于

2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆

盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比

如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向

为垂直或斜向上45度.如图所示

编码方式1编码方式2

码元0

码元1

信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信

号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够

完美解码；信号发送端如果按编码方式工发送，同时接收端按编码方式2进行解

码，这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的

概率是—;如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率

是—.

17.已知AABC中，ZA=120°,且AB=AC=2,那么BC=,=.

18.已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中

生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠

中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要

求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里.

三、解答题(共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)

1.已知点(,1)在函数f(x)=2asinxcosx+cos2x的图象上.

(工)求a的值和f(x)最小正周期；

(H)求函数f(x)在(0,71)上的单调减区间.

已知数列｝是等差数列，前项和为若

2.anSn，aI=9,S3=21.

(I)求数列｛aj的通项公式;

若成等比数列，求的值.

(II)as,a8,Skk

3.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AD1BD且AD=BD,

ACABD=O,PO_L平面ABCD.

(I)E为棱PC的中点，求证：OE〃平面PAB；

(II)求证：平面PAD_L平面PBD；

(III)若PDJ_PB,AD=2求四棱锥P-ABCD体积.

4.某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对

某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量

数据(单位：立方米)，整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图

(图1)：

组号分组频数

1[0,5,1)20

2[1,1.5)40

3[1.5,2)80

4[2,2.5)120

5[2.5,3)60

6[3,3.5)40

7[3.5,4)20

8[4,4.5）20

（工）求a,b的值；

（II）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米

的概率；

（m）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为"节水小区”.假设同组

中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区"

标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%,经过同学们的节

水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图2所示，估

计这时小区是否达到"节水小区"的标准？并说明理由.

5.已知椭圆W：=1（a>b>0）的左右两个焦点为Fi，F2,M|FIF2|=2,

椭圆上一动点P满足|PFI|+|PF2]=2.

（I）求椭圆W的标准方程及离心率；

（□）如图，过点F1作直线11与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2_Ui，且

L与椭圆w交于点B,D,11与b交于点E,试求四边形ABCD面积的最大值.

6.设函数，a£R.

（工）若x=2是f（x）的极值点，求a的值，并讨论f（x）的单调性；

（口）已知函数，若g（x）在区间（0,1）内有零点，求a

的取值范围；

（IH）设f（X）有两个极值点X1，X2，试讨论过两点（X1，f（X1））,（X2，f（X2））

的直线能否过点（1,1）,若能，求a的值；若不能，说明理由.

15.已知等差数列⑸｝满足ai+a2=6,a2+a3=10.

（I）求数列｛aj的通项公式；

（口）求数列｛an+az｝的前n项和.

7.某地区以“绿色出行”为宗旨开展"共享单车"业务.该地有a,b两种“共享单车"

（以下简称a型车，b型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使

用情况.

（I）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a型车，3人租到b型

车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租

到a型车的概率；

(II)根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4

月的用户租车情况城现如表使用规律.例如，第3个月租a型车的用户中，在第

4个月有60%的用户仍租a型车.

租用a型车租用b型车

第3个月

第4个月

租用a型车60%50%

租用b型车40%50%

若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同.已知2017年3月该地

区租用a,b两种车型的用户比例为1：1,根据表格提供的信息，估计2017年4

月该地区租用两种车型的用户比例.

8.在ZXABC中,A=2B.

(I)求证：a=2bcosB；

(II)若b=2,c=4,求B的值.

9.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA_L平面ABCD,PA=AB=2,E,

F分别是PB,PD的中点.

(I)求证：PB〃平面FAC；

(口)求三棱锥P-EAD的体积；

(DI)求证：平面EAD_L平面FAC.

10.已知椭圆C：=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,且|AB=4,

离心率为.

(I)求椭圆C的方程；

(口)设点Q(4,0),若点P在直线x=4上，直线BP与椭圆交于另一点M.判

断是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存

在，说明理由.

11.已知函数f(x)=ex-x2+ax,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与x

轴平行.

(工)求a的值；

(II)若g(x)=ex-2x-1,求函数g(x)的最小值;

(HI)求证：存在cVO,当x>c时，f(x)>0.

高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，

选出符合题目要求的一项)

1.如果A={xdR|x>0},B={0,1,2,3},那么集合ACB=()

A.空集B.{0}C.{0,1}D.{1,2,3}

【考点】交集及其运算.

【分析】利用交集定义直接求解.

【解答】解：•••A={x£R|x>0},B={0,1,2,3),

集合AAB={1,2,3).

故选：D.

2.某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人.现对大学生社团活动情况

进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为

()

A.200B.100C.80D.75

【考点】分层抽样方法.

【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.

【解答】解：设大一抽取的人数为n人，则用分层抽样的方法可得=,

x=80.

故选：C.

如果那么三个数的大小关系是()

3.a=log41,b=log23,c=log2n,

A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

【考点】对数值大小的比较.

【分析】利用对数函数的单调性即可得出.

【解答】解：

r=10841=0,l<b=log23<c=log2n,

/.c>b>a.

故选：A.

4.如果过原点的直线I与圆x2+(y-4)2=4切于第二象限，那么直线I的方程是

()

A.B.C.y=2xD.y=-2x

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】由已知得圆心坐标为(0,4),半径长为2.因为直线斜率存在.设直

线方程为y=kx,根据圆心到直线的距离等于半径，确定k的值，从而求出直线

方程

【解答】解：圆心坐标为(0,4),半径长为2.

由直线过原点，当直线斜率不存在时，不合题意，

设直线方程为;y=kx,即kx-y=0.

则圆心到直线的距离d==r=2

化简得:k2=3

又•.•切点在第二象限，

直线方程为；y=-x

故选:B.

5.设函数若f(a)>1,则实数a的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,+8)C.(2,+8)D.(-8,0)u(2,+8)

【考点】函数单调性的判断与证明.

【分析】分别讨论2a-3>1,与>1,求出a的范围即可.

【解答】解：若2a-3>1,解得：a>2,与a<0矛盾，

若>1,解得：a>0,

故a的范围是(0,+8),

故选:B.

6.“sina+cosa=0"是"cos2a=0"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【分析】cos2a=0=(cosa+sina)(cosa-sina)=0o(cosa+sina)=0或(cosa

-sina)=0,即可判断出结论.

【解答】解：cos2a=00(cosa+sina)(cosa-sina)=0=(cosa+sina)=0或(cosa

-sina)=0,

..."sina+cosa=0"是"cos2a=0"的充分不必要条件.

故选：A.

7.如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形

的有()

A.1B.2C.3D.4

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形，有一侧棱垂直于底面，

即可得出结论.

【解答】解：由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形，

有一侧棱垂直于底面，则四棱锥的四个侧面都是直角三角形，

故选D.

8.如果函数y=f(x)在定义域内存在区间［a,b］,使f(x)在［a,b］上的值

域是［2a,2b］,那么称f(x)为“倍增函数若函数f(x)=ln域+m)为“倍增

函数"，则实数m的取值范围是()

A.B.C.(-1,0)D.

【考点】函数的值.

【分析】由题意，函数f(x)在［a,b］上的值域且是增函数；可得，

可以转化为方程e2x-ex-m=0有两个不等的实根，且两根都大于0的问题，从

而求出t的范围.

【解答】解：•••函数f(x)=ln(ex+m)为“倍增函数"，

且满足存在［a,b］,使f(x)在［a,b］上的值域是［2a,2b］,

Af(x)在［a,b］上是增函数；

,即

方程e2x-ex-m=0可化为

y2-y-m=0(其中y=ex),

...该方程有两个不等的实根，且两根都大于0;

即，

解得-VmVO；

满足条件的m的范围是(-,0)；

故选：D.

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={x|lVxV3},集合B={X|X2>4},则集合AAB等于()

A.{x2<x<3}B.{x|x>l}C.{x|l<x<2}D.{x|x>2)

【考点】交集及其运算.

【分析】解不等式求出集合B,根据交集的定义写出AAB.

【解答】解:集合A={x|lVxV3},

集合B={X|X2>4}={X|X<-2或x>2},

则集合AAB={x|2VxV3}.

故选:A.

2.圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为()

A.(x-1)2+y2=lB.(x+1)2+y2=lC.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】根据题意设圆方程为x2+(y-1)2=r2,由圆心到直线的距离得到半径r,

代入即可得到所求圆的方程

【解答】解：设圆方程为x2+(y-1)2K2,•.•直线y=2与圆相切，.•.圆心到直线

的距离等于半径r,.1=1

2

故圆的方程为：x+(y-1)2=1,故选：C

3.执行如图所示的程序框图，输出的x的值为()

A.4B.3C.2D.1

【考点】程序框图.

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变

量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

【解答】解：模拟程序的运行，可得

x=0,y=5

不满足条件=，执行循环体，x=l,y=4

不满足条件=,执行循环体，x=2,y=2

满足条件=,退出循环，输出x的值为2.

故选：C.

4.若实数a,b满足a>0,b>0,则"a>b"是"a+lna>b+lnb"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【分析】据a,b的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可.

【解答】解：设f(x)=x+lnx,显然f(x)在(0,+8)上单调递增，

Va>b,

Af(a)>f(b),

/.a+lna>b+lnb,

故充分性成立，

Va+lna>b+lnbw,

Af(a)>f(b),

a>b,

故必要性成立，

故"a>b"是"a+lna>b+lnb"的充要条件,

故选：C

5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）

A.B.C.D.3

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为2、1、1,该三棱锥中最

长棱为长方体的一条对角线，即可得出结论.

【解答】解：将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为2、1、1,

该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，长度为=,

故选B.

6.在△ABC上，点D满足，则（）

A.点D不在直线BC上B.点D在BC的延长线上

C.点D在线段BC上D.点D在CB的延长线上

【考点】向量的三角形法则.

【分析】据条件，容易得出，可作出图形，并作，并连接AD-

这样便可说明点D和点D，重合，从而得出点D在CB的延长线上.

【解答】解:

如图，

作，连接AD，，则:

二.

.3和D重合；

.•.点D在CB的延长线上.

故选D.

7.若函数的值域为［-1，1］，则实数a的取值范围是（）

A.[1,+8)B.(-8,-1]c.(0,1]D.(-1,0)

【考点】分段函数的应用.

【分析】根据函数f(x)的解析式，讨论xWa和x>a时，f(x)1],

即可求出a的取值范围.

【解答】解：函数的值域为[-1,1],

当xWa时，f(x)=cosxG[-1,1],满足题意；

当x>a时，f(x)=e[-l,1],

应满足0<W1,解得xel；

...a的取值范围是[1,+8).

故选：A.

8.如图，在公路MN两侧分别有Ai,A2,...»A7七个工厂，各工厂与公路MN

(图中粗线)之间有小公路连接.现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站

址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好则下面结论中正确的是

()

①车站的位置设在C点好于B点；

②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；

③车站位置的设置与各段小公路的长度无关.

A.①B.②C.①③D.②③

【考点】进行简单的合情推理.

【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案.

【解答】解：因为A、D、E点各有一个工厂相连，B,C,各有两个工厂相连，

把工厂看作“人

可简化为"A,B,C,D,E处分别站着1,2,2,1,1个人(如图)，求一点，使

所有人走到这一点的距离和最小”.把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，

靠拢完的结果变成了B=4,C=3,最好是移动3个人而不要移动4个人.

所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关

故选c.

二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)

9.如果(x2-1)+(x-1)i是纯虚数，那么实数*=-1.

【考点】复数的基本概念.

【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解.

【解答】解：(x2-1)+(x-1)i是纯虚数，

，解得：x=-1.

故答案为：-1.

10.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k=5.

【考点】程序框图.

【分析】由程序框图，运行操作，直到条件满足为止，即可得出结论.

【解答】解：由程序框图知第一次运行k=2,m=；

第二次运行k=3,m=；

第三次运行k=4,m=；

第四次运行k=5,m=；

退出循环.

故答案为：5.

11.如果直线I：y=kx-1(k>0)与双曲线的一条渐近线平行，那么

k=.

【考点】双曲线的简单性质.

【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得到

所求k的值.

【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x,

由直线I：y=kx-1(k>0)与双曲线的一条渐近线平行，

可得k=.

故答案为：.

12."墨子号"是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于

2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆

盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比

如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向

为垂直或斜向上45度.如图所示

编码方式1编码方式2

码元0

码元1

信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信

号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够

完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解

码，这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的

概率是;如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概

率是.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

【分析】发送端发送一个码元，基本事件总数n=2,接收端能够完美解码包含的

基本事件个数m=l,由此能求出发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码

的概率;进而利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求

出发送端发送3个码元，恰有两个码元无法获取信息的概率.

【解答】解：发送端发送一个码元，基本事件总数n=2,

接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=l,

.♦.发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率p产=.

发送端发送3个码元，

恰有两个码元无法获取信息的概率p2==.

故答案为：，.

13.已知aABC中，ZA=120°,且AB=AC=2,那么BC=2=-6.

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】利用余弦定理求出BC的值，根据平面向量数量积的定义求出的

值.

【解答】解:△ABC中，ZA=120",且AB=AC=2,

由余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2AB・AC・cosNA

=22+22-2X2X2Xcosl20°

=12,

BC=2,

=(-)•(-)

=-+•

=-22+2X2XCOS120°

=-6.

故答案为：2,-6.

14.已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中

生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠

中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要

求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠900公里.

【考点】进行简单的合情推理.

【分析】因为要求最远，所以3人同去耗食物，即只一人去，另2人中途返回，

3人一起出发.12天后两人都只剩24天的食物.乙、丙分给甲12+12=24天的食

物后独自带12天的食物返回；甲独自前进18天后返回，甲一共走了30天，他

们每天向沙漠深处走30千米，据此解答即可.

【解答】解：因为要求最远，所以3人同去耗水和食物，即只一人去，

3人一起出发.12天后两人都只剩24天的食物.

乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的水和食物返回.

则甲有的食物：36-12+12+12=48(天)

甲再走：(48-12)4-2=18(天)

30X(12+18)=900公里.

故答案为900.

9.已知复数z=a(1+i)-2为纯虚数，则实数a=2.

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】利用纯虚数的定义即可得出.

【解答】解：复数z=a(1+i)-2=a-2+ai为纯虚数，

Aa-2=0,aWO,

则实数a=2

故答案为：2.

10.已知等比数列国｝中，a2a4=a5,a4=8,则公比q=2,其前4项和S4=15.

【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式.

23

【分析】设等比数列｛an｝的公比为q,由a2a4=a5,a4=8,可得q=a2q,=8,

解得a2,q,利用求和公式即可得出.

【解答】解:设等比数列屈｝的公比为q,2a4=a5,a4=8,

q2=a2q3»=8,解得az=q=2.

/.3i=l.

其前4项和S4==15.

故答案为：2,15.

11.若抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，则实数P=4.

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】求出抛物线的准线x=-经过双曲线的右焦点(-2,0),即可求出p.

【解答】解：因为抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，...p〉。,

所以抛物线的准线为x=-,

依题意，直线x=-经过双曲线的右焦点(-2,0),

所以p=4

故答案为：4.

12.若x,y满足则的最大值是.

【考点】简单线性规划.

【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目

标函数的最大值.

【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：

则的几何意义表示平面区域内的点

与点(0,0)的斜率的最大值，由

解得A(1,)

显然过A时，斜率最大，最大值是，

故答案为：.

13.已知函数f(x)=sinwx(3>0),若函数y=f(x+a)(a>0)的部分图象如图

所示，则3=2,a的最小值是.

【考点】由y=Asin(u)x+(t>)的部分图象确定其解析式.

【分析】首先由图象最高点横坐标与零点的距离求函数的周期，从而由周期公式

求3,然后由图象过的已知点求出a.

【解答】解：由已知函数图象得到TI,所以T=n,所以=2,

又y=f(x+a))=sinu)(x+a)且(，1)在图象上，

所以sin2(+a)=1,所以+2a=2kn,ke乙

所以k取0时a的最小值为；

故答案为：2；.

14.阅读下列材料，回答后面问题：

在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中，主持人说："…加入

此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到

1320人.尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具.①

世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航

空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人;②截

至2014年9月，每百万架次中有2.1次(指飞机失事)，乘坐汽车的百万人中其

死亡人数在100人左右.”

对上述航空专家给出的①、②两段表述(划线部分)，你认为不能够支持"飞机仍

是相对安全的交通工具”的所有表述序号为你的理由是数据①虽是同

类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；

数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做

如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x,这样每百万人乘机死亡人

数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数.

【考点】收集数据的方法.

【分析】根据题意，利用数据的收集，分类，归纳，分析可得结论

【解答】解：选①，理由为：数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞

机出行的总人数的关系；

数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以

做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为X,这样每百万人乘机死亡

人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数.

故答案为：①；数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人

数的关系;

数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以

做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为X,这样每百万人乘机死亡

人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数

三、解答题（共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

15.已知点（,1）在函数f（x）=2asinxcosx+cos2x的图象上.

（工）求a的值和f（x）最小正周期；

（口）求函数f（x）在（0,n）上的单调减区间.

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象.

【分析】（I）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（3X+6）

的形式，图象过点（，1）,可得a的值.利用周期公式求函数的最小正周期.

（口）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调

递减区间；根据k的取值，即可得x在（0,n）的减区间.

【解答】解：（I）函数f（x）=2asinxcosx+cos2x.

化解可得：f（x）=asin2x+cos2x.

•.•图象过点（，1）,

即l=asin+cos

可得：a=l.

/.f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）

...函数的最小正周期丁=

（II）由2kn+2x+,kGZ.

可得：Wx<,kez.

函数f（x）的单调减区间为[,],kez.

XG（0,R）.

当k=0时，可得单调减区间为[,].

函数f(x)在(0,n)上的单调减区间为［].

16.已知数列⑸｝是等差数列，前n项和为Sn,若a】=9,S3=21.

(I)求数列｛an｝的通项公式；

(II)若a5,a8,Sk成等比数列，求k的值.

【考点】等比数列的通项公式；数列递推式.

【分析】(I)利用等差数列前n项和公式求出d=-2,由此能求出数列｛aj的

通项公式.

(口)由as，a8,Sk成等比数列，得，由此能求出k.

【解答】解:(I)二•数列屈｝是等差数列，前n项和为Sn,a】=9,S3=21.

解得d=-2,

；.an=9+(n-1)X(-2)=-2n+ll.

(H)Va5,a8,Sk成等比数列，

••，

即(-2X8+11)2=(-2X5+11)*[9k+],

解得k=5.

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AD±BD且AD=BD,

ACABD=O,PO_L平面ABCD.

(I)E为棱PC的中点，求证：OE〃平面PAB；

(II)求证：平面PAD_L平面PBD；

(III)若PD_LPB,AD=2求四棱锥P-ABCD体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定.

【分析】(I)由四边形ABCD是平行四边形，可得。为AC中点，又E为PC中

点，由三角形中位线定理可得OE〃PA,再由线面平行的判定可得0E〃平面PAB；

(II)由PO_L平面ABCD,得POLAD,再由AD，BD,可得AD_L平面PBD,进

一步得到平面PAD，平面PBD；

（DI）由已知求出平行四边形ABCD的面积，进一步求出高P。，再由体积公式

得答案.

【解答】（I）证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

为AC中点，又E为PC中点，...0E是△PAC的中位线.

，0E〃PA,而0EQ平面PAB,PAc平面PAB,

，0E〃平面PAB；

（口）证明：•..P0_L平面ABCD,...POLAD,

又AD_LBD,且BDAPO=O,

，AD_L平面PBD,而ADu平面PBD,

,平面PAD,平面PBD；

（HI）由AD_LBD,且AD=BD,AD=2,，S四边形ABCD=2X2=4,

又PDLPB,P01BD,可得P0=，

18.某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对

某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量

数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图

（图1）：

组号分组频数

1[0.5,1)20

2[1,1.5)40

3[1.5,2)80

4[2,2.5)120

5[2.5,3)60

6[3,3.5)40

7[3.5,4)20

8[4,4.5)20

（工）求a,b的值；

（口）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米

的概率；

（ni）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”.假设同组

中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到"节水小区”

标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%,经过同学们的节

水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图2所示，估

计这时小区是否达到"节水小区"的标准？并说明理由.

【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

【分析】（I）由数据分组及频数分布表能求出a,b的值.

（口）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A,利用等可能事件概率计

算公式能求出这名住户一个月用水量小于3立方米的概率.

（0）由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区〃，由图求

出三个月后的该小区人均用水量，由此得到三个月后，估计小区能达到“节水小

区”的标准.

【解答】解：（I）由数据分组及频数分布表知：

a==0.2,b==0.6.

（口）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A,

则这名住户一个月用水量小于3立方米的概率P（A）==0.8.

（m）•••该小区居民月用水量低于这一标准的比例为30%,

,由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区"，

由图可知，三个月后的该小区人均用水量为：

1X0.1+1.5X0.15+2X0.25+2.5X0.3+3X0.1+3.5X0.05+4X0.05=2.25<2,5,

三个月后，估计小区能达到“节水小区”的标准.

19.已知椭圆W：=1（a>b>0）的左右两个焦点为Fi，F2,且忤而|=2,

椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF21=2.

（I）求椭圆W的标准方程及离心率；

（口）如图，过点F1作直线11与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线12,11，且

b与椭圆W交于点B,D,li与b交于点E,试求四边形ABCD面积的最大值.

【考点】直线与椭圆的位置关系.

【分析】（I）由椭圆的定义及焦距|FF2|=2C=2,求得a和c的值，则b2=a2-c2=2,

即可求得椭圆的方程及离心率.

（II）当直线的斜率不存在时，由$=IAC|•|BD|=4,当直线斜率存在时,

设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式分别求得IAC|,|BD

I根据函数的单调性即可求得四边形ABCD面积的最大值.

【解答】解：（]）由题意可知：|FF2|=2C=2,c=l,2a=|PF/+|PF21=2,a=,

b2=a2-c2=2,离心率e==,

...椭圆的标准方程为：；

（II）当直线L，li，当斜率不存在时，EFI±EF2,此时求得|EO|=|FF2

I=1­

.•.E点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然点E在椭圆W上内部，

二四边形ABCD面积S=SAABC+SMDC=IAC|•IBE|+IAC|•IDE|=|

AC|•[BD|,

将x=-l代入椭圆方程，求得y=±,此时|BD|=,IAC|=2,

则四边形ABCD面积S=|AC|•|BD|=4,

当直线I2，li都存在时，设直线k，x=my-1,（m#0）,

设A（xi,yi）,B（X2>yz）,

,整理得：（2rr）2+3）y2-4my-4=0,

则yi+y2=,yiyz=-,则IACI=•=,

同理直线li，x=-x+1,同理求得IBDI=,

，四边形ABCD面积S=IACI•IBDI=XX,

==4X

=4(1-)V4,

综上可知四边形ABCD面积的最大值4,此时直线上11一条为椭圆的长轴，一条

与x轴垂直.

20.设函数,a£R.

(工)若x=2是f(x)的极值点，求a的值，并讨论f(x)的单调性；

(口)已知函数，若g(x)在区间(0,1)内有零点，求a

的取值范围；

(IH)设f(X)有两个极值点X1，X2，试讨论过两点(X1，f(X1)),(X2，f(X2))

的直线能否过点(L1),若能，求a的值；若不能，说明理由.

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.

【分析】⑴f'(x)=x2-x+a,由x=2是f(x)的极值点，可得f'(2)=0,解得

2=-2.代入73)进而得出单调性.

(II)=-+ax+,g'(x)=x2-(1+a)x+a=

(x-1)(x-a).对a与1的大小关系分类讨论

可得a的取值范围.

(III)不能，原因如下：设f(X)有两个极值点X1，X2，则f，(x)=x2-x+a有两

个不同的零点.△>()，解得a<,且Xi,X2,为方程x2-x+a=0的两根.则

-xi+a=0,可得=xi-a,可得f(xi)=xi+a,同理可得：f(X2)

=X2+a.由此可得：过两点(Xl，f(Xl)),(X2,f(X2))的直线方程为：

y=x+a.进而判断出结论.

【解答】解：(I),aER.f(x)=x2-x+a,

•.•x=2是f(x)的极值点，.•4'(2)=4-2+a=0,解得a=-2.

代入f'(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2),令f'(x)=0,解得x=-1,或x=2.

令「(x)>0,解得x>2或xV-1,

：.f(x)在x£(-8,-i),(2,+oo)时单调递增；令f(x)<0,解得-1

<x<2,

.,.f(x)在xe(-1,2)时单调递减.

(II)=+ax+,g'(x)=x2-(1+a)x+a=

(x-1)(x-a).

①当a21时，xG(0,1)时，

g'(x)>0恒成立，g(x)单调递增，又g(0)=>0,

因此此时函数g(x)在区间(0,1)内没有零点.

②当0<aVl时，xE(0,a)时，gz(x)>0