初中数学北师大九年级上册特殊平行四边形九年级上册数学教案

第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定

第1课时菱形的性质

【学习目标】

1.理解菱形的概念，掌握菱形的性质.

2.培养学生主动探究的习惯、严密的思维意识和审美意识.

3.经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基

本方法.

【学习重点】

理解并掌握菱形的性质.

【学习难点】

形成推理的能力.

一、情景导入生成问题

1.平行四边形的一组对边平行且相等.

2.平行四边形的对角相等.

3.平行四边形的对角线互相平分.

二、自学互研生成能力

先阅读教材P2—3页的内容，然后完成下面的问题：

1.菱形的定义是什么？

答：菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2.菱形具有平行四边形的所有性质吗？

答：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.

1.教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相

邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是特殊的平行四边形，因此，菱形也具有平行四边形的所有性

质.

2.如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开.

思考：⑴这是一个什么样的图形呢？

⑵有儿条对称轴？

⑶对称轴之间有什么位置关系？

⑷菱形中有哪些相等的线段？

师生结论：（1）菱形；（2）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线；（3）两条对称轴互相垂直；

⑷菱形的四条边相等.

3.归纳结论：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.

解答下列各题：

1.已知菱形ABCD的边长为3cm,则该菱形的周长为_12_cm.

2.如图，已知菱形ABCD的周长为20cm,/A=60°,则对角线BD=_5_cm.

典例讲解：

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,ZBAD=60°,BD=6,求菱形的边长AB和对角线AC的

长.

解：：四边形ABCD是菱形，；.AB=AD（菱形的四条边都相等），AC_LBD（菱形的对角线互相垂直），OB=OD=BD

=X6=3（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABC中，•••NBAD=60°,...△ABD是等边三角形，，AB=BD

=6.在Rt/XAOB中，由勾股定理得OA2+OB2=AB2,；.0A=3,AC=2OA=6.

对应练习：

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点。.已知AB=5cm,A0=4cm.求BD的长.

解：：四边形ABCD是菱形，（菱形的对角线互相垂直）.在RtZ\AOB中，由勾股定理，得AO2+BO2=

AB2,；.B0=3.；四边形ABCD是菱形，.•.BD=2BO=2><3=6（菱形的对角线互相平分）.

三、交流展示生成新知

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并

将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”.

知识模块一探索菱形的性质

知识模块二菱形性质的应用

四、检测反馈达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

L收获：

2.存在困惑：______________________________________________

第2课时菱形的判定

【学习目标】

1.理解并掌握菱形的定义及两种判定方法.

2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算.

3.经历探索菱形判定条件的过程，领会菱形的概念以及判定方法，发展学生主动探究的思想

并了解说理的基本方法.

4.培养良好的探究意识以及推理能力，感悟其应用价值；培养学生的观察能力、动手能力及

逻辑思维能力.

【学习重点】

菱形的两个判定方法.

【学习难点】

判定方法的证明及运用.

一、情景寻入生成问题

1.菱形的定义：有一组邻边祖篁的平行四边形叫做菱形.

2.菱形的性质：

性质1：菱形的四条边都相等;

性质2：菱形的对角线互相垂直.

二、自学互研生成能力

知识模块一探索菱形的判定方法

先阅读教材P5-6页内容，然后完成下面的问题。

运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？

答：2个条件：（1）该四边形是平行四边形；（2）该平行四边形有一组邻边相等.

1.活动1:探下列步骤画出一个平行四边形：

（1）画一条线段长AC=6CTM；

（2）取AC的中点0,再以点0为中点画另一条线段BD=8cm,且使BD_LAC；

（3）顺次连接A、B、C、D四点，得到平行四边形ABCD.

猜猜你画的是什么四边形？

归纳结论：菱形的判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

注意此方法包括两个条件：（1）该四边形是一个平行四边形；（2）该四边形的两条对角线互相垂

直.

2.证明菱形的判定方法1

已知：如图，在。ABCD中，对角线AC与BD交于点0,AC1BD.

求证：口ABCD是菱形.

证明：；四边形ABCD是平行四边形，...OAnOC.又•••ACLBD,，BD是线段AC的垂直平

分线..•.BA=BC".四边形ABCD是菱形（菱形定义）.

3.活动2：画一画，作一条线段AC,分别以A、C为圆心，以大于AC的一半为半径画弧,

两弧分别交于B、D两点，依次连接A、B、C、D.

思考：四边形ABCD是什么四边形？你能证明吗？

归纳结论：菱形的判定方法2:四条边相等的四边形是菱形.

4.证明菱形的判定方法2

已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.

求证：四边形ABCD是菱形.

证明：：AB=CD,AD=BC....四边形ABCD是平行四边形.又•；AB=BC,...四边形ABCD

是菱形（菱形定义）.

知识模块二菱形判定定理的应用

解答下列各题：

1.边长等于2cm的两个等边三角形拼成的四边形一定是一个形.

2.已知四边形ABCD满足条件AB=BC=CD,AB〃CD,则四边形ABCD的形状一定是菱

整

典例讲解：

己知：如图，在口ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相交于点E、0、

F.

求证：四边形AECF是菱形.

证明：•••四形边ABCD是平行四边形，，AD〃BC,，N1=N2,•；EF是AC的垂直平分线,

fZl=Z2,

/.0A=0C,在AAOE和aCOF中，10A=0C,AAOE^ACOF^^）,，AE=CF,

LZAOE=ZCOF,

•••AE〃CF,.•.四边形AECF是平行四边形，又：AC_LEF,."AECF是菱形（对角线垂直的平行四

边形是菱形）.

对应练习：

如图，^ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点0,CE〃AB交MN于点

E,连接AE、CD.

求证：四边形ADCE是菱形.

证明：：MN是AC的垂直平分线.，DA=DC,OA=OC,ZAOD=ZEOC=90°,VCE/7AB,

，NDAO=NECO,.'.△ADO丝△CEO(/SN),，AD=CE....四边形ADCE是平行四边形.XVDA

=DC,.•.□ADCE是菱形.

三、支流展示生成新知

1.将阅读教材时”生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小

组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生

成新知”.

知识模块一探索菱形的判定方法

知识模块二菱形判定定理的应用

四、检测反债达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

L收获：_________________________________________________

2.存在困惑：_________________________________________

1.2矩形的性质与判定

第1课时矩形的性质

【学习目标】

1.了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质.

2.经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法.

3.培养严谨的推理能力以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值.

【学习重点】

掌握矩形的性质，并学会应用.

【学习难点】

理解矩形的特殊性质.

一、情景导入生成问题

1.菱形的定义是什么？

答：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2.菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直.

二、自学互研生成能力

知识模块一探索矩形的性质

先阅读教材PUT2页的内容，然后完成下列的问题。

1.矩形的定义是什么？

答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）.

2.矩形具有一般平行四边形的所有性质吗？

答：因为矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有一般平行四边形的所有性质.

1.拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点并观察，它还是一个平行四边形吗？

为什么？（演示拉动过程如图）

2.再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图

形.

归纳结论：矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）.

3.学生观察教师的教具，研究其变化情况后，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平

行四边形，因此它具有平行四边形所有性质.

思考：矩形还具有哪些特殊的性质？为什么？

归纳结论：矩形性质1:矩形的四个角都是直角；矩形性质2:矩形的对角线相等.

4.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？

答：矩形是轴对称图形，有两条对称轴.

5.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点0,探究A0与BD的数量关系.

归纳结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

知识模块二矩形性质的应用

解答下列各题：

1.平行四边形、矩形、菱形都具有的性质是（B）

A.对角线相等B.对角线互相平行

C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直

2.如图，在放AABC中，NACB=90。，AB=10,CD是AB边上的中线，则CD的长是（C）

A.20B.10C.5£).|

典例讲解:

己知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,ZAOB=60°,AB=4cm,求矩形对角线

的长.

解：•••四边形ABCD是矩形....AC与BD相等且互相平分....OAnOB.又NAOB=60。,

/.△OAB是等边三角形....矩形的对角线长AC=BD=2OA=2X4=8cm.

对应练习：

已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF_LAE于F,若AE=BC.求证：CE=EF.

证明：•.•四边形ABCD是矩形，，NB=90。，且AD〃BC.，N1=N2.；DF，AE,AZAFD

=90。..,.NB=NAFD.又AD=AE,/.AABE^ADFA(^S).AF=BE./.EF=EC.

三、交流便示生成新知

1.将阅读教材时”生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小

组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生

成新知”.

知识模块一探索矩形的性质

知识模块二矩形性质的应用

四、检测反债达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补矮

1.收获：_____________________________________________________

2.存在困惑：_____________________________________

第2课时矩形的判定

【学习目标】

1.会证明矩形的判定定理.

2.能运用矩形的判定定理进行简单的计算与证明.

3.能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明.

【学习重点】

理解并掌握矩形的判定方法及证明，掌握判定的应用.

【学习难点】

定理的证明方法及运用.

一、情景寻入生成问题

1.矩形的四个角都是直鱼，矩形的对角线相等.

2.菱形的判定方法有哪些？

答：定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

判定定理：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）四边相等的四边形是菱形.

二、自学互研生成能力

知识模块一探索矩形的判定方法

先阅读教材丹4“做一做”，完成下面的问题：

1,运用矩形的定义进行矩形的判定，应具备几个条件？

答：2个条件：（1）该四边形是平行四边形；（2）该平行四边形有一个角是直角.

2.“做一做”中随着Na的变化，两条对角线的长度会发生怎样的变化？

答：随着Na的增大，较长的对角线会变短，较短的对角线会变长.

1.动手操作，拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点.

思考：（1）随着Na的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？

（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗?

归纳结论：对角线相等的平行四边形是矩形.

已知：如图，在口ABCD中，AC>DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：口ABCD是矩形.

证明：•四边形ABCD是平行四边形，，AB=DC,AB〃DC.又；BC=CB,AC=DB,

AABC^ADCB.ZABC=ZDCB.VAB〃DC,ZABC+ZDCB=180°.ZABC=ZDCB

=1x180°=90°./.°ABCD是矩形（矩形的定义）.

2.矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩

形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.

归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形.

知识模块二矩形判定定理的应用

解答下列各题：

1.对角线相篁的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.

2.下列说法错误的是（C）

A.有一组对角互补的平行四边形一定是矩形

B.两条对角线相等的平行四边形一定是矩形

C.对角线互相平分的四边形一定是矩形

D.有三个角是直角的四边形一定是矩形

典例讲解：

已知：如图，QABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证：四边形EFGH是

矩形.

证明：•.,四边形ABCD是平行四边形，

BG平分NABC,/.ZEAB+ZABG=1x180。=90。.,ZAFB=90°,ZEFG=NAFB=90。.同理

可证NAED=NBGC=NEFG=90。....四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).

对应练习：

如图，在DABCD中，对角线AC和BD相交于点O,AABO是等边三角形，AB=4,求口ABCD

的面积.

解：•••四边形ABCD是平行四边形，，人0=夕式：，80=38».；人0=80,.•.口ABCD是矩形(对

角线相等的平行四边形是矩形).在RtZSABC中，AB=4cm,AC=2AO=8cm,/.BC=^82-42=

44(cm).；.S.ABCD=AB-BC=4X44=16小(cn?).

三、支流展示生成新知

1.将阅读教材时”生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小

组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生

成新知”.

知识模块一探索矩形的判定方法

知识模块二矩形判定定理的应用

8、检测反债达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1.收获：

2.存在困惑:

1.3正方形的性质与判定

第1课时正方形的性质

【学习目标】

1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.

2.掌握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解题.

【学习重点】

探索正方形的性质定理.

【学习难点】

掌握正方形的性质的应用方法.

一、情景导入生成问题

1.菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直.

2.矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等.

3.有一组邻边相等的平行四边形叫型；有一个角是直角的平行四边形叫做更娶.

二、自学互研生成能力

知识模块一探索正方形的性质

阅读教材尸20“议一议”及其上面的内容，然后完成下面的问题：

1.正方形的定义是什么？

答：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2.正方形是矩形吗？是菱形吗？

答：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形.

1.在我们的生活中除了矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？

2.展示正方形图片，让学生观察它们有什么共同特征.

归纳结论：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

3.做一做：用一张长方形的纸片折出一个正方形.

4.观察：这个正方形具有哪些性质？

归纳结论：正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.

5.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？

答：如图:

知识模块二正方形性质的应用

解答下列各题：

1.正方形具有而矩形不具有的性质是(B)

A.四个角都是直角B.一条对角线平分一组对角

C.对角线相等D.对边互相平行

2.下列性质，正方形具有而菱形不具有的性质是维⑦(填序号)①四边相等；②对角线互相

平分；③对角线相等；④对角线互相垂直；⑤四个角都是直角；⑥每一条对角线平分一组对角；⑦

有4条对称轴.

典例讲解：

如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG±EF,垂足为G,且AG=AB,求

NEAF的度数.

分析：根据直角三角形全等的判定定理，可得出△ABFgZ\AGF,故有NBAF=NGAF,再证

明△AGE^^ADE,有NGAE=NDAE,所以可得NEAF=45°.

解：在A/AABF与/??AAGF中，VAB=AG,AF=AF,NB=NAGF=90。，

.'.△ABF之△AGF(/ZL),/.ZBAF=ZGAF,同理易得：△AGE^^ADE,有NGAE=NDAE；

即ZEAF=ZEAG+ZFAG=1(ZDAG+ZBAG)=|zDAB=45°,故NEAF=45°.

对应练习：

四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF,连接AE、

AF、EF.

(1)求证：AADE^AABF；

(2)填空：4ABF可以由4ADE绕旋转中心区点，按顺时针方向旋转处度得到;

(3)若BC=8,DE=6,求4AEF的面积.

解：(1)由S/S证明AADE丝AABF；(3)由勾股定理得AE=10,由(1)得AE=AF,ZDAE=

ZBAF,进而证NEAF=90。，，4AEF的面积100=50.

三、支流展示生成新知

L将阅读教材时”生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小

组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生

成新知”.

知识模块一探索正方形的性质

知识模块二正方形性质的应用

8、检测反馈达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1.收获：______________________________________________

2.存在困惑：__________________________________________

第2课时正方形的判定

【学习目标】

1.掌握正方形的判定方法；会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.

2.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，形成辨证看问题的观点.

【学习重点】

掌握正方形的判定条件.

【学习难点】

合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.

一、情景导入生成问题

1.正方形的四个角都是直色，四条边相等.

2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.

3.正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是（A）

A.8B.4啦C.8啦D.16

二、自学互研生成能力

知识模块一探索正方形的判定方法

先阅读教材。22“议一议”，然后完成下面的问题：

1.运用正方形的定义进行正方形的判定，应具备几个条件？

答：应具备3个条件：（1）是平行四边形；（2）有一组邻边相等；（3）有一个角是直角.

2.一组邻边相等的矩形是正方形吗？

答：一组邻边相等的矩形是正方形.

1.活动内容：问题：将一长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个

正方形？（学生动手折叠、思考、剪切）

答：剪下一个等腰直角三角形.

2.思考：由矩形变为正方形还需要哪些条件？由菱形变为正方形还需要哪些条件？

归纳结论：正方形的判定定理：（1）对角线相等的菱形是正方形；（2）对角线垂直的矩形是正方

形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形.

3.教师可以课件展示下面的框架图，复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.

知识模块二正方形判定定理的应用

解答下列各题：

1.将一张矩形纸片对折两次（两条折痕互相垂直），然后剪下一个角后，打开这个角，如果要

剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（C）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

2.下列说法不正确的是（C）

A.对角线互相垂直的矩形是正方形

B.对角线相等的菱形是正方形

C.有一个角是直角的平行四边形是正方形

D.一组邻边相等的矩形是正方形

典例讲解：

教材尸23—例2.

对应练习：

已知：如图，D是AABC的BC边上的中点，DE±AC,DF1AB,垂足分别是E、F.且BF=

CE.

（1）求证：AABC是等腰三角形；

（2）当NA=90。时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论.

解：（1）VDE±AC,DF±AB,/.ZBFD=ZCED=90°,又VBD=CD,BF=CE,

...□△BDF段及ACDE,，NB=NC.故4ABC是等腰三角形；（2）四边形AFDE是正方形；证明:

VZA=90°,DE±AC,DF，AB,.•.四边形AFDE是矩形，XV7?zABDF^/?rACDE,/.DF=DE,

二矩形AFDE是正方形.

三、交流展示生成新知

1.将阅读教材时”生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小

组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生

成新知”.

知识模块一探索正方形的判定方法

知识模块二正方形判定定理的应用

田、检测反债达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1.收获：_______________________________________________

2.存在困惑：___________________________________________

2.1认识一元二次方程

第1课时一元二次方程

【学习目标】

1.探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识.

2.在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活

的联系.

3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴

趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

【学习重点】

一元二次方程的概念.

【学习难点】

如何把实际问题转化为数学方程.

一、情景导入生成问题

1.单项式和多项式统称为整式.

2.含有未知数的等式叫做方程.

3.计算：(x+2)2=x2+4x+4；3-3)2=X2-6X+9.

4.计算：(5~~2x)(8—~2x)=4x2—26x+40.

二、自学互研生成能力

知识模块一探索一元二次方程

先阅读教材Bi“议一议”前面的内容，然后完成下面问题：

1.在第一个问题中，地毯的长可以表示为(8—2x)m,宽可以表示为(5—2x)m,由矩形的面积

公式可以列出方程为(8—2x)(5—2x)=18.

2.在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x,你又能列出怎样的方程呢？

答：设五个连续整数中间的一个数为X,由题意可列方程，得(X—2)2+(X—1)2+X2=(X+1)2+

(x+2)2

1.问题1：有一块矩形铁皮，长100。加，宽50cm.在它的四个角分别切去一个面积相同的正方

形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是

3600c/,那么铁皮各角应切去多大的正方形？

2.问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯

子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？

你能设出未知数，列出相应的方程吗？

答：问题1由题意可列方程：(100—2x)(50—2x)=3600；问题2由题意可列出方程：(x+6产

+72=102.

3.你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？

(l)(100-2x)(50-2x)=3600

(2)(X+6)2+72=102

归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫

做一元二次方程.

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax2+bx+c=0(a^b、c为常数，aWO)

这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，

b是一次项系数；c是常数项.

知识模块二一元二次方程有关概念的应用

解答下列各题：

1.下列方程中，是一元二次方程的是(C)

A.x2+2y—1=0B.x+2y2=5C.2x2=2x—1D.x2+~—2=0

2.将方程(x+3P=8x化成一般形式为x2—2x+9=0,其二次项系数为」一次项系数是

-2,常数项是2.

典例讲解：关于x的方程mx2—3x=x2—mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件？

分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.

解：由mx?-3x=x?—mx+2得到(m—l)x2+(m-3)x—2=0,所以m—IWO,即mWl.所以关

于x的方程mx2-3x=x2—mx+2是一元二次方程，m应满足mW1.

对应练习：

1.关于x的方程(a—1)X2+3X=0是一元二次方程，则a的取值范围是aWl.

2.已知方程(m+2)x2+(m+l)x—m=0,当m满足m=-2时,它是一元一次方程；当m满

足mW-2时,它是一元二次方程.

3.(易错题)已知关于x的方程(111-2求呵+3*—4=0是一元二次方程，那么m的值是(C)

A.2B.±2C.—2D.1

三、交流展示生成新知

1.将阅读教材时”生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小

组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生

成新知”.

知识模块一探索一元二次方程

知识模块二一元二次方程有关概念的应用

田、检测反债达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补矮

1.收获：_______________________________________________

2.存在困惑：___________________________________________

第2课时一元二次方程的解及其估算

【学习目标】

1.会进行简单的一元二次方程的试解.

2.根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及利用试解方法解决一些具体问题.

3.理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力.

【学习重点】

判定一个数是否是方程的根.

【学习难点】

会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义.

一、情景导入生成问题

1.使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.

2.一元二次方程(x+Ip—x=3(x2—2)化成一般形式是2x?—x—7=0.

3.近似数236心组(精确到十分位).

二、自学互研生成能力

知识模块一探索一元二次方程的近似解

1.先阅读教材尸33“做一做”前面的内容，并完成所设计的四个小问题.

答：(l)x的值不能小于0,不能大于4,不能大于2.5,因为x表示四周未铺地毯部分的宽度,

所以x的值不能为负，又因为(8—2x)和(5—2x)分别表示地毯的长和宽，所以有8-2x>0,5-2x

>0,即x<2.5.

(2)x的取值范围是0VxV2.5.

(3)表格中的对应值分别为:28、18、10、4.

(4)所求宽度为x=lw.

2.学生活动：请同学独立完成下列问题.

问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,那么

梯子的底端距墙多少米？

设梯子底端距墙为xm,那么，

根据题意，可得方程为x?+82=102.

整理，得X2—36=0.

列表：

X012345678

X2-36一36-35-32-27-20-1101328

问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为xm,则长为(x+2)m.根据题意,得x(x+2)=120.整理，得x?+2x—120=0.

列表:

X567891011

X2+2X

-85-72-57-40-21023

-120

提问：(D问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？

(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？

教师点评：(1)问题1中x=6是x2—36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x—120=0的解.

(2)如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解.

为了与以前所学的一元一次方程只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元

二次方程的根.

回过头来看：x2—36=0有两个根，一个是6,另一个是一6,但一6不满足题意；同理，问题

2中的x=-12的根也不满足题意.

知识模块二一元二次方程根的判定及应用

解答下列各题：

1.已知关于x的方程x2—kx—6=0的一个根为x=3,则实数k的值为(A)

A.1B.-1C.2D.-2

2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

—4,—3,—2,—1,0,1,2,3,4.

解：将上面的这些数代入后，只有一2和一3满足该等式方程，所以x=—2或x=—3是一元

二次方程2x2+10x+12=0的两根.

典例讲解：若x=l是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=l(aW0)的一个根，求代数式2023(a

+b+c)的值.

分析：如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程，一定能使左右两边相等，这一点同学们

要深刻理解.

解:将x=l代入得a+b+c=l,故2023(a+b+c)=2023.

对应练习：

1.若x=l是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，则a+b+c=Q；若x=—1是一元二次

方程ax2+bx+c=0的解，则a~b+c=0.

2.若x=-1是一元二次方程ax?+bx—2=0的根，则a—b=2.

3.如果x=l是方程ax2+bx+3=0的一个根，求(a—by+4ab的值.

解：由已知，得a+b=—3,原式=(a+b)2=(—3)2=9

三、交流展.示生成新知

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小

组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生

成新知”.

知识模块一探索一元二次方程的近似解

知识模块二一元二次方程根的判定及应用

8、检测反债达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1.收获：______________________________________________________

2.存在困惑：_________________________________________________

2.2用配方法求解一元二次方程

第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

【学习目标】

1.会用开平方法解形如(x+m)2=n(nN0)的方程.

2.理解一元二次方程的解法——配方法.

3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

【学习重点】

会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

【学习难点】

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤.

一、情景导入生成问题

1.如果一个数的平方等于4,则这个数是母.

2.已知X2=9,则x=±3.

3.填上适当的数，使下列等式成立.

(1)X2+12X+36=(X+6)2；X2—6x+9=(x—3)2.

二、自学互研生成能力

知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法

先阅读教材尸36“议一议”的内容.然后完成下列问题：

1.一元二次方程x2=5的解是Xl=X2=一、氏

2.•-元二次方程2x2+3=5的解是xi=l,X2=—1.

3.一元二次方程X2+2X+1=5,左边配方后得(x+港=5,此方程两边开平方，得x+l=±\氏

方程的两个根为Xl=-]+小，X2=_I-

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程X2—2X—3=0为例)

1.移项：将常数项移到右边，得：x2-2x=3；

2.配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：X?—2X+/=3+12,再将左边化为完

全平方形式，得：(x一方=4；

3.开平方：当方程右边为正数时，两边开平方,得：x-l=±2(注意：当方程右边为负数时，

则原方程无解)；

4.化为一元一次方程：将原方程化为两个一元一次方程，得：x—l=2或x—1=-2；

5.解一元一次方程，写出原方程的解：X尸3，X2=」.

归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(x+m)2=n(n20)的形式，进

而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.

知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程

解答下列各题：

1.填上适当的数，使等式成立.

(1)X2+4X+4=(X+2)2；(2)x2—10x+25=(x-5)2.

2.用配方法解方程:X2+2X-1=0.

解：①移项，得X2+2X=1；

②配方，得X2+2X+1=1+1,即(X+1)2=2；

③开平方，得x+』=A^,即x+1=也或x+L=二啦；

④所以xi=-1+、历;X2=~l~\/2.

典例讲解：解方程：x2+8x-9=0.

解：可以把常数项移到方程的右边，得：x?+8x=9.两边都加42(一次项系数8的一半的平方)，

得：即X?+8X+42=9+42,即(X+4)2=25.两边开平方，得：x+4=±5,即x+4=5,或x+4=一

5.所以xi=l,X2=-9.

对应练习：

1.解下列方程：

(1)X2-10X+25=7；(2)X2-14X=8；

(3)x2+3x=l;(4)X2+2X+2=8X+4.

2.用配方法解方程x2—2x—1=0时，配方后得的方程为(D)

A.(x+l)2=0B.(x-l)2=0C.(x+l)2=2D.(x-l)2=2

3.方程(x—2)2=9的解是(A)

A.xi=5,X2=-1B.xi=­5,X2=1

C.xi=ll,X2=_7D.xi=—11,X2=7

三、交流展示生成新知

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小

组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生

成新知”.

知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法

知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程

田、检测反债达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1.收获：_______________________________________

2.存在困惑：___________________________________

第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

【学习目标】

1.理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程.

2.通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.

3.学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的

兴趣.

【学习重点】

用配方法解一般一元二次方程.

【学习难点】

用配方法解一元二次方程的一般步骤.

一、情景寻入生成问题

1.用配方法解一元二次方程X2—3X=5,应把方程两边同时(B)

A.加上搭B.加上.C.减去|D.减去日

2.解方程（x—3）2=8,得方程的根是（D）

A.x=3+2吸B.x=3-2啦C.x=-3±2啦D.x=3±2啦

3.方程x2—3x—4=0的两个根是xi=4,X2=-1.

二、自学互研生成能力

知识模块一探索用配方法解一般一元二次方程的方法

先阅读教材尸38例2,然后完成下面的填空：

用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是：（以解方程2x2—6x+1=0为例）

①系数化1：把二次项系数化为1,得X2—3X+,=0；②移项：将常数项移到右边，得X2—3X

--------k--

2

=-1；③配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方,得：x-3x+（iy=-1+=.再将左边化

为完全平方形式，得：（2L二④开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x一±=±乎

（注意：当方程右边为负数时，则原方程无解）；⑤解一次方程：得X=,士乎，.•.Xl=,+乎，X2=|

_亚

—2,

用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么？

师生共同归纳结论：（1）把二次项系数化为1,方程的两边同时除以二次项系数；（2）移项，使

方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；（3）配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，

把方程化为a+11）2=1＜的形式；（4）用直接开平方法解变形后的方程.

知识模块二应用配方法解一般一元二次方程

解答下列各题：

3

1.用配方法解方程3x2—9X—尹0,先把方程化为x2+bx+c=0的形式，则下列变形正确的

是（D）

33

A.X2—9x-2=0B.X2—3x-2=0

,1,1

C.x2—9x—2=0D.x2—3x—2=0

2.方程2x2—4x—6=0的两个根是xi=3,