高中数学导数专项练习12讲

第1讲：导数与单调性

一.知识梳理

二.典例分析

1.利用导数求单调性(不含参数)

例1.求下列函数的单调区间.

(1)f(x)=xi-3x(2)/(x)=lnx-x

(3)f(x)=xlnx(4)f(x)=—

X

练习1,求下列函数的单调区间.

(1)/(》)=士靖(2)/(为=二

x-2x-2

X+]X

(3)/(x)=lnx——-(4)/(%)=—

x-1e

2.利用导数求单调性(含参数)

例2.(1)讨论函数/(幻=2/-af+b的单调性;

(2)讨论函数/0)=以2_。一1nx的单调性；

(3)讨论函数=27nx的单调性.

练习2.讨论下列函数的单调性.

3

(1)已知函数/1(X)=O？-3X2+1一一，讨论函数/Xx)的单调性；

a

(2)已知函数/'(x)=L—x+alnx,讨论函数/(x)的单调性；

X

(3)已知函数/(x)=ae2'+(a—2)/-x,讨论函数，(x)的单调性.

3.已知单调性求参数的值.

例3.已知函数〃x)=x2+q,awR,若函数f(x)在xe[2,+8)上是单调递增的，求。的

X

取值范围.

练习3.

(1)若函数/(x)=Ax-Inx在区间(1,+8)上单调递增，求实数2的取值范围；

(2)若函数/(x)=x—!sin2x+asinx在R上单调递增，求实数。的取值范围;

(3)若函数/*)=2尤2+111*一〃》在定义域上单调递增，求实数a的取值范围.

4.导函数图象与原函数图象的关系

例4.已知函数f(x)的导函数/'(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是

5•利用单调性证明不等式(一)

例5.证明下列不等式

(1)证明：当x>0,x>ln(x+l)；

(r-l)2

(2)若/(x)=In工一一^——,证明：当x>l,/(x)<x-1.

练习4.(1)证明：当x>l,2Vx>3--；

x

(2)证明：当x>0,x>sinx.

6.利用单调性求解不等式

例6.(1)定义在R上的函数y=f(x),xwR满足/(1)=2,且对任意xGR都有/'(x)>3,

求不等式/(x)>3x-l的解集；

(2)已知函数y=/(x),xwR满足/⑴=1,且/(x)的导函数满足f(x)<g,则求解不

X2

等式/(x)<：+；的解集.

三.课后练习

1.函数/（x）=lnx-零匚的单调递增区间为（）

A.°4B.。幻■，筌D.

2.若函数/（x）=o?-21nx在（1,2）上单调递增，则。的取值范围为()

1212

A.—,4-ooB.—,+00—,+ooD.一,+8

123123

3.若函数/。）=依"一］/在区间（0,+8）单调递增，则实数攵的取值范围是（）

l、

A.(一,+<x>)B.(0,+co)C・r[―,+°0)D.fO,+oo)

e

4.已知函数=-e"+x-sinx（其中e为自然对数的底数）,则不等式

元+3）的解集为（)

A.(-1,3)B.(-3,1)

C.(-0o,-3)U(l,+oo)D.(-oo,-l)(J(3,+oo)

5.设函数/（x）在定义域内可导，y=/（x）的图像如图所示，则导函

数y=/'（x）的图像可能为（）

D.

x\Z0\xzx

7.函数/(x)的定义域是R,/(-I)=2019,对任意的xeR,都有尸(x)>3月成立,

则不等式〃x)<Y+2()2()的解集为()

A.B.(-11)C.(-1,+co)D.(-co,l)

8.已知函数/(x)的定义域为R,且"2)=6,对任意xeR,/'(x)>2,则

/(x)>2x+2的解集为()

A.(-00,-2)B.(2,+00)C.(-2,2)D.(-oo,+oo)

ax,x<\

9.已知实数a>0,awl,函数/(x)=4，4在R上单调递增，则实数。

x+—+Inx,x>1

的取值范围是

A.l<a<2B.a<5C.2<a<5D.3<a<5

11.已知函数/(x)=x+@+(a—l)lnx,其中实数a<0.

(1)若a=—2,求曲线y=〃x)在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间.

12.已知函数/(x)=/彳2-2alnx+(a-2)x,asR.

(1)当。=1时，求函数/(x)图象在点(1,/⑴)处的切线方程;

(2)当。<0时，讨论函数的单调性；

第2讲.抽象不等式问题

典例分析.若“X)是定义在R上的偶函数，且例(2)=0,当x〉0时，r(x)+/(x)>0

恒成立，则不等式/(x)>0的解集是()

A.(-oo,—2)B.(2,+co)C.(-2,2)D.(-oo,—2)U(2,+00)

练习1.定义在R上的奇函数"x)满足八-1)=0,且当x>0时，大x)>4'(X)，则下列关

系式中成立的是()

A.4/(1)>/(2)B.4/(1)</(2)

D./(1)/(2)>0

c.>4/(2)

练习2.已知定义在(0,5上的函数〃x)的导函数为/'(x),且对于任意的xe[()T

都有了'(x)cosx</(x)sinx,则()

A.四部佃B.何总卜研会)

C.I你可图>何闺〈佃

练习3.设函数/'(X)是偶函数/(x)(xwR)的导函数，当XG(0,”)时，f'M>x,若

/(2-a)-/(a)N2-2a,则实数a的取值范围为()

A.(-oo,llB.(-00,2]C.[l,+oo)D.[2,+oo)

练习4.“X)是定义在R上的可导函数，且满足矿(X)+〃X)WO,对任意实数。，b,

若则必有()

A.af{a)<bf(b)B.bf(h)>f(a)C.bf(a)>af(b)D.af{a}>bf(b)

练习5.对于R上可导的任意函数/（x）,若满足（x-l）/'（x）NO则必有（）

A./（0）+/（2）＜2/（1）B./（0）+/（2）＜2/（1）

C./（0）+/（2）＞2/（1）D./（0）+/（2）＞2/（1）

练习6.定义在R上的函数Ax)满足：/U)+/'U)>1,/(0)=4,则不等式

e"(x)>e'+3的解集为()

A.(0,+8)B.(一8,o)u(3,+8)

C.(―8,0)U(0,+8)D.(3,+8)

参考答案

2

11解：(l)：/(x)=x------31nx(x>0),=,

尸(x)=i+±：(x>o),r(i)=o,

・•.y=/(x)在(1,一1)处切线方程为y=-l.

(2)•・・/•，⑴=>二+心」2=(xfg+a),

v7x2XX2X1

令r(x)=0,即x2+(a_i)x—a=0,解得彳=］或工=_〃.

①当时(即一1<。<0时)，

由/'(x)>0得0cx<—“或x>1,由/'(x)<0得一a<x<1,

・・・/(x)的增区间为(0,-。)，。,+8),减区间为(一。,1),

②当一a>l(即a<T时)，

由/'(x)>()得()<x<l或%>一“，由/'(x)<()得1cx<-a,

•••/（丹增区间为（0,1）,（』+＜»）,减区间为（1,一。）.

③当-a=l,即a=T时，/，（同=二1型出=色”20在（0,+8）上恒成立,

/（力的增区间为（0,田）,无减区间.

综上，一1<4<0时，/（X）增区间为（0,-。），（1,+8）,减区间为（一。,1）,

4<一1时，/（X）增区间为（0,1）,（-。,心），减区间为（1,一4，

a=-l时，/（x）增区间为（0,+。。），无减区间.（8分）

12：（1）当“=1时，/（*）=（"—2）。+1）,/'⑴=一2,

X

所以所求的切线方程为y-/（l）=-2（x-D,即4x+2y-3=。.

（2）2）,

①当—a=2,即。=一2时，/'3=殳二至20,/（》）在（0,+8）上单调递增.

x

②当0v—av2,即一2<a<0时，

因为0<x<-a或x>2时，/'（X）>0；

当一a<x<2时，/（x）<0,

fM在（0,-«）和（2,+oo）上单调递增，在（-«,2）上单调递减；

③当一a>2,即a<—2时，

因为0<x<2或》>一。时，/（x）>0；

当2<x<—a时，/（x）<0,

/*）在（0,2）,（—a,+8）上单调递增，在（2,一a）上单调递减.

第3讲.双极值点问题探究

典例分析

例1.已知函数/(x)=1一x+Qlnx.

X

(1)讨论/(元)的单调性；

(2)若/(光)存在两个极值点石，为，证明：〃—2.

玉-x2

二.自主练习

1.已知函数f(x)=x-ax2-Inx(a>0).

(1)讨论函数/(幻的单调性；

(2)若函数/(无)有两个极值点证明：/(x,)+/(x2)>3-21n2.

2.已知函数/(x)=xlnx—万〃犹2eR).

(1)若函数/(x)在(0,+8)是减函数，求实数，〃的取值范围;

(2)若函数/.(X)在(0,+8)上存在两个极值点，且为<%2，证明：lnX|+lnx2>2.

3.已知R上的函数/(x)=ae2*-2e'+x,aeR存在两个极值点为内,当,若不等式

X|

/(x,)+/(x2)<e+e*+f恒成立，求实数f的取值范围.

4.已知函数/(x)=21nx+f—2ax(a>0).

(1)讨论函数/(x)的单调区间；

(2)若f(x)存在两个极值点*,%，证明：)一""2)>-a.

Xj-x2

5.已知函数/(x)=ax?+(2a-l)x+ln(x+l)有两个极值点X1,x2.

(1)求。的取值范围；

(2)证明：/(%,)+/(^)<2102-1.

6.已知函数/(x)=2x-alnx-,有两个不同的极值点*、x2(x)>x>).

(1)求实数。的取值范围；

(2)若a>3,求证：匹〉1,且二'"八2/<——2ln2

xx+x23

4.解：（1）函数/（x）的定义域为（0,+8）,/（©=2卜二"+1）

X

令Y一分+1=0,则A=a2-4.

①当0<4,2时，A„0,f（x）..O恒成立，函数的/W单调递增区间为（0,+8）.

a+>Ja2-4

②当。>2时，/>0,方程f一收+i=（）有两根，

122

当xe（O,玉）时，f\x）>0；当马）时，f'（x）<0；当％€（无2，长°），J"（x）>0.

a+Ja2-4

-----2------收，

（2）证明：由（1）知，当a>2时，f（x）存在两个极值点』，々，

函数f（x）在（%,工2）上单调递减，则%+%2=。，%々=1，

不妨设为<々，贝！1々>1.

/(%,)—/(x2)2(in%-Inw)+x；—x；-2。(王一々)

由于

西一士西一人

2（lnX1—足工2）+（王一九2）（玉+々-2a）

玉~X2

_2(lnX]-lnx2)°一-41nx2〃

X\~九2x{-x2

且玉<%2，々>1，所以/（~）~~"%）+a=Tin%>0,

X]-x2Xj-x2

则/⑴一㈤….

%一％2

12a(x+—(x+1)+1

5.解：(1);/'(x)=2or+2a-l+

x+1x+1

，y=2a『一r+|有两个不等正根玉+1,x2+1,

A=1—8。>0

r>o

14。

解得。<a<J.

O

(2)由已知得X]+1+%2+1=5—9(X]+1)(%+1)=5—，再入2=1，

/(司)+/(工2)=。(片+/)+(2。-1)&+%2)+ln[a+1)(/+1)],

：一2卜ln(2a),

iYi1

2-2+1-----4。+2—ln(2a),

2a--J22aa

-----2a-ln(2a)+l,

4。

令2a=r,贝!J0<，<,，->4,g(7)=--!--z-lnr+1,

4t2t

，/、1.11(1小I〉。,

.•.g(。是增函数，ga)<g(；)=-2—1+21n2+l=21n2—1,

即/(4)+/(%2)<21n2-1.

6.解:⑴•.•“力=2%-。111%—工，定义域为(0,+。)，r(x)=2--+4-2x“一cix+1

XXX

由题意可知，方程2/一办+1=（）在（0,+力）上有两个不等的实根玉、x2

△=—8>0

则，解得。>2夜.

X,+x=->0

22

因此，实数a的取值范围是（2及,+8卜

（2）由题意可知，当、*2为方程2/一依+1=0的两个实根,

ct+Jq--8

由于%>々，则王

4

ci+\ci~—8

当。〉3时，62一8>1,..Xi->1，

14

a

x+x=

t22

由（1）可知，

中2=5

11

-----1-----

x

%%_2(-一&)2jni।-"

x}+x2x}+x2X1+x2x2XyX2(%j+x2)

4五-1

=4(xL-^)_2inA=^J_21nA,

X+%*2A+1x?

X2

1.,五=2x：>2,令，=土>2,设入⑺二丝_ll-21nr,t>2.

尤2ZV't+1

"")=「看_^=第#<0，所以，函数^=〃0在(2，+8)上单调递减，

所以，A(r)</?(2)=--21n2,因此，^^<--21n2.

''''3玉+/3

练习9【详解】

计算导数得到/'(X)=2依-2+g=2次丁+1,结合%>o构造新函数得到

2

〃(x)=2ax-2x+l要使得/(x)存在两个不同的极值点x„x2,则要求/?(%)=0有两个不

211

同的根，且X]+x)=—>0,%X2=—>。，则A=4—8。>0,解得。而

2a2a2

22

/(^)+/(x2)=or,-2x]+lnX]+ox2-2X2+ln^2=〃(玉+x2Y-2ax]x2-2(^+x2)-lnx)x2

=---ln2cz-l,构造新函数g(a)=—,—ln2a—l,计算导数得到g<“)=工，结合

aa矿

前面提到的a的范围可知g(a)在(0,9单调递增，故g(a)<g(；)=-3,因而力2―3,

表示为区间则是[-3,+8),故选A。

第4讲：导数与最值

基础知识：

典例分析

一.求函数的最值

例1.求函数/(x)=/—3——9x+6在区间[-4,4]最大值与最小值.

例2.已知函数/(%)=炉一0?一"一1,其中q/cR.设g(x)是函数/(x)的导函数，求

函数g(x)在区间［0,1］上的最小值.

练习1.已知函数/(x)=d—3x.求/(x)在区间［0,间(〃2>0)上的最大值和最小值;

二.已知函数的最值求参数

,a/A

例3.设］<a<l,函数,f(x)=+人,(_］<x<i)的最大值为1,最小值为一三,

求常数。力.

练习2.己知函数/(%)=21

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)是否存在。力，使得/(x)在区间［0,1］的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出

的所有值；若不存在，说明理由.

练习3.已知函数/(x)=x-l-alnx.若/(x)，0,求a的值.

练习4.已知函数/(x)=以2-ar-xlnx,且/(x)，0.

(1)求a；

(2)证明：/(x)存在唯一的极大值点/，且"2</(4)<2-2.

三.恒成立问题

1.不含参恒成立

例4.证明常用不等式

(1)ex>x+\(2)ln(x+l)<x

2.含参恒成立之分离参数

例5.已知函数/(X)=/+℃2+/?、+，在％=一§与》=1处都取得极值.

(1)求。力的值及函数/(x)的单调区间；

(2)若对Vxe[-1,2],不等式/(冷<。2恒成立，求c的取值范围.

例6.已知函数/(x)=x+xlnx,若ZeZ,且-％-1)</(幻对任意的x>l恒成立，则

k的最大值为.

练习5.已知函数〃x)=G；+lnx+L若对任意的x>0,不等式/(x)〈，恒成立，求实

数〃的取值范围.

3.已知参数范围放缩参数消参

例7.已知函数/(x)=e*-ln(x+/n).

(1)设x=0是/(x)的极值点，求〃?，并讨论了(x)的单调性;

(2)当〃/42时，证明/(无)>0.

练习6.已知函数/(x)=ae'-lnx-l.

(1)设x=2是“X)的极值点，求。的值;

(2)证明；当时，/(x)>0.

e

4.值域法

例8.设函数/。)=以3-3%+1,。>1,若对于任意的xe［—1,1］都有/(x)N0成立，则实数

a的值为.

练习7.已知函数/(x)=e'(x-a-l)(aeR).

(1)讨论在区间口，2］上的单调性;

（2）若/（尤）2幺恒成立，求实数。的最大值.（e为自然对数的底）

第5讲端点效应及应用

例9.（2020成都二诊）已知函数/（x）=x2+2x-ndn（x+l）,其中“eR.

（1）若〃?>0,求函数/（力的单调区间；

（2）设g（x）=/（x）+J.若g（x）>匕在（0,+。）上恒成立，求实数，”的最大值.

练习8,（2016四川卷）设函数一。一1n元,。£R.

（1）讨论了（幻的单调性;

(2)确定。的值，使得/'(x)>——在区间(1,+oo)内恒成立.

X

第六讲函数同构及应用

若尸(幻20能够变形成/[g(x)]N/[〃(x)],然后利用/(幻的单调性，如递增，转化为

g(x)>h(x),即为同构变换.

XX

'nx

例如：xe'=*叫£_=靖，：三=e-\x+]nx=Inxe\x-\nx=ln—....

xexx

例题：对下列不等式或等式进行同构变换

A2Zv

(1)log2x-A:-2>0(2)e--lnVx>0

A

丝1

(2)x2lnx-mex>0(4)a[e^+1)>2(x+—)Inx

x

(5)6fln(x-l)+2(x-l)>ax+2ex(6)x+Inx+v>(^>1)

(7)e~x—2x—lnx=0(8)x2ex+Inx=0

练习题

1.若对Vx>0,恒有a(*+l)>2(x+-)lnx,则实数a的最小值为.

X

2.已知函数/(x)=e*-aln(ax-a)+a(a>0),若关于x的不等式/(x)>。恒成立，则实

数。的取值范围为.

3.若Vx>0,不等式2ae2,—Inx+lnaNO恒成立，则实数a的最小值为•

练习.已知函数/(x)=mln(x+l)—3x—3,若不等式/1(*)>如一3/在(0,+00)上恒成立,

则实数，”的取值范围为.

4.已知函数=一lnx—1,证明：当时，/(x)>0.

5.已知/是函数/(x)=+in2的零点，则+In与=.

6.若函数/(x)=lnx-x+l,g(x)=Qxer-4x,Q>0,证明:g(x)-2f(x)>2(ln-In2).

6.已知函数/(x)=x*T-lnx-ax,若Vx>O,/(x)之0,则实数。的最小值为.

7.已知函数/(x)=x(e?'，若/(x)21+x+lnx,求实数。的取值范围.

8,已知/(%)=xex-ar2,^(x)=lnx+x-x2+1--,6?>0,若h(x)=f(x)-ag(x)>0

a9

求实数”的取值范围.

9.已知f(x)=J+a(lnx-x),求证:0va</时，f(x)+e2>0.

x

10.(1)函数/。)=111彳+8-彳6*+1的最大值为.

(2)函数/(x)=e*-色山的最小值为.

x

(3)函数/(x)=(x+lnx+l)"*-x的最大值为.

x~px-21nx

(4)函数/(x)=的最小值为.

x+\

总练习题

1.已知函数/(x)=a/-lnx-l,若/(x)N0恒成立，则实数。的取值范围().

A.[-,+oo)B.[l,+oo)C.[2,+oo)D.[e,+℃)

e

2.已知函数/(九)=?7(a>0),若函数y=/(x)的图象恒在x轴的上方，则实数。的

取值范围为()

A.[°'jd&D.(O,e)

3.若关于x的不等式2/+。一111%<()有解，则实数。的取值范围是()

A.-ln2—g)B.18,In2—；]

C.1—ln2—1,0)D.ln2——,4-oo^j

i3

4.已知函数/(x)=gX3-5工2-41+1.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当》目—2,5］时，求函数/(x)的最大值和最小值.

5.已知函数/(x)=xsinx+acosx+x,aeR.

(1)当。=一1时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;

TT

(2)当a=2时，求/(X)在区间［0,二］上的最大值和最小值.

2

6.已知函数/(x)=ox-l-/nr,aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调区间；

(2)若函数"X)在x=l处取得极值，对Vx«O,M),陵一2恒成立，求实数

b的取值范围.

7.已知函数/(x)=lnx+0—l,aeR.

X

(1)若。=2,求函数的最小值；

(2)若关于x的不等式在［1,”)上恒成立，求”的取值范围.

8.已知函数/(x)=\nx-ax+a,g(x)=xex-2x.

(1)求函数y=/(x)的单调区间；

(2)当。=1时,证明：/(x)〈g(x)在(0,+“)上恒成立.

第7讲：恒成立问题7法

最值分析法.

例1.已知函数/(x)=lnx+x—I,证明：e-x+xf(x)>0.

例2.已知函数，(x)=(x+l)lnx—a(x-l),若当XG(l,+oo)时，f(x)>0,求。的取值范

围.

方法二：分离参数

例3.(2020全国一卷)已知函数/(X)=e*+OV2—x.

(1)当。=1时，讨论的单调性；

(2)当xNO时，/(x)>-x3+l,求。的取值范围.

例4.已知函数/(X)=ae-ln.x+ln«.

(1)当”=e时，求曲线y寸(x)在点(1,/(D)处的切线与两坐标轴围成的三角形的

面积；

(2)若f(x)>1,求a的取值范围.

方法三：端点效应

例5.(2020成都二诊)已知函数/(x)=%2+2x-〃?ln(x+l),其中meR.

(1)若〃2>0,求函数“X)的单调区间；

(2)设g(x)=/(x)+J.若g(x)>+在(0,+8)上恒成立，求实数加的最大值.

练习1.(2016四川卷)设函数=1n

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)确定。的值，使得/'(X)〉」一e「x在区间(l,+oo)内恒成立.

X

练习2.(2019成都三诊)设函数/(幻=工仙工-2。工2+3%-。,。£2.

(1)当。=1时，判断X=1是否为函数/(X)的极值点，并说明理由;

(2)当x>0时，不等式/(x)K0恒成立，求。的最小值.

方法四：放缩

1.不等式放缩

例6.已知函数/(%)=瞪一%(aeR,e为自然对数的底数)，g(x)=Inx+〃ix+l.

(1)若/(x)有两个零点，求实数。的取值范围；

(2)当〃=1时，*[f(x)+x]2g(尤)对任意的xe(O,4w)恒成立，求实数，”的取值范围.

练习1.已知函数,f(x)=xe"-ax-aln尤.

(1)当Q=e时，求函数/(%)的单调区间;

(2)若/(幻之1,求。的取值范围.

练习2.已知函数=x(/x一幻.若f(x)21+x+lnx,求。的取值范围.

练习3.已知函数/(x)=xe'"(a>0).

(1)求函数f(x)的极值；

(2)当”=1时，若/(x)-INInx+以恒成立,求实数〃的取值范围.

练习4.已知函数/(x)=fx+lnx(teR).

(1)当r=-l时，证明：/(%)<-1;

(2)若对于定义域内任意》，恒成立，求/的范围.

2.已知参数范围进行局部放缩(加必要性探路)

例6：已知函数/(无)=e*-ln(x+m).

(1)设x=0是/(x)的极值点，求〃?，并讨论了(幻的单调性;

(2)当〃zW2时，证明/(x)>0.

练习.已知函数/(x)=ae"-lnx-l.

(1)设x=2是/(x)的极值点，求。的值;

(2)证明；当aN1时，/W>0.

方法五：凸凹反转

例7.已知函数1.

(1)讨论函数/(X)的单调性；

(2)当a25时，求证：/(x)>Inx.

练习.(2020成都三诊理)已知函数/(幻=瓯'-"'3,meR).

(1)当a=m=l时，求g(x)=/(x)—Inx的单调区间；

(2)当a=4,/〃=2时，证明：f(x)>x(l+Inx).

be

练习：设函数f(x)=〃evlnx+——,曲线y=/(x)在点(1]⑴)处的切线为

x

y=&%-1)+2.

(1)求。小

(2)证明:/(x)>1.

第8讲导数与零点

导言

导数与零点专题是高考考察的重点内容，下表列举了从16年起全国卷对这个点的考

察:

2020年2019年2018年2017年2016年

20题：证明21题：已知零21题：已知零

全国一卷零点个数点个数求参数点个数求参

数，零点偏移

20题：证明零21题：已知零

全国二卷点个数，公切点个数求参数

线.

21题：零点分

全国三卷布

如上表所示，导数与零点是高考导数大题部分的重要命题方向之一，结合近五年全国

主要地方的模拟考试题来看，该专题大致可以分为四个具体的命题方向：

1.判断或证明零点个数.此题型以2019年全国一卷20题为典型例子，是一类较新的

题型.重点考察学生利用函数单调性与值域，零点存在性定理准确的找到零点的存在性，

突出考察学生的逻辑推理与数学运算素养，具有较高的综合性.

2.已知零点个数求参数范围.此题型在16-18年连续三年均有考察，处理此类问题有

两种常见的方法：含参数讨论及分离参数，重点考察学生利用函数单调性分析值域，数形

结合解决问题.此题型还可衍生到对过点求切线个数，公切线个数的考察上.

3.讨论或者证明零点所满足的分布特征.此题型以2020年全国三卷21题为典型例子，

需要在找到零点的基础上进一步分析出零点所满足的分布，对学生的逻辑推理，严谨表达

均有较高的要求.

4.零点偏移或者双零点，极值点问题.主要考察变量替换与构造函数解决问题的基本方

法，此类问题处理方法较多，有偏移法处理，变量代换，对数均值不等式等均可完成，在

各地的模拟题中属于常见的类型.

下面，将通过一些高考题目和典型的模拟题具体展开这四类题型的研究和讨论，找到

破解零点问题的常见思路与方法，提升逻辑推理，数学运算，直观想象的核心素养，让学

生在研究问题的过程中获得成就感.

题型1:判断或证明零点个数

1.已知函数/(x)=sin九一ln(l+x),/'(x)为f(x)的导数.证明:

TT

(1)/'(X)在区间(-1,万)存在唯一极大值点；

(2)/W有且仅有2个零点.

V--L1

2.已知函数/(x)=lnx--------.

X-1

(1)讨论/(X)的单调性，并证明/(X)有且仅有两个零点；

(2)设X。是/(x)的一个零点，证明：曲线y=lnx在点4x0,lnxo)处的切线也是曲线

y="的切线.

3.已知函数/(x)=〃汀nx,g(x)=---(x>0).

(1)讨论函数/x)=/(x)-g(x)在(0,+力)上的单调性；

(2)判断当m=e时，^=/(力与y=<式力的图象公切线的条数，并说明理由.

4.已知函数〃x)=lnx-x+2sinx,7'(X)为.f(x)的导函数.

⑴求证：/'(x)在(0，万)上存在唯一零点；

(2)求证：/(x)有且仅有两个不同的零点.

题型2：已知零点个数求参数范围

5.已知函数/(x)=e*-/.

⑴若丁=1,证明：当x»0时，/(x)>l；

(2)若/(x)在(0,例)只有一个零点，求。的值.

6.已知函数/(x)=ae2*+(a-2)e*-x.

(1)讨论的单调性；

(2)若/(幻有两个零点，求。的取值范围.

11

7.已知函数/(x)=xsinx+cosx+—or4*,xe[-/r,7V\

(1)当。=0时，求/(x)的单调区间；

(2)当。＞0,讨论的零点个数.

8.已知函数〃x)=(x-l)e',g(x)=lnx,其中e是自然对数的底数.

(1)求曲线〉=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)设函数〃(x)="(x)-g(x),若函数〃(x)恰好有2个零点,求实数。的取值范围.(取

In3.5=1.25,In4=1.40)

题型3：零点的分布特征

9.设函数/*)=f+版+。，曲线y=/(x)在点(；，F(1))处的切线与y轴垂直.

(1)求儿

(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于L

10.已知函数/(力=/一；/—近一i(ZeR).

(1)当左>1时，讨论/(%)极值点的个数；

(2)若6b分别为/(x)的最大零点和最小零点，当a—人28时，证明：k>2.

11.已知函数f(x)=ex.

(1)若曲线y=/(x)在点(/，/(%)))处的切线为y=求左一b的最小值；

(2)当常数机e(2,+8)时，若函数8(幻=。-1)/*)—如2+2在［0,+00)上有两个零点

4

X1,%,,%1<x2,证明：%1+In—<x2<m>

x(x-l)(x-2)+l,x<2

12.已知函数/(x)=〈[g-2)+22叱①和函数g(x)­)+】•

(1)求函数/(x)的单调区间;

⑵若a=23Ae(O,l),且函数y=/(x)-g(x)有三个零点西、々、七，求

/(%)+)+/(不)的取值范围.

第9讲零点(极值点)偏移，双零点(极值点)问题

13.已知函数f(x)=lnx-ax,a€R,若/(司)=/(*2)=0，证明：xtx2>e~.

14.设函数/'(x)=-a2inx+x2-℃(ae/?).

(1)试讨论函数/(x)的单调性；

(2)如果a>()且关于x的方程/。)=，”有两解*,七区<W)，证明司+々>2。.

15.已知/(x)=(炉-a*1nx+狈+2,。eH有两个不同的极值点<x2.

(1)求实数。的取值范围：

2

(2)求证：xtx2<a.

16.已知函数/(x)=(x-2)e'+a(x-1尸有两个零点.

(1)求a的取值范围；

(2)设是/(x)的两个零点，证明：xt+x2<2.

练习题

一,x<0

1.已知函数/*）=〈:,若函数F（x）=/（x）-履在R上有3个零点，则实数人的

Inx八

——,x>0

x

取值范围为（）

A.(0,—)B.(0,—)C.(—00,—)D.(―,—)

e2e2e2ee

2.已知方程0侬=/在（0,8］上有两个不等的实数根，则实数根的取值范围为（）

F1ln213ln22)1〃22)

C.D.

~T'~e)

3.已知函数/（x）=xlnx-ae'（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数。的取值范

围是（）

A.（0,-）B.（0,e）C.（-00,—）D.（一,e）

eee

4.若二次函数/。）=炉+1的图象与曲线0：煎的=。炉+13>0）存在公共切线，则实数

。的取值范围为

„4848

A.(0,—JB.(0,—JC.[―,+°°）D.［―,+8）

ee~e~

5.已知函数

（1）若4>1,求函数/（X）的极值；

（2）当0<a<l时，判断函数/（力在区间［0,2］上零点的个数.

6.已知函数/(x)=xsinx+cosx,g(x)=x2+4.

(1)讨论函数/*)在［-肛加上单调性；

(2)设〃(x)=g(x)-4/(x),试证明〃(x)在R上有且仅有三个零点.

7.已知函数/(x)=ax—ln(x+l),/(x)NO.

(1)求实数。的值；

(2)若函数g(x)=/(x)-sinx,求证：g(无)有且仅有两个零点.(6万一'*1.77)

8.设函数/(x)=lnx+—,meR.

(1)当加=e(e为自然对数的底数)时，求/(x)的极小值;

(2)讨论函数g(x)=/'(X)零点的个数.

9.设函数/(》)=3/+以一(a+i)]nx.

(1)讨论函数/(x)的单调性：

(2)若函数/(x)有两个零点，求实数。的取值范围.

io.已知函数/(x)=d-3x.

(1)求/(X)在区间［0,7矶加>())上的最大值和最小值；

(2)在曲线>=/上是否存在点P,使得过点尸可作三条直线与曲线)，=/(力相切？若

存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

11.已知函数/(幻=(无—1修一；以3+；%2,xeR.

(1)a=0时，求(1J⑴)处的切线方程；

(2)x〉0时，f(x)是否存在两个极值点，若存在，求实数。的最小整数解，若不存在,

说明理由.

12.已知函数/(x)=(l—Z)x—左lnx+5-

(1)讨论函数/(幻的单调性；

(2)设函数/(x)的导函数为g(x),若函数/(x)恰有2个零点％＜々，证明:

M+2%,

g(-\)＞0・

13.已知函数/(x)=aeT+cosx(aeR).

(1)若函数/(x)在［-］,()］上是单调函数，求实数a的取值范围;

/、/\41

②当a=—l时，玉,为函数/(x)在(0,1)上的零点，求证：万一%＜泊(丁_cos.%)

14.已知函数f(x)-x\nx--mx^-x+l,meR.

(1)若/(x)有两个极值点，求实数机的取值范围；

(2)若函数g(x)=xlnx-如2-elnx+e处有且只有三个不同的零点，分别记为

玉,々,工3，且X的最大值为求七工的最大值.

15.已知函数f(x)=axlnx-x+^,a0.

(1)讨论函数/(光)的单调性；

(2)设。〉0,函数/(x)恰有2个零点%，证明：7^+x2>lax]x2.

x

16.已知函数f(x')=—+ax+2]nx,aeH在x=2处取得极值.

(1)求实数。的值及函数/(x)的单调区间；

(2)方程/(x)=〃7有三个实根内,工2，刍(玉<X2<彳3)，求证：X3-X2<2.

17.设函数/(x)=e'(x-2)-；丘3+g依2.

(1)若左=1,求/(x)的单调区间；

⑵若/(X)存在三个极值点%,工2，七，且N<w(刍，求k的取值范围，并证

明：%]+x3>2X2.

18.已知函数/(x)=x2-0nx,且

(1)求a的值；

(2)在函数/(x)的图象上任意取定两点&玉,/*,)),