高中数学-函数的周期性练习题含答案

高中数学函数的周期性练习题含答案

学校：班级：姓名:考号：

1.定义在R上的偶函数/(久)满足f(l一%)=f(l+x),/(0)=2,则.(10)=()

A.-4B.-2C.2D.4

2.若/(%)是R上周期为3的偶函数，且当0<%工|时，/(x)=log4x,则/(一£)=()

A.-2B.2C.—D.—

22

3.已知函数/(%)满足/(I+%)=f(l-％),且/(-%)=/(%),当时，/(%)=

2%—1,则f(2021)的值为()

A.2B.lC.OD.-1

4.已知函数f(%)满足f(l+%)+f(l-%)=0,且/(-%)=/(%),当14%工2时，

/(x)=2X-1,求f(2017)=()

A.-lB.OC.lD.2

5.定义在R上的偶函数/(%)满足f(l+%)=/(1-乃，当工€［0,1］时，/(%)=-%+1,

设函数g(x)=eT*T(-l<%<3),则/(%)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为

()

A.3B.4C.5D.6

6.己知函数y=f(%)对任意％GR都有/'(%+2)=f(一%)且f(4-x)4-/(%)=0成立，

若八0)=1,则/(2019)+/(2020)+/(2021)的值为()

A.lB.2C.OD.-2

7.定义在R上的偶函数/(%)满足/'(1一%)=f(1+工)，当％6(-1,0］时，/(%)=tany,

财偿)=()

A.-lB.-2C.OD.1

8.已知/(%)是R上的偶函数且满足f(x+3)=-/(X),若/(1)>7,/(2021)=4+3a,

则实数a的取值范围为()

A.(0,+co)B.(l,+oo)C.(—oo,0)D.(-8,1)

9.已知函数f(x)满足：对任意xER,/(-%)=-/(%),/(2-%)=/(24-%),且在区

间［0,2］上，/(x)=y4-cosx-1,m=/(V3),n=/(7),t=/(10),贝lj()

A.m<n<tB.n<m<tC.m<t<nD.n<t<m

10.定义在R上的偶函数"%)满足f(2—x)=f(2+x),且当％E［0,2］时，/(%)=

［lx+41^<2若关于％的不等式mWI<"X)的整数解有且仅有9个,则实数

m的取值范围为()

A.3，mB.F，割C.(手号叫手,等］

11.定义在R上的函数/(x)满足/(x)=f(x+5),当x6［-2,0)时，/(x)=-(%+2尸,

当*《［0,3)时，"%)=%,则/(D+/(2)+…+/(2021)=()

A.809B.811C.1011D.1013

12.设/'(X)是周期为4的奇函数，当OSxSl时，/(x)=x-(14-x),则

/'(*)=-

13.已知/(%)是定义在R上的奇函数，且对任意实数X,恒有/(x+2)=-/(x),则

/(2016)=.

14.已知函数/(x)的定义域为R,且/(x)=-f(x+2),若当［0,2)时，f(x)=3x,

则/(2019)=

15.已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x均有“X+4)=—/■(%)+2夜，若函数

/(x-2)的图象关于直线x=2对称，则“2018)=.

16.已知函数/'(x)为R上的奇函数，且f(-X)=〃2+x),当［0,1］时，/(%)=2X+

袅贝叶(101)+f(105)的值为.

17.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=/(x).当尤6［-3,3)时,/(x)=

1―0+2)2,-3'”<一1,则/⑷;_______；/(1)+/(2)+/(3)+-+/(2016)+

1%,-1<%<3/

/(2017)=.

试卷第2页，总18页

18.定义在R上的奇函数/'(%)满足/'(x+2)=f(-x),当x€|-l,O］时，/(%)=x2+2x,

则/(2021)=.

19.已知函数/(x)满足f(2-x)=/(2+X),当xS2时，/(%)=-x2+kx+2.

(1)求/"(x)的解析式；

(2)求“乃在［2,4］上的最大值.

20.已知定义在R上的奇函数/(x)有最小正周期4,且xe(0,2)时，/(x)=

(1)求/(x)在［-2,2］上的解析式；

(2)若|f(x)|>4对任意xGR恒成立，求实数4的取值范围.

21.已知函数/'(%)在R上满足/(2-x)=/(2+x),2(7-%)=f(7+x)且在闭区间［0,7］

上，只有/'(1)=/(3)=0.

试判断函数y=/'(x)的奇偶性；

试求方程/'(x)=0在闭区间［-2011,2011］上根的个数，并证明你的结论.

22.设/'(X)是定义在R上的奇函数，且对任意实数，恒有f(x+2)=—/(x).当xe

［0,2］时，/(x)=2x—x2.

求证：/(x)是周期函数；

当xe［2,4］时，求f(x)的解析式;

计算f(0)+/(I)+/(2)+…+/(2013).

23.己知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x6(0,1)时，/(%)=

2。

4X+1'

(1)证明f(x)在(0,1)上为减函数；

(2)求函数“尤)在［-1,1］上的解析式；

(3)当；I取何值时，方程f(x)=2在R上有实数解.

试卷第4页，总18页

参考答案与试题解析

高中数学函数的周期性练习题含答案

一、选择题(本题共计11小题，每题3分，共计33分)

1.

【答案】

C

【考点】

函数的求值

函数奇偶性的性质

函数的周期性

【解析】

根据题意，分析可得/(x)是周期为2的周期函数，则有"10)=/(0),即可得答案.

【解答】

解：根据题意,函数/(x)满足/(1一吟=/(l+x),

又由f(x)为偶函数，则有/■(-*)=/(X),

g|j/(x-l)=/(l-x)=/(l+x),

所以f(x)=f(2+x),

则函数/(x)是周期为2的周期函数，

故/(10)=/(0)=2.

故选C.

2.

【答案】

C

【考点】

函数的周期性

偶函数

【解析】

根据题意，由函数的奇偶性与周期性可得/(-£)=/(-§=/(》，结合函数的解析式

分析可得答案.

【解答】

解：由题意得f(x)是Rt:周期为3的偶函数，

财(一卷)=/(-》=〃)

因为当时，

0cxw|/(x)=log4x,

所以居)=

log4|=-p

所以/(_须=/

故选C.

3.

【答案】

B

【考点】

函数的周期性

函数的求值

【解析】

由已知得/'(1+x)=-f(l-x)=-/(X-1).从而得到|f(x+4)=f(x),再由当IS

xW2时，fM=2x-l,能求出f(2021)的值.

【解答】

解：丫/(I+X)=/(I-X),且/(-X)=f(x),

则f[l+(l+x)]=f[l—(1+x)],

即/(2+x)=/(-x)=f(x).

•••/'(x)是以2为周期的周期函数，

当1SXW2时，/(x)=2X-1

：./(2021)=/(2x1010+1)=/⑴=21-1=1.

故选B.

4.

【答案】

C

【考点】

函数的周期性

函数的求值

【解析】

由已知得/(I+%)=-/(1-x)=-/(x-1),从而得到f(x+4)=f(x),再由当1W

XW2时,f(x)=2x-l,能求出f(2017)的值.

【解答】

解：；/(l+x)+/(l-x)=0,且/(-*)=/(%),

•••/(l+x)=-/(l-x)=-/(x-l).

令4-1=3得/«+2)=-f(t),

/(%+4)=-/(x+2)=/(%),

/(x)以4为周期的周期函数.

1••当1WxW2时，/(%)=2工一1,

/(2017)=f(4X504+1)=/(I)=21-1=1.

故选C.

5.

【答案】

B

【考点】

函数的周期性

函数奇偶性的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：因为f(l+x)=f(l-x),

且/(x)为定义在R上的偶函数，

所以有f(l+尤)=/(I-X)=f(x-1),

即/(%+2)=/(%),

试卷第6页，总18页

函数”X)为周期为2的偶函数，且关于x=1对称.

又因为g(x)=eTxT(_i<x<3)关于x=1对称，

所以fQ)与g(x)的图象一共有四个交点，

交点的横坐标之和为2+2=4.

故选B.

6.

【答案】

A

【考点】

函数的求值

函数的周期性

【解析】

由题意，根据/'(x+2)=/(-X)以及/'(4-x)=-f(x)可推导y=7'(X)是周期为4的周

期函数，可得f(2019)=((3),f(2021)=f(l),代入=(4一%)=一/(。可计算结果,

X/C2020)=f(0)=0,代入计算即可.

【解答】

解：已知/'(x+2)=汽―x),则f(2-x)=/(X).

又f(4-x)=—f(x),可得/(4-x)+/(2-x)=0,

所以f(久+2)=-/(x),

即/(x4-4)=f[(x+2)+2]=—/(x+2)=/(%),

可得函数y=f(x)是周期为4的周期函数，

则f(2019)=f(3),/(2020)=/(0),/(2021)=/(I).

因为f(4-x)+/(x)=0,

所以/(4—1)+/(1)=0,即/(3)+/(1)=0,

可得/(2019)+/(2020)+“2021)=0+1=1.

故选4

7.

【答案】

A

【考点】

函数奇偶性的性质

函数的周期性

函数的求值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：根据题意，函数/(X)满足/(I一x)=f(l+x),则f(—x)=f(2+x),又由f(x)为

偶函数，则有f(r)=/(%),则/(x+2)=/(x),函数/(x)是周期为2的偶函数，

故Y)=f(AH)=哪x(-扑-】•

故选4.

8.

【答案】

B

【考点】

函数奇偶性的性质

函数的周期性

【解析】

【解答】

解：因为/'(x+3)=-f(x),

所以/'(x+6)=-/(x+3)=fix'),

所以/(x)是周期为6的周期函数，

所以f(2021)=f(6x337-1)=/(-I)=/(l).

因为f(l)>7,

所以f(2021)=4+3a>7,解得a>1.

故选B.

9.

【答案】

B

【考点】

函数的周期性

利用导数研究函数的单调性

奇偶性与单调性的综合

【解析】

由/(一x)=—/(x),-2-x)=/(2+x)判断出该函数的奇偶性及对称性、周期性.再

将自变量转变到同一周期内利用单调性进行比大小.

【解答】

解：；/(-x)=-/(%),

/(2-x)=/(2+x),

f(x)为奇函数，

f[2—(x+2)]=f(2+x+2),

BR/(-x)=/(%+4)=-/(x),

/(%+8)=-f{x+4)=f(x),

即/(x)的最小正周期为8,

/(7)=/(8-1)=/(-1)=-7(1),

/(10)=/(8+2)=/(2),

当XG[0,2]时，/(X)=y+COSX-1,

f'(x)=x—sinx,f"(x)=1—cosx>0,

/'(x)=x-sinx为单调递增函数，

r(x)>r(o)=o,

f(x)=?+cosx-1为单调递增函数，

即当xe[0,2]时，/(%)>/(0)=0,

-f(1)<0,

0</(1)</(73)</(2),

/./(7)</(V3)</(10),即九<mVt.

故选艮

10.

试卷第8页，总18页

【答案】

C

【考点】

函数的周期性

函数奇偶性的性质

分段函数的应用

根的存在性及根的个数判断

【解析】

本题考查函数的图象与性质及不等式与函数的结合.

【解答】

解：；/(-%)=/(%)，/(2-x)=/(2+x),/(2+x)=/(-X-2)=f(-x+2),

y(x+4)=/(%),

即/,'(x)丘是以41为二周期的函I数，丁作出函光数f(x)江的图象尸如图所示.

令g(x)=m\x\,将g(x)的图象绕坐标原点旋转可得

19nl>e_1,')相>纥1

I9

则实数小的取值范围为(舒,亨].

故选C.

11.

【答案】

A

【考点】

函数的周期性

函数的求值

【解析】

【解答】

解：由汽%)=/0+5)可知/0)周期为5,

因为当x6[—2,0)时，/(x)=-(x+2)2；

当xG[0,3)时，/(x)=x,

所以/(—2)+/(-I)+/(0)+/(1)+/⑵=2.

又因为/(x)周期为5,

所以/(x)+f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)+/X+4)=2,

因此/(I)+/(2)+…+/(2021)

==1)+[/(2)+=3)+f(4)+=5)+/(6)]+…+/(2021)

=/(I)+2x404

=809.

故选4.

二、填空题(本题共计7小题，每题3分，共计21分)

12.

【答案】

3

-4

【考点】

函数的周期性

函数奇偶性的性质

函数的求值

【解析】

由奇函数的性质可得，/(一今=-/(|).由周期性可得展)=居一旬=/(I),进而得

解.

【解答】

解：由题意可得，

9991

/(-2)=-/(2)=~/(2—旬=0)

故答案为：一：.

4

13.

【答案】

0

【考点】

函数的求值

函数的周期性

函数奇偶性的性质

【解析】

由/(x+2)=—/(%)可得/(x)是周期为4的函数，把“2016)转化成/(0))求解即可.

【解答】

解：对任意实数X,恒有/(x+2)=-f(x),

则/(久+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=/(%),

所以/(x)是周期为4的函数，

所以f(2016)=f(0),

又/(x)是定义在R上的奇函数，

所以/(0)=0,

所以/(2016)=0.

故答案为：0.

14.

【答案】

-3

【考点】

求函数的值

函数的周期性

函数的求值

【解析】

试卷第10页，总18页

推导出f(x+4)=-/Q+2)=/Q),当［0,2)时,/(x)=3x,从而f(2019)=/(3)

~~f(1)＞由此能求出结果.

【解答】

1.■函数/(x)的定义域为R,且/'(x)=-/(x+2),

/(%+4)=-/(x+2)=/(x),

当［0,2)时,f(x)=3x,

•1•/(2019)=/(3)=-/(1)=-(3)

故答案为：—(3)

15.

【答案】

V2

【考点】

函数奇偶性的性质

函数的周期性

【解析】

由已知条件推导出f(一x)=f(x),故f(x)为偶函数.由f(x+4)=-/0)+2夜，得

/(%+4+4)=-/(%+4)+2V2=/(%),所以/(%)是周期为8的偶函数，所以

“2018)=f(2+252X8)=/(2),由此能求出结果.

【解答】

解：由函数“X—2)的图象关于直线x=2对称可知，

函数/(%)的图象关于y轴对称，故/(%)为偶函数.

由/(x+4)=-/(X)+2夜，

得/(x+4+4)=-/(%+4)+2V2=/(x),

所以/。)是周期为8的偶函数，

所以/(2018)=f(2+252x8)=f(2),

又/⑵=一/(-2)+2&/(-2)=/(2),

所以/(2)=&.

故答案为：V2.

16.

【答案】

3

【考点】

函数奇偶性的性质

函数的周期性

函数的求值

【解析】

暂无

【解答】

解：因为/(x)为R上的奇函数，

所以/(0)=1+a=0,所以a=-1,

所以/(X)=2X-£(0WXW1),

则/⑴=1.

又因为/(x)为奇函数，

所以/(一%)=f(2+%)=-/(%),

则fO+4)=/(%),

所以/(%)的周期为4,

所以/(101)+/(105)=2/(1)=|x2=3.

故答案为：3.

17.

【答案】

0,337

【考点】

函数的求值

函数的周期性

【解析】

先由f(%+6)=/(x)判断周期为6,直接计算f(4)；然后计算2017=6x36+1,把

/(I)+/(2)+f(3)+…+/(2016)+/'(2017)转化为

=336X[/(I)+/⑵+=3)+…+/(6)]+/(2017),即可求解.

【解答】

解：因为/(x+6)=/(x),

所以函数/'(x)的周期为6的周期函数，

当xe[—3,3)时，

f(y_[一(x+2)2,-3<x<-1,

八v)~[x,x-l<x<3,

所以f(4)=/(-2)=-(-2+2尸=0,

因为2017=6x336+1,/(I)=1,/(2)=2,，(3)=/(—3)=-(-3+2)2=-1,

/(4)=0,/(5)=/(-I)=-1,/(6)=/(0)=0,

所以/⑴+f(2)+/(3)+…+f(2016)+/(2017)

=336x[/(I)+=2)+=3)+…+/(6)]+=2017)

=36x(1+2-1+0-1+0)+1=337.

故答案为：0；337.

18.

【答案】

1

【考点】

函数奇偶性的性质

函数的周期性

【解析】

无

【解答】

解:因为/(%)是奇函数,所以/(X+2)=/(—%)=-/⑺,

所以/(%+4)=f(x+2+2)=—/(x+2)=/(X),

所以/(%)的周期为4.所以/(x+4)=/(x),故f(x)是以4为周期的周期函数，则

/(2021)=/(4x505+1)=/(I)

=-/(-I)=-[(-I)2-2]=1.

故答案为：1.

三、解答题(本题共计5小题，每题10分，共计50分)

19.

【答案】

试卷第12页，总18页

解:(1)因为f(2-％)=f(2+Q,

所以/(%)=f(4—%),

当%>2时，4—%<2,

则/(%)=f(4—x)=—(4—%)2+fc(4—九)+2

=-x24-(8—k)x+4fc-14,

故/⑺的解析式为f(x)=日记器:卷>2.

(2)当％G［2,4］时,/(%)=—X24-(8—k)x+4k—14

一(%-法)2+竽

当卓24,即kWO时，f(x)在［2,4］上单调递增，

则/(X)max=/⑷=2;

当法W2,即kN4时，f(x)在［2,4］上单调递减,

则/(X)max=f(2)=2k—2;

当2<W<4,即0<k<4时，fMmax=/(?)=

(2,k<0,

综上所述，f(x)max=<,0<k<4,

v2k-2,kN4.

【考点】

函数的周期性

二次函数在闭区间上的最值

分段函数的应用

函数解析式的求解及常用方法

【解析】

【解答】

解：(1)因为/(2—x)=f(2+x),

所以/(x)=f(4-X)，

当x>2时，4—x<2,

则/(x)=/(4-%)=—(4—x)2+4(4—%)+2

=—X2+(8—k)x+4k—14,

故/⑺的解析式为―=仁::^-14,X>2

(2)当xG［2,4］时，/(x)=-x2+(8-fc)x+4/c-14

…谭y+竽

当?24,即kWO时，/(X)在［2,4］上单调递增，

则/(X)max=f(4)=2;

当心W2,即kN4时，f(x)在［2,4］上单调递减,

则f=f(2)=2/c-2;

当2〈等<4,BPO<fc<4时，fMmax=f(等)=?

(2,k£O,

综上所述，f(%)max=\k丁,0<k<4,

I2fc-2,k>4.

20.

【答案】

解：⑴当xe(-2,0)时，re(0,2),

e-X1

/(一%)=—xex

又/(X)为奇函数，

■1-f(.-x)=-/(%)，

f(x)=二.

当x=0时，由/(-0)=—/(0)可知，“0)=0.

又•:/(X+4)=/(x),

/(-2)=)(-2+4)=)(2),

即一〃2)=/(2),

•••/(2)=0,

•••/(-2)=汽2)=0.

-xe7x(、一2<%<0)z,

综上,/(X)=<0(x=0,±2),

、y(0<x<2).

(2)|/(x)|>2对任意XeR恒成立,等价于|/(x)|min2大

/•(>)的最小正周期为4,

.1•只需求xG[-2,2]时的|/(x)|mm，

由(1)可知，上€[—2,2]时,|f(*)|min=0,

此时，x=0或±2,

A<0.

【考点】

函数恒成立问题

函数的周期性

奇函数

【解析】

(1)由/(x)是％6R上的奇函数，得/(0)=0.再由最小正周期为4,得到②和/(一2)

的值.然后求(-2,0)上的解析式，通过在(-2,0)上取变量，转化到(0,2)上，即可得

到结论.

(2)等价于|f(x)|min24,由f(x)的最小正周期为4得，问题转化为求XW

[-2,2]时的由(1)易求；

【解答】

解：(1)当Xe(-2,0)时，-%e(0,2),

f(-x)=三=一1

xex

试卷第14页，总18页

又/(x)为奇函数，

•••/(一%)=—/(%)，

-1•/(x)=

当x=0时，由7(-0)=——(0)可知，“0)=0.

又,：f(x+4)=/(x),

•••f(-2)=f(-2+4)=f(2),

即一/(2)=f(2),

f(2)=0,

•••/(-2)=/(2)=0.

嚎(-2<x<0),

综上，f(x)=<0(x=0,±2),

X

Iye(0<x<2).

(2)|/(x)|>4对任意XeR恒成立,等价于|/(x)|min2C

•••/(x)的最小正周期为4,

只需求xG[-2,2]时的|/(x)|mm，

由(1)可知，上€[—2,2]时,|/(x)|min=0,

此时，x=0或±2,

A<0.

21.

【答案】

函数/(")既不是奇函数也不是偶函数.

•••/(%)=/[2+(x-2)]=/[2-(x-2)]=/(4-x),

/(%)=f[7+(%-7)]=f(7-(%-7))=/(14-x),

/(14-x)=f(4-%),即加0+(4-x)]=/(4-x),

f(x+10)=f(x),即函数f(x)的周期为10.

又；/(I)=/(3)=0,/,(l)=/(l+10n)=0(neZ),

f(3)=f(3+10n)=0(nGZ),

即x=1+lOn和x=3+10n(nGZ)均是方程/(x)=0的根.

由一2011sl+lOnS2011及n€Z可得n=0,±l,±2,±3,…，±201,共403个；

由一201143+10"W2011及nWZ可得n=0,±1,±2,±3,±200,-201,共402个;

所以方程f(x)=0在闭区间[—2011,2011]上的根共有805个.

【考点】

函数的周期性

抽象函数及其应用

函数的图象与图象变化

【解析】

此题暂无解析

【解答】

若y=/(%)为偶函数，则/(-X)=/(2-(％+2))=/(2+(x+2))=/(4+x)=/(x),

f(7)=f(3)=0,这与f(x)在闭区间［0,7］上，只有/(1)=/(3)=0矛盾；因此

/(%)不是偶函数.

若y=/(x)为奇函数，则f(0)=f(-0)=一/0),「./(0)=0,这与/(X)在闭区间

［0,7］上，只有f(l)=f(3)=0矛盾；因此/(x)不是奇函数.

综上可知：函数/(%)既不是奇函数也不是偶函数.

略

22.

【答案】

证明•••/(x+2)=-/(%),

/(%+4)=-/(%+2)=/(%).

/(x)是周期为4的周期函数.

/(x)=x2—6x+8,x&[2,4].

1

【考点】

函数的周期性

奇偶性与单调性的综合

【解析】

此题暂无解析

【解答】

思维启迪：只需证明/(%+7)=/'(X),即可说明/(%)是周期函数；

探究提高判断函数的周期只需证明八%+7)=/0)(7力0)便可证明函数是周期函

数，且周期为7,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题.

解x6[2,4],-X6[—4,—2],

4—XG[0,2],

/(4—x)=2(4—x)—(4—x)2=—x2+6%—8,

又/(4-x)=/(-%)=又(%),

—/(%)=-x2+6x—8,

即/(x)=%2—6x+8,xG[2,4].

思维启迪：由f(x)在[0,2]上的解析式求得/(x)在[-2,0]上的解析式，进而求f(x)在

[2,4]上的解析式；

探究提高判断函数的周期只需证明/。+7)=/。)(740)便可证明函数是周期函

数，且周期为7,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题.

解•••/(0)=0,-2)=0,-1)=1,〃3)=-1.

又/(%)是周期为4的周期函数，

f(0)+f⑴+f(2)+f⑶=f(4)+y(5)+/(6)+/(7)=-=f(2008)+

/(2009)+/(2010)+/(2011)=0.

/(0)+/(l)+f(2)+…+/(2013)=/(0)+/⑴=1.

思维启迪：由周期性求和.

探究提高判断函数的周期只需证明/(x+T)=f(x)(TOO)便可证明函数是周期函

数，且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题.

23.

【答案】

6

证明：设%1，%2<X2>

2打2必2%(4孙+1)-2右(4打+1)

/Qi)-/(%2)=好+1―4次+1=(4,+1)(4/+1)

(2M-2%)(2号&