【数学】四川省南充市2024届高三一模试题（理）（解析版）

四川省南充市2024届高三一模数学试题（理）一、单项选择题1.抛物线的准线方程为()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，抛物线方程为，则其准线方程为.故选：C.2.当时，复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由，可得，所以复数在复平面内对应点位于第四象限.故选：D.3.已知正方形的边长为1，则（）A.0 B. C. D.4【答案】C【解析】，因为正方形的边长为1，所以，故.故选：C4.已知直线m,n和平面,，，则“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】根据线面平行的判定定理知,若,则,故充分性成立；若,则直线m,n有可能平行或者异面,故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.已知全集，集合则能表示关系的图是（）A. B.C D.【答案】B【解析】因为，，所以，对于A，，错误；对于C，，错误；对于D，错误；B选项符合题意，故选：B.6.某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：．则下列说法错误的是（）时间x（月）12345销售量y（万件）11.62.0a3A.由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件B.表中数据的样本中心点为C.D.由表中数据可知，y和x成正相关【答案】A【解析】依题意，，而y与x的回归直线方程为：，则，解得，，表中数据的样本中心点为，BC正确；由，得y和x成正相关，D正确；2024年1月份，即，由回归直线方程，得，因此2024年1月份该地区的销售量约为6.8万件，A错误.故选：A7.二项式的展开式中常数项为（）A. B.60 C.210 D.【答案】B【解析】展开式的通项为，所以，常数项为，故选：B.8.已知：，，则下列说法中错误的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，则，故A正确；因为，则，所以，即，故B正确：因为，所以，故C正确；因为，所以，故D错误；故选：D.9.如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（）A. B. C.9 D.18【答案】B【解析】由题知连接，，，如图所示因为分别是中点，所以，在正方体中，所以，所以在同一平面内，所以平面截该正方体所得的截面为平面，因为正方体的棱长为，所以，，，则到的距离为等腰梯形的高为，所以截面面积为，故B正确.故选：B.10.如图1是函数的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中的部分图象，则（）A.B.C.方程有4个不相等的实数解D.的解集为，【答案】D【解析】A选项，若，则，与图不符合，所以A选项错误.B选项，向右平移个单位得到，再将横坐标缩小为原来的一半，得到，所以，B选项错误.C选项，由，得，画出和的图象如下图所示，，由图可知，两个图象有个交点，所以方程有个不相等的实数解，所以C选项错误.D选项，由，得，所以的解集为，，D选项正确.故选：D11.已知双曲线的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，P为双曲线在第一象限上的一点，若，则（）A. B.2 C.5 D.【答案】C【解析】依题意，，由余弦定理得，解得，所以，所以，又，因为，，所以.故选：C.12.已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（）个①②③④A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由函数有两个不同零点，转化有两个交点，构造函数，，则，故，所以在单调递增，而，可得图象如图所示故在单调递减，在单调递增，所以，对于①，，所以，所以，故①正确；对于②，由①可知，故，因此，故②正确；对于③，因为，所以，故，所以，则，构造函数，则，而，所以，所以，因为，所以，令，构造，显然单调递增，且，所以所以，故③正确；对于④，由①可知，，所以，令，，显然单调递增，且，所以，故④正确.故选：D.二、填空题13.满足约束条件的平面区域的面积为________．【答案】【解析】作出该约束条件的可行域，如下图所示，联立，解得，则交点为，当时，，当时，，由此可知该平面区域的面积为,故答案为：.14.已知函数为上的奇函数，且，则________．【答案】【解析】由题意，在中，，∵为上的奇函数，∴，故答案为：.15.已知圆台的上下底面半径分别为和，若存在一个球同时与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则该圆台的体积为________．附：圆台体积公式为：【答案】【解析】圆台的轴截面如图所示，设内切球的球心为，内切球与母线切于点，则，所以，过点作于，则，所以，所以圆台的体积为，故答案为：16.如图，在中，，，P为内一点，且，则________．【答案】0.5【解析】在中，，由，得，而，则，于是，，则，在中，，在中，由正弦定理得，，即，在中，，由余弦定理得，即，整理得，显然为锐角，所以.故答案为：.三、解答题17.已知数列是首项为2的等比数列,且是和的等差中项．（1）求的通项公式；（2）若数列的公比,设数列满足,求的前2023项和．解：（1）设数列的公比为,则是和的等差中项,即解得或或（舍去）当时,当时,（2）,由(1)知故的前2023项和为18.2023年秋季，支原体肺炎在全国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人，某市医院传染病科在该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人的情况，并将调查结果整理如下：有慢性疾病没有慢性疾病合计未感染支原体肺炎6080140感染支原体肺炎402060合计100100200（1）是否有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关？（2）现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，再从6人中随机抽出4人作为医学研究对象并免费治疗．按以往的经验，有慢性疾病的老人每人的研究治疗费用为2万元，没有慢性疾病的老人每人的研究治疗费用为1万元，记抽出的这4人产生的研究治疗总费用为（单位：万元），求的分布列及数学期望．附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：（其中）解：（1）依题意，，所以有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关.（2）从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，其中有慢性疾病有人，没有慢性疾病有2人，研究治疗总费用的可能值为6，7，8，则，所以的分布列为：678数学期望.19.如图，在四棱锥中，平面，，，．（1）求证：平面；（2）若，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：如图，取中点，连接，因为，，所以，且，又平面，平面，所以，又面，所以，又，所以四边形是平行四边形，得到，又平面，平面，所以平面.（2）解：如图，取中点，连接，，则，因为平面，由（1）知，所以平面，又，所以，过作，建立如图所示的空间直角坐标系，因为平面，面，所以，又，，所以面，又面，所以,故为二面角的平面角，所以，又，所以，又，所以，所以，则，设平面的一个法向量为，则由得到，，取，所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.20.设函数(e为自然对数的底数)，函数与函数的图象关于直线对称.（1）设函数，若时，恒成立，求的取值范围；（2）证明：与有且仅有两条公切线，且图象上两切点横坐标互为相反数.（1）解：由已知，时，恒成立，即恒成立，整理得，令令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减，，，得；（2）证明：函数与函数的图象关于直线对称，，假设与有公切线，明显斜率存在，设公切线的方程为，与的切点为，与的切点为又，，消去得，当时，明显不成立，整理可得对于函数，有，其为奇函数，且函数也为奇函数，故方程若有根，其根必为成对的相反数，下面研究方程的根的情况，即函数的零点情况，可得，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，又时，，时，，，使，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，又，由零点存在定理得函数在区间和各有一个零点，即函数有两个零点，即方程有两个根，综上所述与有且仅有两条公切线，且图象上两切点横坐标互为相反数.21.如图，椭圆的四个顶点为A，B，C，D，过左焦点且斜率为k的直线交椭圆E于M，N两点．（1）求四边形的内切圆的方程；（2）设，连结，并延长分别交椭圆E于P，Q两点，设的斜率为．则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（1）连接,则四边形为边长为的菱形，由对称性可知，当圆与直线相切时，则与四边形的各个边相切，且圆心为坐标原点，设内切圆半径为，由于，则由等面积法可得，故，故圆的方程为：（2）设,则，则直线的方程为，联立可得，即，将代入上式可得，化简得，所以，所以，，故，同理可得,所以由于直线方程为，所以，故，故存在，使得22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），把绕坐标原点逆时针旋转得到，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）写出，的极坐标方程；（2）若曲线的极坐标方程为，且与交于点A，与交于点B（A，B与点O不重合），求面积的最大值．解：（1）直线的参数方程为（t为参数，），故，则，即；故的极坐标方程为：.把