高中排列组合基础题-(含答案)

排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列.例1甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有＝2种，所以共有6×2＝12种排法.二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.例27个同学并排站成一排，其中只有A、B是女同学，如果要求A、B不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是＝120.再把A、B插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有＝2种方法.则共有＝440种排法.三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.例36个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有种.分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有种排法.然后将其余5个排在余下的5个位置上，有种方法.则共＝480种排法.还可以优先排两端（位置优先）.四、同元问题“隔板法”例410本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图：××××××××××一种插法对应于一种分法，则共有＝84种分法.五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.例5由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）（A）210个（B）300个（C）464个（D）600个分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有个、个、个、个、个，合计300个，所以选B例6用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有种，其中0居首位的有种，故符合条件的五位数共有＝11040个.【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8.把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的.①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有个；②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有种排法.综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有＋＝11040个.例8由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3的自然数？U【解】设A＝{满足题设条件，且百位数字是3的自然数}，B＝{满足题设条件，且比20000大的自然数}，则原题即求，画韦恩图如图，阴影部分U即，从图中看出.又，由性质2，有即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知.即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数，易知，所以＝78.即可组成78个符合已知条件的自然数.

典型例题例1用0到9这10个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有（个）．∴没有重复数字的四位偶数有个．例2排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：（1）先排歌唱节目有种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：＝43200.（2）先排舞蹈节目有中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：＝2880种方法。例3某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．分析与解法1：6六门课总的排法是，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一节有种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这坐法数”看成“总方法数”，这个数目是．在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法．”这个数目是．其中第一个因数表示甲坐在第一排的方法数，表示从乙、丙中任选出一人的办法数，表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数，就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为(种)．说明：解法2可在学完组合后回过头来学习．例10计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（）．A．B．C．D．解：将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有种排列．但4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求．所以共有种陈列方式．∴应选D．说明：关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑”法，也就是将相邻的若干个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑”，将被“捆绑”的若干元素，内部进行全排列．本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题．例11由数字组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（）．A．210B．300C．464D．600解法1：（直接法）：分别用作十万位的排列数，共有种，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有个．解法2：（间接法）：取个数字排列有，而作为十万位的排列有，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有(个)．∴应选B．说明：(1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑能否用间接法来解．(2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六位数个数一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还有6个人排队照像时，甲必须站在乙的左侧，共有多少种排法．例12用，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）．A．24个B．30个C．40个D．60个分析：本题是带有附加条件的排列问题，可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利用概率，也可利用本题所提供的选择项分析判断．解法1：分类计算．将符合条件的偶数分为两类．一类是2作个位数，共有个，另一类是4作个位数，也有个．因此符合条件的偶数共有个．解法2：分步计算．先排个位数字，有种排法，再排十位和百位数字，有种排法，根据分步计数原理，三位偶数应有个．解法3：按概率算．用这个数字可以组成没有重复数字的三位数共有个，其中偶点其中的．因此三位偶数共有个．解法4：利用选择项判断．用这个数字可以组成没有重复数字的三位数共有个．其中偶数少于奇数，因此偶数的个数应少于个，四个选择项所提供的答案中，只有符合条件．∴应选．例13用共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重复数字的位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被整除的三位数？分析：位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是，由于个位用或者不用数字，对确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用或者用进行分类．一个自然数能被整除的条件是所有数字之和是的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要注意就用与不用数字进行分类．解：(1)就个位用还是用分成两类，个位用，其它两位从中任取两数排列，共有(个)，个位用或，再确定首位，最后确定十位，共有(个)，所有位偶数的总数为：(个)．(2)从中取出和为的倍数的三个数，分别有下列取法：、、、、、、、，前四组中有，后四组中没有，用它们排成三位数，如果用前组，共有(个)，如果用后四组，共有(个)，所有被整除的三位数的总数为(个)．例14一条长椅上有个座位，人坐，要求个空位中，有个空位相邻，另一个空位与个相邻空位不相邻，共有几种坐法？分析：对于空位，我们可以当成特殊元素对待，设空座梯形依次编号为．先选定两个空位，可以在号位，也可以在号位…共有六种可能，再安排另一空位，此时需看到，如果空位在号，则另一空位可以在号位，有种可能，相邻空位在号位，亦如此．如果相邻空位在号位，另一空位可以在号位，只有种可能，相邻空位在号，号，号亦如此，所以必须就两相邻空位的位置进行分类．本题的另一考虑是，对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另一空位插入已坐人的个座位之间，用插空法处理它们的不相邻．解答一：就两相邻空位的位置分类：若两相邻空位在或，共有(种)坐法．若两相邻空位在，，或，共有(种)不同坐法，所以所有坐法总数