MEMS设计中的工程力学()

第3章微系统设计中的工程力学

第2讲材料和结构的力学根本知识材料的力学根本知识材料的力学特性常用微结构及其根本变形形式典型微结构的受力分析梁结构的静态受力分析平板结构的静态受力分析质点：只有质量，没有大小刚体：有质量，有大小，但没有变形〔相对位置不变〕变形体：有质量，有大小，有变形〔相对位置变化〕4.1材料力学根本知识构件ComponentorMember：组成机械的零件或构筑物的杆件统称为构件

结构Structure：由构件组成的体系，工程结构是工程实际中采用的结构载荷Load：构件和结构承受的负载或荷重载荷————

内载荷外载荷变形Deformation：在载荷的作用下，构件内部各质点之间的相对位置、形状及尺寸发生的变化材料的力学性能-----指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。构件承载能力的表征强度---构件在外载荷作用下，抵抗破坏的能力刚度---构件在外载荷作用下，抵抗恢复变形的能力稳定性---构件在外载荷作用下，保持原平衡状态的能力变形构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现象；变形固体的变形通常可分为两种：弹性变形---载荷解除后变形随之消失的变形塑性变形---载荷解除后变形不能消失的变形材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹性小变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形变形固体的根本假设连续性假设〔数学〕假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质均匀性假设〔力学〕假设材料的力学性能在各处都是相同的各向同性假设〔物理〕假设变形固体各个方向的力学性能都相同构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。内力的概念物体本来存在内部作用力，外力引起了内部作用力的改变。为了引入应力的概念，参照图1-5，首先围绕C点取微小面积，有分布内力的合力，应力定义为应力应力是一个矢量平均应力——某个范围内，单位面积上的内力的平均集度C点的应力——当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到应力即单位面积上的内力——某截面处内力的密集程度应力的国际单位为N/m21N/m2=1Pa〔帕斯卡〕1MN/m2=1MPa=106N/m2=106Pa1GPa=1GN/m2=109Pa垂直于截面的应力称为“正应力”(NormalStress)位于截面内的应力称为“切应力”(ShearingStress)

p

M

正应力、切应力正值的正应力正应力符号规定拉为正压为负负值的正应力切应力符号使微元顺时针转动为正反之为负角符号yx由x轴逆时针转到x’轴〔斜截面外法线〕为正反之为负应变分析单元K单元原棱长为△x，△u为绝对伸长量，其相对伸长的极限称为沿x方向的正应变ε。a点的横向移动aa’，使得oa直线产生转角γ，定义转角γ为切应变γ。)位移构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变来度量。如图：AA’连线称为A点的线位移θ角度称为截面m-m的角位移，简称转角注意，单元K的形状也有所改变胡克定律实验证明：当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在线性关系，即σ=Εε称为胡克定律，E为弹性模量，常用单位：GPa〔吉帕〕同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变也存在线性关系即：τ=Gγ此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa钢与合金钢 E=200-220GPa G=75-80GPa铝与合金铝 E=70-80GPa G=26-30GPa木材 E=0.5-1GPa 橡胶 E=0.008GPa横向变形与泊松比如果等直杆在变形前后的横向尺寸为：b0、b1；

那么其横向绝对变形和横向线应变分别为△b和ε’;△b=b1-b0

ε’=△b/b0实验说明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小，ε’为负；杆件轴向压缩时，横向尺寸增大，ε’为正；可见，轴向线应变ε和横向线应变ε’恒为异号实验还说明：对于同一种材料，当应力不超过某一极限时，杆件的横向线应变ε’与轴向线应变ε之比为一负常数，即或比例系数ν称为泊松比，是小于1的量。泊松比的计算FF初始形状受力后形状FFLL+D-D轴向应变——拉应变>0横向应变——压应变<0泊松比泊松比总是大于0。大多数材料的泊松比典型值为0.2~0.5，大局部金属材料的泊松比为0.3。4.2材料的力学特性(1)材料失效如果材料受到的应力超过屈服极限，材料将产生明显的变形并且应力消除后变形也不会恢复，即产生了永久变形。如果应力超过极限应力，材料将完全失效，假设持续加载，材料将会断裂。

塑性材料的极限应力远大于屈服强度。这些材料在断裂之前会发生塑性变形。硅的极限应力等于屈服强度，因此材料会突然断裂，不会产生塑性变形。即使材料所受的载荷低于屈服强度，也有可能失效。长时间周期性加载会在载荷远低于屈服强度的情况下引起疲劳破坏。当材料疲劳时，在局部应力的作用下会出现细小的裂纹，并且裂纹在载荷的周期作用下，不断扩展直到破坏。应力水平对疲劳寿命的影响同宏观理论的推理相一致。材料Al钢WSi石英金刚石屈服强度1702100

40007000840053000单位MPa几种材料的屈服应力简表(2)通用材料问题由于通常材料的力学性能都通过大体积样本测量得到，因此可能与MEMS中使用的材料和尺寸不相符合。许多参数在不同的资料中出现的数值不同，可能的原因是加工特定工艺的不同，而不是由试验过程的错误造成。许多影响材料测量的实际问题的存在〔例如测量工具的变形等〕，导致了数据并不完全相同。微机械结构往往存在层状结构。在微结构的分析过程中应该注意合成材料的性质不同于任一种材料的性质，也不是其中多种材料的线性组合。工艺参数极大地影响到结构特性！即便是用同一设备两次加工结构，结构的特性也不能完全一致。4.3常用微结构及其根本变形形式弯曲梁的概念及其简化

杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。薄板的宽度和长度相近，厚度与宽度、长度相比很薄；平板在z向有应力梯度。当平板材料产生横向应变使得平板硬化时，泊松比的影响变得非常重要。在相同载荷的作用下，平板的变形小于梁的变形——平板只在一个方向上弯曲，曲率大约是梁的(1-v2)倍。将平板看成是黏合在一起的平行梁阵列，它们的相互作用阻止了尺寸的变化，导致了更大的弯曲阻力。常见根本变形形式(轴向)拉伸、压缩剪切扭转弯曲〔平面〕根本变形之一——(轴向)拉伸、压缩轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长，拉应力为主导——简称拉伸轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短，压应力为主导——简称压缩载荷特点：沿轴线，大小相等，方向相反变形特点：各横截面沿轴向做平动内力特点：内力方向沿轴向，简称轴力FN轴力正负规定：轴力与截面法向相同为正FN=P根本变形之二——剪切载荷特点：作用力与截面平行〔垂直于轴线〕变形特点：各横截面发生相互错动内力特点：内力沿截面方向〔与轴向垂直〕，简称剪力FQ剪力正负规定：左下〔右上〕为正左下：指左截面〔左半边物体〕剪力向下根本变形之三——扭转扭水龙头用钥匙扭转开门酒瓶软木塞的开瓶器小轿车的方向盘工作自行车的脚蹬工作机器轴的转动改锥上螺丝钉常见的扭转现象扭转的例子电机传递扭矩，转动机器改锥上螺丝钉载荷特点：受绕轴线方向力偶作用〔力偶作用面平行于横截面〕变形特点：横截面绕轴线转动内力：作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩T正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系T=M组合变形根本变形之四——弯曲(平面)弯曲的概念弯曲变形是指杆的轴线由直线变成曲线，以弯曲变形为主的杆件称为梁。梁的受力特点是在轴线平面内受到力偶矩或垂直于轴线方向的外力的作用。弯曲变形载荷特点：在梁的两端作用有一对力偶，力偶作用面在梁的对称纵截面内。变形特点：梁的横截面绕某轴转动一个角度。中性轴〔面〕内力：作用面垂直横截面的一个力偶，简称弯矩M弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。作用于梁上的负载引起梁的弯曲，使其轴发生形变。梁的纵向应变可以通过分析梁的曲率半径和相应的变形得到。为此，考虑纯弯曲的一段梁〔A-B)(即整个梁的力矩为常数的情况下〕。纯弯曲下的纵向应变假定梁的横截面，如mn和pq局部，保持平面状况并垂直于纵向轴。由于弯曲形变，横截面mn和pq绕着垂直于XY面的轴各自旋转。梁凸出〔下面〕局部的纵向线被拉长，而凸入〔上面〕局部的线被缩短。因此，梁的下面局部伸张而上面局部收缩。在梁顶部和底部之间某处时纵向线长度不变的平面。这一平面称作梁的中性面〔虚线标注的〕。如果悬臂梁是由匀质材料组成，并且有均匀、对称的横截面，中性面将位于悬臂梁的中部。对于对称和匀质材料的悬臂梁，应力和应变的分布遵循以下几条准那么：1〕内部任意一点的应力和应变的大小都与这一点到中性轴的距离成线性比例；2〕在给定的横截面上，张应力和压应力的最大值发生在梁的顶面和底面；3〕张应力的最大值和压应力的最大值大小相等；4〕纯弯曲下，最大应力的大小在梁的整个长度上是恒定的。弯曲变形涉及到的根本概念挠度----梁的横截面形心在垂直于量轴线方向的位移称为挠度，用w表示。正负规定：图示坐标中上正下负转角----梁的横截面相对于变形前后初始位置转过的角度，用θ表示。正负规定：逆时针为正反之为负挠曲线----梁在弹性范围弯曲变形后，其轴线变成一条光滑连续曲线，称为挠曲线，其表示式为转角θ与挠度w的关系如下图：θ≈tanθ=dw(x)/dx=w’即，横截面的转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率w=w(x)固定铰支座(pinsupport)滚动铰支座(rollersupport)固定支座〔fixedsupport)XAYAYAYAXA支座种类支座反力MAAAA简支梁Simplebeam,SimplysupportedbeamABP2P1YAYBXA梁的种类悬臂梁CantileverbeamABP1P2MAYAXAP1P2外伸梁Beamwithanoverhang(overhangs)ABCYAYBXA载荷的分类qq(x)均匀分布载荷线性〔非均匀〕分布载荷P集中力TT集中力偶T分布载荷载荷集度q(N/m)4.4梁结构的静态受力分析bhxzo梁上的一个矩形单元a’c’acrozMMo中性面梁的应力分析由图可知，在附近有x方向的延伸量应变量由应变和应力之间的关系得到应力曲线满足同时梁的变形分析对于横截面宽度为b，高度为h的梁，其惯性矩为总结几何形状、材料参数、外加作用力和约束条件的情况下，通过计算梁的位移量。当时，通过计算应力。例1悬臂梁受集中载荷作用的力学参数计算dxF0M0F=MgzxLxo相对于固定端，作用力产生的力矩为为了平衡，在固定端必然存在顺时针逆时针以点x为例，其左端的弯矩为，所以，边界约束条件为由此解得自由端的最大位移为梁上外表的应力为在x=0处的最大应力为例2悬臂梁在重力作用下的力学参数计算dxF0M0F=MgzxLxo以点x为例，其左端的弯矩为边界约束条件为因此得到其中，因此得到又，自由端的最大位移为或应力在x=0处的最大应力为梁的长度比梁的宽度和高度达一个数量级，弯曲量相对于长度来讲足够小。FP挠度和应力FP(x<L/2)其中，方形截面梁惯性矩为结论：对于线性材料小挠度条件，无论边界条件或载荷怎么样，弯曲与载荷成正比。半导体电导率半导体的电导率可以通过几种方法来控制，例如人为的掺杂、外加电场、电荷注入、环境光照、或者温度的变化。这些控制因素使得半导体材料有很多应用，包括场效应晶体管、温度传感器、力传感器以及化学传感器。而MEMS领域中最根本的一项任务就是求出半导体硅片电导率与掺杂浓度之间的关系。MEMS领域中，最常用到的半导体材料是硅，其他的还有锗、多晶锗、锗硅、砷化镓、氮化镓和碳化硅等。半导体材料中的自由载流子在电场作用下产生移动的方式称为漂移。载流子在给定电场下漂移的灵活性会影响半导体材料的电导率。因此电导率定义为:其中J为电流密度,E为外加电场。晶面和晶向晶体中的硅原子在晶格中规那么排列。材料的特性〔例如杨氏模量、迁移率和压阻系数〕以及体硅的化学刻蚀速率通常都表现出对方向的依赖性。以下图是几个不同方向硅晶格的横截面图。表晶面、晶向以及同族的名称总结刚度在MEMS中，梁是最常遇到的弹性单元，微梁作为传感和执行的力学弹簧，梁的刚度是设计中经常关心的问题。刚度用弹性形变常数表示，弹性形变常数的定义为;在点力F作用下弹簧伸长x,位移和外加力的关系遵循胡克定律表达的线性关系。机械弹性形变常数是外加力和它引起的位移的比值:km=F/x右图所示的单端固支梁，其长、宽、厚分别为l,w,和t。梁材料沿纵向的杨氏模量为E。当力加在板面上时，梁的自由端到达某一弯曲角，和F之间的关系为：产生的垂直位移等于：因此，悬臂梁的弹簧常数为:例：两种材料的惯性矩考虑长度和材料都相同的两个悬臂梁：一个的横截面为100um×5um,第二个的横截面为50um×8um,试问哪一个更能抵抗弯曲〔或者更硬〕？解：第一个悬臂梁的惯性矩为：

第二个悬臂梁的惯性矩为：因为，根据悬臂梁的刚度公式。可知第二个梁更硬。本征应力即使在室温和零外加负载的情况下，很多薄膜都存在内部应力的作用。这一现象称之为本征应力。本征应力对MEMS器件很重要，因为它可能引起形变——很多情况下这种损害会影响外表平整性或者改变力学单元的刚度。例如，在微光学应用中，要求很平的镜面以到达要求的光学性能。本征应力可能会扭曲光学镜面并改变光学特性。本征应力也会影响薄膜的力学性能。对于以下图所示的薄膜，当薄膜材料受到张应力的时候其平整性就能保证。边界夹紧的薄膜上如果存在过大的张应力可能会导致破裂。另一方面，压应力会使膜发生翘曲。本征应力也可能产生于沉积薄膜的微结构。例如，在热氧化工艺中氧原子结合到硅晶格中会在氧化膜中产生本征应力。材料的相变和杂质原子的引入也可能产生本征应力。减小本征弯曲的方法：1〕使用本身没有本征应力或本征应力很小的材料；2〕对于本征应力与材料工艺参数有关，通过校准和控制沉积条件可很好的调节应力；3〕使用多层结构以补偿应力引起的弯曲。谐振频率和品质因子周期负载条件下机械结构位移的典型频谱如以下图所示。低频时位移保持常数。在谐振频率点〔fr)及其附近，机械振动幅度急剧增加。谐振峰的锋利程度用品质因子〔Q)表征。谐振峰端越锋利，品质因数就越高。机械谐振系统最简单的情况是质量块m连到力常数为k的弹簧上，这种系统的谐振频率为：

品质因数与最大值一半处的宽度〔FWHM)有关，即半功率点〔77%幅度处〕两频率之间的距离。谐振频率和FWHM之间的比值给出了品质因数：弹簧弹性常数和谐振频率的有源调节

梁和薄膜的机械特性，如弹簧弹性常数和谐振频率，可以通过引入应变而改变。对于悬臂梁，纵向应变可以通过轴向或横向负载力引入。轴向应力可以改变弹簧弹性常数和谐振频率，这就跟小提琴师通过调整张力来调节音色相似。纵向调节力可以改变横向静电力。在纵向应变作用下悬臂梁的谐振频率为：这里分别表示初始谐振频率、厚度和长度。悬臂梁的力常数和谐振频率可以通过横向力调节。为说明这一情况，考虑站在跳板顶头的一个小孩在轻轻跳动，假设跳板沉低于水平面，这个小孩能感觉到某种机械刚性。想象一个成年人拉住跳板的端点。当有主动地拉力时，这个小孩就会感觉跳板变得柔软些。换句话说，跳板对小孩来说显得更柔软。只要偏置力指向悬臂梁回复力相反的方向，梁就会变的柔软。4.6平板结构的静态受力分析薄板弯曲问题周边固支圆板的弯曲四边固支的矩形板的弯曲四边固支的正方形板的弯曲〔1〕薄板弯曲问题矩形平板承受横向弯曲挠度的控制微分方程可表示为是平板受均布外界压力p作用产生的横向挠度矩形平板的弯曲平板的弯曲刚度D为E－平板材料的杨氏模量－平板材料的泊松比h－平板厚度在x-y平面上定义这个平板，如下图。弯矩关于x轴和y轴的分量以及弯曲应力为弯矩弯曲应力当控制微分方程有适当的边界条件时，可以求得挠度，于是可得到弯矩和弯曲应力。(2)周边固支圆板的弯曲模型：一个半径为a、厚度为h的圆板，受到均布压力载荷P最大径向应力位于圆板边缘最大周向切应力位于圆板边缘圆板中心处的应力最大挠度在圆板中心其中，例题1求如下图的硅微压力传感器圆形振动膜的最小厚度。振动膜直径为600µm，边缘刚性固定到硅芯片上。振动膜设计能承受20Mpa的压力，不超过7000MPa的塑性屈服强度。硅振动膜的杨氏模量是E=190Mpa，泊松比v=0.25。压力传感器的圆形振动膜解:MPa并且振动膜的最大应力需要保持在材料的塑性屈服强度以下，即因此，由最大径向应力计算公式得到MPa又其中，等价载荷为所以即，最小振动膜厚度