高数期末复习-1课件

第一章函数与极限

(习题课〕〔一〕函数的定义〔二〕极限的概念〔三〕连续的概念一、主要内容函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系根本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准那么无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类求极限的常用方法1.利用连续性求极限;2.消去零因子法求极限;3.无穷小因子分出法求极限;4.利用无穷小运算性质求极限;5.利用左右极限求分段函数分段点处极限;6.利用分子或分母有理化;1、导数的定义定义2.右导数:单侧导数1.左导数:2、根本导数公式〔常数和根本初等函数的导数公式〕3、求导法那么(1)函数的和、差、积、商的求导法那么(2)反函数的求导法那么(3)复合函数的求导法那么(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:(5)隐函数求导法那么用复合函数求导法那么直接对方程两边求导.(6)参变量函数的求导法那么4、高阶导数记作二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)5、微分的定义定义(微分的实质)6、导数与微分的关系定理7、微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.根本初等函数的微分公式函数和、差、积、商的微分法那么8、微分的根本法那么微分形式的不变性洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用一、主要内容1、罗尔中值定理2、拉格朗日中值定理有限增量公式.3、柯西中值定理推论4、洛必达法那么定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法那么.关键:将其它类型未定式化为洛必达法那么可解决的类型.注意：洛必达法那么的使用条件.5、泰勒中值定理常用函数的麦克劳林公式6、导数的应用定理(1)函数单调性的判定法定义(2)函数的极值及其求法定理(必要条件)定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.定理(第一充分条件)定理(第二充分条件)求极值的步骤:步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,那么这个极值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;(4)曲线的凹凸与拐点定义定理1方法1:方法2:利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步(5)函数图形的描绘第三步第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;第五步(6)弧微分曲率曲率圆曲率的计算公式定义积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分一、不定积分主要内容1、原函数定义原函数存在定理即：连续函数一定有原函数．2、不定积分(1)定义(2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的.(3)不定积分的性质3、根本积分表是常数)5、第一类换元法4、直接积分法第一类换元公式〔凑微分法〕由定义直接利用根本积分表与积分的性质求不定积分的方法.常见类型:6、第二类换元法第二类换元公式常用代换:7、分部积分法分部积分公式选择u的有效方法:LIATE选择法L----对数函数；I----反三角函数；A----代数函数；T----三角函数；E----指数函数；

哪个在前哪个选作u.9、几种特殊类型函数的积分〔1〕有理函数的积分定义两个多项式的商表示的函数称之.真分式化为局部分式之和的待定系数法一、主要内容

㈠、

定积分问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式1、问题的提出实例1〔求曲边梯形的面积A〕实例2〔求变速直线运动的路程〕方法:分割、求和、取极限.2、定积分的定义定义记为可积的两个充分条件：定理1定理23、存在定理4、定积分的性质性质1性质2性质3性质4性质5推论：〔1〕〔2〕〔3〕性质7(定积分中值定理)性质6积分中值公式5、牛顿—莱布尼茨公式定理1定理2〔原函数存在定理〕定理3〔微积分根本公式〕也可写成牛顿—莱布尼茨公式6、定积分的计算法换元公式〔1〕换元法〔2〕分部积分法分部积分公式７、广义积分(1)无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分㈡、定积分的应用微元法理论依据名称释译所求量的特点解题步骤定积分应用中的常用公式1、理论依据2、名称释译3、所求量的特点4、解题步骤5、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数极坐标情形(2)体积xyo平行截面面积为的立体的体积(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为C．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo(5)细棒的质量(7)变力所作的功(8)水压力(7)变力所作的功(8)水压力(9)引力(10)函数的平均值(11)均方根1、根本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解

确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．(1)可别离变量的微分方程解法别离变量法2、一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换齐次方程．〔其中h和k是待定的常数〕否那么为非齐次方程．(3)可化为齐次的方程解法化为齐次方程．(4)一阶线性微分方程上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为〔使用别离变量法〕解法非齐次微分方程的通解为〔常数变易法〕(5)伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.解法需经过变量代换化为线性微分方程．3、可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次，得通解．型解法代入原方程,得特点型解法代入原方程,得４、线性微分方程解的结构〔1〕二阶齐次方程解的结构:〔2〕二阶非齐次线性方程的解的结构:５、二阶