【备战2021-专项突破】专题4.3-分式、分式方程及一元二次方程（3）（解析版）

专题4.3分式、分式方程及一元二次方程备战2021年中考数学精选考点专项突破卷（3）一、单选题(共30分)1．(本题3分)如果分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A． B． C．全体实数 D．【答案】A【解析】【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【详解】解：由题意可知：，，故选A．【点睛】本题考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．2．(本题3分)已知方程x2﹣3x+1=0的两个根分别是x1，x2，则x12x2+x1x22的值为()A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2=3，x1x2=1，再将所求的代数式转化，把以上两式代入即可求值【详解】由题意可知：x1+x2=3，x1x2=1，∴原式=x1x2(x1+x2)=1×3=3．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值的问题，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．3．(本题3分)关于x的一元二次方程x2-（k+4）x+2k=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．有实数根 D．没有实数根【答案】B【解析】【分析】先根据根的判别式求出“”，再判断的符号即可得到答案．【详解】∵∴＞0∴方程有两个不相等实数根．故选：B．【点睛】本题是对根的判别式的考查，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．4．(本题3分)下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值即可求解．【详解】A.，故错误；B.，故错误；C.，正确；D.∵，∴无意义；故选C．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值．5．(本题3分)若的一边为4，另两边同时满足方程，则的周长（）A．为10 B．为11 C．为12 D．不确定【答案】A【解析】【分析】设的两个根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可以得出x1+x2=6，进而求三角形的周长即可．【详解】解：设的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2===6，∴的周长为x1+x2+4=6+4=10．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题的关键．6．(本题3分)如果，那么代数式的值为（）A．-3 B．-1 C．1 D．3【答案】D【解析】【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：原式=∴原式=3，故选D.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．(本题3分)甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据“甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等”，列出方程即可．【详解】解：根据题意得：，故选B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．8．(本题3分)若分式方程无解，则m的值为（）A．－1 B．－3 C．0 D．－2【答案】B【解析】试题解析：去分母得：3x=m+2（x+1），

解得：x=m+2．

m+2+1=0，

解得：m=-3．

故选B．9．(本题3分)方程的解为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先把分式方程去分母，去括号再移项，最后系数化为1，即可得到答案；【详解】解：去分母得：，即：，移项：，系数化为1解得：，经检验，是分式方程的解.故选B．【点睛】本题主要考查了解分式方程，需要注意解分式方程的步骤，去分母是解分式方程的关键．10．(本题3分)对于实数、，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是通常的四则运算．若，则x的值为（）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可．【详解】根据题中的新定义化简得：，去分母得：12﹣6x=27+9x，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．故选B．【点睛】本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．二、填空题(共24分)11．(本题3分)代数式有意义，则x的取值范围是__．【答案】x＞1【解析】【分析】根据被开方式大于零列式解答即可.【详解】解：由题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1，故答案为x＞1．【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．12．(本题3分)化简的结果是________.【答案】【解析】【分析】先通分，然后进行分式的加减计算即可.【详解】==，故答案为：.【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母加减法的运算法则是解题的关键.13．(本题3分)如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当y＝﹣1时，n＝_____．【答案】-1．【解析】【分析】首先根据题意，可得：x2+2x＝m，2x+3＝n，m+n＝y；然后根据y＝﹣1，可得：x2+2x+2x+3＝﹣1，据此求出x的值是多少，进而求出n的值是多少即可．【详解】根据题意，可得：x2+2x＝m，2x+3＝n，m+n＝y，∵y＝﹣1，∴x2+2x+2x+3＝﹣1，∴x2+4x+4＝0，∴（x+2）2＝0，∴x+2＝0，解得x＝﹣2，∴n＝2x+3＝2×（﹣2）+3＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】此题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择适合的解法是解题的关键.14．(本题3分)已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于_____．【答案】2021【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出，再结合原方程可知，由此进一步求解即可.【详解】∵a是一元二次方程的一个根，∴，再由根与系数的关系可知：，∴a2+2b−3＝a2−2a+2a+2b−3，＝2020+2(a+b)−3＝2020+2×2−3＝2021，故答案为：2021.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的性质与根与系数的关系的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.15．(本题3分)小王的月工资由固定工资与浮动工资两部分组成，固定工资每月2000元，浮动工资逐月增长，每月增长的百分率相同，已知他1月份浮动工资为1000元，3月份的月工资为3440元，则小王2月份的月工资为________元．【答案】3200【解析】【分析】设浮动工资每月增长的百分率为x，根据1月份浮动工资×（1+增长百分率）2=3月份浮动工资，求出x的值，从而求出2月浮动工资，利用固定工资+2月浮动工资即可求出小王2月份的月工资.【详解】设浮动工资每月增长的百分率为x，1000（1+x）2=3440-2000，解得x1=20%，x2=-220%（舍去），∴2月浮动工资：1000（1+20%）=1200元，∴小王2月份的月工资为2000+1200=3200元.故答案为：3200.【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用-百分率问题，熟记增长率的计算公式是解题的关键.16．(本题3分)关于x的分式方程的解是负数，则的取值范围是_______．【答案】k＞－1且k≠0【解析】【分析】【详解】解：分式方程去分母得：k=-x-1，即x=-1-k，根据分式方程解为负数，得到-1-k＜0，解得：k＞-1，∵x+1≠0，∴x≠-1，∴k≠0，∴k＞-1，k≠0故答案为：k＞－1且k≠017．(本题3分)已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为________.【答案】k<6且k≠3【解析】分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．详解：，方程两边都乘以（x-3），得x=2（x-3）+k，解得x=6-k≠3，关于x的方程程有一个正数解，∴x=6-k＞0，k＜6，且k≠3，∴k的取值范围是k＜6且k≠3．故答案为k＜6且k≠3．点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．18．(本题3分)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于_______．【答案】2.【解析】【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．【详解】解：根据题意得：△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，整理得：4ac﹣8a＝﹣4，4a（c﹣2）＝﹣4，∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a得：，则，故答案为2．【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．三、解答题(共66分)19．(本题6分)（1）计算：；（2）解方程：．【答案】（1）-1；（2），．【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂、负数绝对值，代入三角函数值、化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可；（2）先将原方程化为一般形式，再利用因式分解法求解即可.【详解】（1）（2）整理得：，，，，，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选取合适的方法、简便的方法是解题的关键，同时还考查了实数的混合运算.20．(本题6分)先化简，再求值：，其中是方程的一个根．【答案】；【解析】【分析】先计算异分母分式的减法，再计算分式除法，约分化简后解方程得到x的值代入计算.【详解】原式，解得或4.，.∴原式.【点睛】此题考查分式的化简求值、解一元二次方程，正确计算分式的混合运算是解题的关键.21．(本题6分)解方程：【答案】x＝－4.【解析】【分析】首先去分母，化为整式方程，求出解，然后合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验求得的结果是否使原分式有意义，即可得到结果【详解】去分母，得2x2－8＝x2－2x移项、整理得x2＋2x－8＝0.解这个方程，得x1＝2，x2＝－4.经检验：x＝2是增根，舍去；x＝－4是原方程的根。所以，原方程的根是x＝－4.【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则22．(本题8分)已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是3，求的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m=2或m=-2，另一个根为x=0．【解析】【分析】（1）把方程整理成一元二次方程的一般形式，表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）设另一个根为x，根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案．【详解】（1）∵，∴x2-3x+2-|m|=0，∴判别式△=9-4（2-|m|）=1+4|m|＞0，∴无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）设另一个根为x，∵x2-3x+2-|m|=0，方程的一个根是3，∴x+3=3，3x=2-|m|，解得：x=0，m=2或m=-2，∴m=2或m=-2，另一个根为x=0．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=，根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根；熟练掌握韦达定理是解题关键．23．(本题9分)中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？【答案】（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒【解析】【分析】（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元，根据“4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒”列出分式方程解答，并检验即可；（2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒，根据题意，表达出打折前后，A，B两种茶叶的利润，列出方程即可解答．【详解】解：（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元．根据题意，得．解得．经检验：是原方程的根．∴（元）．∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．（2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒．打折前A种茶叶的利润为．B种茶叶的利润为．打折后A种茶叶的利润为．B种茶叶的利润为0．由题意得：．解方程，得：．∴（盒）．∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．【点睛】本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程，并注意分式方程一定要检验．24．(本题10分)某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．【答案】（1）98（万元）；（2）20万元【解析】【分析】（1）根据售价计算销售量，即可求出利润；（2）设每辆汽车降价x万元，根据已知条件列出方程解答即可.【详解】（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：×1+8＝14，则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）；（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，解得x1＝1，x2＝5，当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），答：每辆汽车的售价为20万元．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解销售数量与销售价之间的关系是解题的关键.25．(本题10分)推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．【答案】（1）甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元；（2）①甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能；②当甲平整52天，乙平整2天时，费用最低，最低费用为107000元【解析】【分析】（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，构建方程求解即可．（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②把问题转化为不等式解决即可．②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，利用函数的性质解答即可．【详解】（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，由题意，＝，解得x＝2000，经检验，x＝2000是分式方程的解．答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．故答案为甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元；（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②，由①得到y＝80﹣1.5x③，把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，解得，x≥40，∵y＞0，∴80﹣1.5x＞0，x＜53.3，∴40≤x＜53.3，∵x，y是正整数，∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8，或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2．∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．故答案为共有7中可能；②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，∵﹣250＜0，∴w随x的增大而减小，∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）．答：最低费用为1070