数学史第七节课

中外数学发展史上海市市东中学杨锋第七讲希腊数学——之“阿波罗尼奥斯与圆锥曲线

”

1阿波罗尼奥斯生平简介阿波罗尼奥斯(ApolloniusofPerga)，约公元前262一公元前l90年)大约是在阿基米德(Archimedes)诞生之后25年出生在小亚细亚西北部的城市别加(Perga)。由于在希腊叫阿波罗尼奥斯的学者较多，所以常称他为别加的阿波罗尼奥斯。2据数学家帕波斯记载，他为森密斯的天文学家阿利斯塔克(AristarchusofSamos，约公元前310—前230)的声望所吸收，在青年时代去亚里山大里亚城，向欧几里得(Euclid)的学生们学习数学。3他曾访问帕加马王国(小亚细亚西北)的佩尔加蒙(Pergamum)。在那里有新建的大学和图书馆。在那儿他结识了亚里士多德(Aristotle)的学生、数学家欧德莫斯和国王阿塔拉斯(Attalus)一世。阿波罗尼奥斯将自己的著作《圆锥曲线》的前三卷和后五卷分别献给了他们两人。4阿波罗尼奥斯的主要著作是关于圆锥曲线的。我们知道在阿波罗尼奥斯之前早就有人研究圆锥曲线了。阿利斯塔克和欧几里得都写过这方面的书，在阿基米德的论著中也有这方面的一些结果。然而阿波罗尼奥斯做了去粗取精和使之系统化的工作。他的《圆锥曲线》除了综合前人的成就之外，还包含有独到的创见材料，而且写得巧妙、灵活，组织得非常出色。5就成就而言，它在几何发展史上是一个巍然屹立的丰碑，是古典希腊几何的登峰造极之作。《圆锥曲线》一问世，立即被奉为“权威”，常被后世作者所引用。在《圆锥曲线》一书中已见坐标制思想的端倪，他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标。这给后世坐标几何的建立以很大的启发。6阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的几何性质有深刻的理解，并将抛物镜面能将平行于轴的光束聚集于焦点处的性质应用于光学而写了一本《取火镜》。他在天文学方面也颇有建树，证明了求行星留点的方法，成功地将几何学应用于天文学。7阿波罗尼奥斯和欧几里得一样，吸收了古典时期学者们数学工作的精华，并将自己研究的新成果融合于其中。他共写了7本数学著作，其中最著名、最重要的是《圆锥曲线》一书。8《圆锥曲线》一书分8篇共含487个命题。这8篇著作，前4篇是从12一13世纪的希腊手稿复制出来的。复制时，由帕波斯增加了一条预备定理。而欧托基奥斯就前4篇进行了编辑和评论，其后3篇是从1290年的阿拉伯译本转译的。第8篇已失传，到17世纪则由哈雷根据帕波斯书中的启示编写成一个整理本。9

欧几里得及阿基米德都像柏拉图派学者万奈赫莫斯最早所提出的那样，把圆锥曲线看成是从3种正圆锥割出的曲线。(如图1，用一个平面以垂直于某一母线的方向分别去截顶角是锐角、直角和钝角的3种直圆锥，那么就会得出3种不同的圆锥曲线。)据悉，欧几里得和阿基米德都知道，从直角与锐角的直圆锥也能割出椭圆，阿基米德还知道有些与斜圆锥上所有母线都相交的平面能在其上截出椭圆。10然而，阿波罗尼奥斯是第一个依据同一个(正的或斜的)圆锥的截面来讨论圆锥曲线理论的人。阿波罗尼奥斯指出，同一个圆锥，只要改变截面的位置就可产生3种圆锥曲线(如图2)。他也是第一个发现双曲线有两支的人。11/cnet/dynamic/maintain/item/accessory/1098403860906.swf1213圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线

圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。14椭圆，双曲线，抛物线的定义1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：。2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即：。3.抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。151.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：。162.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即：173.抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。18《圆锥曲线》的第1篇通过几何作图得到关于圆锥曲线的定义和基本性质，并首次引入齐曲线(现在称之为抛物线)、亏曲线(现在称之为椭圆)和超曲线(现在称之为双曲线)的新名称，取代了之前的直角圆锥曲线、锐角圆锥曲线和钝角圆锥曲线的叫法。第1篇中还论述了圆锥曲线的切线。19《圆锥曲线》的第2篇论述了双曲线的渐近线的作法和性质，以及如何求一圆锥曲线的直径、有心圆锥曲线的中心及抛物线、有心圆锥曲线的轴。20《圆锥曲线》的第3篇论述了关于切线与直径所成图形的面积的定理。其中有一定理是“圆的两条相交弦各自被交点所分成的两段相乘其积相等”的定理在非圆的一般圆锥曲线上的推广：如图3，OP与OQ是圆锥曲线的切线，若该圆锥曲线的一弦及名平行于OP，而另一弦RˊSˊ平行于OQ，且RS与RˊSˊ或其延长线相交于J，则有21《圆锥曲线》的第3篇还论述了圆锥曲线的极点与极线的所谓调和性质以及有心圆锥曲线的焦点的性质。22《圆锥曲线》第4篇论述了极点和极线的其他性质以及各种位置的圆锥曲线可能有的交点数目。阿波罗尼奥斯在此证明了两圆锥曲线至多相交于四黑。23《圆锥曲线》的第5篇确有其新颖和独到之处。它论述了从任一给定圆锥曲线所在平面上的点O到圆锥曲线所能作的最长和最短的线。阿波罗尼奥斯还证明了如若OP为O点到圆锥曲线的最长或最短线，P为该线与圆锥曲线的交点，则过P且与OP垂直的直线必为圆锥曲线的切线。24当O在圆锥曲线内时，延长OP到圆锥曲线外任一点Oˊ，则OˊP必为Oˊ点到该圆锥曲线的极小线。我们知道，现今称切线在切点处的垂线为法线，故阿波罗尼奥斯所言极大、极小线均为法线。随后，阿波罗尼奥斯考察了法线的性质，并指出从圆锥曲线内部或外部的给定点作法线的方法以及能作二、三或四条法线的点相对圆锥曲线的位置。25《圆锥曲线》的第6篇讲述全等圆锥曲线、相似圆锥曲线及圆锥曲线弓形。这弓形也象圆的弓形一样被定义为圆锥曲线的弦所割出的一部分面积。这一篇还给出怎样在一给定的直角圆锥上作出与已知圆锥曲线相等的圆锥曲线。26《圆锥曲线》的第7篇讲述了有心圆锥曲线两共轭直径的性质。

已失传的第8篇，从帕波斯的书中所讲的来看，也许是关于怎样定出有心圆锥曲线的共轭直径，使其长度的某些函数具有给定的值。27

帕波斯的书中还提到阿波岁尼奥斯的其他6部数学著作。其中《论切触》，它的内容是由韦达重新整理出来。该书中含有著名的阿波罗尼奥斯问题：任给三点、三线或三圆，或点、线、圆共同集中的任意三者，求作一个圆过选定的点、而与选定的直线、圆相切。后来的许多数学家研究过这个问题，包括韦达和牛顿都给出了这个问题的解。28阿波罗尼奥斯在《论点火镜》一书中，论述了抛物镜面能把焦点处发出的光反射成平行于镜面轴的光束的特性；反之，若射于镜面的光线平行于轴，则光线由抛物镜面反射后就聚