数字逻辑设计第四章

第4章组合逻辑设计原理逻辑代数基础组合电路分析组合电路综合数字逻辑设计及应用1基本概念逻辑电路分为两大类：组合逻辑电路（combinationallogiccircuit）时序逻辑电路（sequentiallogiccircuit）任何时刻的输出仅取决与当时的输入任一时刻的输出不仅取决与当时的输入，还取决于过去的输入序列电路特点：无反馈回路、无记忆元件24.1开关代数(两值代数系统)1、公理若X

1,则X=0若X

0,则X=1

0’=11’=00·0=01+1=11·1=10+0=00·1=1·0=01+0=0+1=1F=0+1·(0+1·0’)’=0+1·1’=032、单变量开关代数定理自等律：X+0=XX·1=X0-1律：X+1=1X·0=0还原律：(X’)’=X同一律：X+X=XX·X=X互补律：X+X’=1X·X’=0变量和常量的关系变量和其自身的关系43、二变量或三变量开关代数定理与普通代数相似的关系交换律

A·B=B·AA+B=B+A结合律

A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A·(B+C)=A·B+A·CA+B·C=(A+B)·(A+C)5几点注意不存在变量的指数A·A·A

A3允许提取公因子AB+AC=A(B+C)没有定义除法

ifAB=BC

A=C??没有定义减法

ifA+B=A+CB=C??A=1,B=0,C=0AB=BC=0,A

CA=1,B=0,C=1错！错！6一些特殊的关系吸收律X+X·Y=XX·(X+Y)=X组合律X·Y+X·Y’=X(X+Y)·(X+Y’)=X添加律（一致性定理）X·Y+X’·Z+Y·Z=X·Y+X’·Z(X+Y)·(X’+Z)·(Y+Z)=(X+Y)·(X’+Z)7对上述的公式、定理要熟记，做到举一反三(X+Y)+(X+Y)’=1A+A’=1X·Y+X·Y’=X(A’+B)·(A·(B’+C))+(A’+B)·(A·(B’+C))’=(A’+B)代入定理：在含有变量X的逻辑等式中，如果将式中所有出现X的地方都用另一个函数F来代替，则等式仍然成立。8证明：X·Y+X’·Z+Y·Z=X·Y+X’·ZY·Z=1·Y·Z

=(X+X’)·Y·ZX·Y+X’·Z+(X+X’)·Y·Z=X·Y+X’·Z+X·Y·Z+X’·Y·Z=X·Y·(1+Z)+X’·Z·(1+Y)=X·Y+X’·Z94、n变量定理广义同一律X+X+…+X=XX·X·…·X=X香农展开定理10证明：

A·D+A’·C+C·D+A·B’·C·D=A·D+A’·C=A·(1·D+1’·C+C·D+1·B’·C·D)+A’·(0·D+0’·C+C·D+0·B’·C·D)=A·(D+C·D+B’·C·D)+A’·(C+C·D)=A·D·(1+C+B’·C)+A’·C·(1+D)=A·D+A’·C114、n变量定理摩根定理——反演定理(A·B)’=A’+B’(A+B)’=A’·B’12反演规则：与或，01，变量取反遵循原来的运算优先次序不属于单个变量上的反号应保留不变例1：写出下面函数的反函数F1=A·(B+C)+C·DF2=(A·B)’+C·D·E’合理地运用反演定理能够将一些问题简化例2：证明(A·B+A’·C)’=A·B’+A’·C’13合理地运用反演定理能够将一些问题简化证明：AB+AC=AB+ACAB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)AA+AC+AB+BCAC+ABAC+AB+BC145、对偶性对偶规则与或；01变换时不能破坏原来的运算顺序（优先级）对偶原理若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等例：写出下面函数的对偶函数F1=A+B·(C+D)F2=(A’·(B+C’)+(C+D)’)’X+X·Y=XX·(X+Y)=XFD(X1,X2,…,Xn

,+,·,’)=F(X1,X2,…,Xn

,·,+,’)155、对偶性证明公式：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)AB+AC16对偶和反演对偶：FD(X1,X2,…,Xn

,+,·,’)=F(X1,X2,…,Xn

,·,+,’)反演：[F(X1,X2,…,Xn

,+,·)]’=F(X1’

,X2’,…,Xn’

,·,+)[F(X1,X2,…,Xn)]’=FD(X1’

,X2’,…,Xn’

)正逻辑约定和负逻辑约定互为对偶关系17正逻辑约定和负逻辑约定互为对偶关系G1ABFABFLLLLHLHLLHHH电气功能表ABF000010100111正逻辑约定ABF111101011000负逻辑约定正逻辑：F=A·B负逻辑：F=A+B18举重裁判电路Y=F(A,B,C)=A·(B+C)&≥1ABCY逻辑函数逻辑图主裁判A,副裁判B,C1表通过,0表不通过指示灯Y:1表成功,0表不成功00000111000001010011100101110111ABCY真值表逻辑函数及其表示方法19逻辑表达式真值表Y=A+B’·C+A’·B·C’0000010100111001011101

11ABCB’·CA’·B·C’Y110000000111111000000100“积之和”表达式“与-或”式20逻辑表达式真值表Y=(B’+C)·(A’+B+C’)000001010011100101110111ABCB’+CA’+B+C’Y001111110111111111110000“和之积”表达式“或-与”式21真值表

逻辑表达式A’·B·C00000010010001111000101111011110ABCF真值表A·B’·CA·B·C’F=A’·B·C+A·B’·C+A·B·C’0

反变量1

原变量乘积项：“积之和”表达式“与-或”式22真值表

逻辑表达式11101111G00000010010001111000101011001110ABCF真值表(A’·B·C)’=A+B’+C’F=A’·B·CG=(A+B’+C’)0

原变量1

反变量23真值表

逻辑表达式00010011010001111000101111011111ABCF真值表A+B’+CA’+B+CF=(A+B’+C)·(A’+B+C)0

原变量1

反变量求和项“和之积”表达式“或-与”式246、逻辑函数的标准表示法最小项——n变量最小项是具有n个因子的标准乘积项n变量函数具有2n个最小项全体最小项之和为1任意两个最小项的乘积为0A’·B’·C’A’·B’·CA’·B·C’A’·B·CA·B’·C’A·B’·CA·B·C’A·B·C乘积项256、逻辑函数的标准表示法最大项——n变量最大项是具有n个因子的标准求和项n变量函数具有2n个最大项全体最大项之积为0任意两个最大项的和为1A+B+CA+B+C’A+B’+CA+B’+C’A’+B+CA’+B+C’A’+B’+CA’+B’+C’求和项26A’·B’·C’A’·B’·CA’·B·C’A’·B·CA·B’·C’A·B’·CA·B·C’A·B·C最小项m0m1m2m3m4m5m6m700000011010201131004101511061117ABC编号A+B+CA+B+C’A+B’+CA+B’+C’A’+B+CA’+B+C’A’+B’+CA’+B’+C’M0M1M2M3M4M5M6M7最大项27最大项与最小项之间的关系①、

Mi=mi’；mi=Mi’；③、一个n变量函数，既可用最小项之和表示，也可用最大项之积表示。两者下标互补。②、某逻辑函数F，若用P项最小项之和表示，则其反函数F’可用P项最大项之积表示，两者标号完全一致。2811101001G00000010010001111000101111011110ABCF(A’·B·C)’=A+B’+C’(A·B’·C)’=A’+B+C’(A·B·C’)’=A’+B’+C标号互补2900000010010101101001101011001111ABCF课堂练习：分别写出下面逻辑函数的

最小项之和最大项之积的表示。306、逻辑函数的标准表示法真值表乘积项、求和项“积之和”表达式“和之积”表达式n变量最小项n变量最大项——最小项之和——最大项之积标准和标准积31用标准和的形式表示函数：F(A,B,C)=A·B+A’·C利用基本公式A+A’=1缺什么补什么F(A,B,C)=A·B+A’·C

=A·B·(C+C’)+A’·C·(B+B’)=A·B·C+A·B·C’+A’·B·C+A’·B’·C111110011001=

A,B,C(1,3,6,7)32G(A,B,C)=(A+B)·(A’+C)

=(A+B+C·C’)·(A’+C+B·B’)注意分配率=(A+B+C)·(A+B+C’)·(A’+B+C)·(A’+B’+C)000001100110=

A,B,C(0,1,4,6)33补充：同或、异或异或——当两个输入相异时，结果为1。同或——当两个输入相同时，结果为1。F=A

B=A’·B+A·B’F=A⊙B=A·B+A’·B’ABF000011101110异或ABF001010100111同或A

B=(A⊙B)’34基本公式——异或交换律：A

B=B

A结合律：A(BC)=(AB)C分配律：A·(BC)=(A·B)(A·C)因果互换关系

A

B=C

A

C=B

B

C=AA

B

C

D=0

0

A

B

C=D35基本公式——异或变量和常量的关系

AA=0AA’=1A0=AA1=A’多变量异或运算——结果取决于变量为1的个数A0

A1…An=

1变量为1的个数是奇数0变量为1的个数是偶数36基本公式——同或交换律：A⊙B=B⊙A结合律：A⊙(B⊙C)=(A⊙B)⊙C不满足分配律：A(B⊙C)≠AB⊙AC因果互换关系A⊙B=C

A⊙C=B

B⊙C=A37基本公式——同或变量和常量的关系A⊙A=1A⊙A’=0A⊙1=AA⊙0=A’多变量同或运算——结果取决于变量为0的个数A0⊙A1⊙…⊙An=

1变量为0的个数是偶数0变量为0的个数是奇数38异或和同或的关系偶数个变量的同或和异或——互反

A

B=(A⊙B)’A

B

C

D=(A⊙B⊙C⊙D)’奇数个变量的同或和异或——相等

A

B

C=A⊙B⊙CA

B’=A⊙BA

B=A⊙B’394.2组合电路分析给出组合电路的逻辑图，分析电路的功能——通过获得逻辑函数的形式来分析ABFA’B’(A’·B’)’(A·B)’F=[(A’·B’)’·(A·B)’]’=A’·B’+A·B=A

B404.2组合电路分析分析步骤：由输入到输出逐级写出逻辑函数表达式对输出逻辑函数表达式进行化简（列真值表或画波形图）判断逻辑功能41化简逻辑函数什么是最简公式法化简卡诺图化简项数最少每项中的变量数最少42公式法化简并项法：利用A·B+A·B’=A·(B+B’)=A吸收法：利用A+A·B=A·(1+B)=A消项法：利用A·B+A’·C+B·C=A·B+A’·C消因子法：利用A+A’·B=A+B配项法：利用A+A=AA+A’=143公式法化简——并项法=B’+C·D=A=B·(C’+C)利用A·B+A·B’=AF1=A·(B·C’·D)’+A·B·C’DF2=A·B’+A·C·D+A’·B’+A’·C·DF3=B·C’·D+B·C·D’+B·C·D+B·C’·D’=A·[(B·C’·D)’+B·C’·D]=B·(C’·D+C·D’+C·D+C’·D’)=B44[X’·Y’]’=X+Y公式法化简——吸收法利用A+A·B=AF1=(A’·B+C)·A·B·D+A·D=A·D·[1+B·(…)]F2=A·B+A·B·C’+A·B·D+A·B·C·D’=A·B·(1+C’+D+C·D’)=A·B？？？？？F3=A+[A’·(B·C)’]’·[A’+(B’·C’+D’)’]+B·C[A’·(B·C)’]’=A+B·C=A+(A+B·C)·[…]+B·C=A+BC=A·D45公式法化简——消项法利用：A·B+A’·C+B·C=A·B+A’·CY1=A·C+A·B’+B’·C’=A·C+B’·C’Y2=A·B’·C·D’+(A’+B)·E+C·D’·EA’+B=[(A’+B)’]’=(A·B’)’=(A·B’)·C·D’+(A·B’)’·E+C·D’·E=(A·B’)·C·D’+(A·B’)’·EY3=A·B’+B·C’+C·D’+D·A’+A·C’+A’·C=A·B’+B·C’+C·D’+D·A’46公式法化简——消因子法利用A+A’·B=A+BY1=A·B’·C’·D+(A·B’·C’)’=D+(A·B’·C’)’Y2=A+A’·C·D+A’·B·C’=A+A’·(C·D+B·C’)=A+C·D+B·C’Y3=A·C+A’·D+C’·D=A·C+(A’+C’)·D=A·C+(A·C)’·D=A·C+D=A’+B+C+D47公式法化简——配项法利用A+A=A;A+A’=1Y1=A’·B·C’+A’·B·C+A·B·C=A’·B·C’+A’·B·C+A’·B·C+A·B·C=A’·B+B·CY2=A·B’+A’·B+B·C’+B’·C=A·B’+A’·B·(C+C’)+B·C’+B’·C·(A+A’)=A·B’+A’·B·C+A’·B·C’+B·C’+A·B’·C+A’·B’·C=A·B’+A’·C+B·C’48卡诺图表示逻辑函数YX0101021302641375——真值表的图形表示ZXY0001111001YZWX0000011110011110041215139371526141081149卡诺图表示逻辑函数00010010010001111000101111011110ABCFF=

(A,B,C)(0,3,5,6)10100101CAB0001111001例：填写下面两个函数的卡诺图F1=

(A,B,C)

(1,3,5,7)

F2(A,B,C)=A·C’+B·C·D’+B50卡诺图的特点逻辑相邻性：相邻两方格只有一个因子互为反变量合并最小项两个最小项相邻可消去一个因子四个最小项相邻可消去两个因子八个最小项相邻可消去三个因子2n个最小项相邻可消去n个因子51两个最小项相邻可消去一个因子111111ZXY0001111001YZWX000001111001111011111111X·Y·Z’+X·Y·Z=X·YX’·Y’·Z+X·Y’·Z=Y’·Z52ABCD000111100001111011111111111111ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ABD+ABD=BD四个最小项相邻可消去两个因子ZXY00011110011

1

1

11

1

1

153ABCD00

01

11

10000111101111111111110000AD’八个最小项相邻可消去三个因子F1=A·B·C+A·B·D+A·C’·D+C’·D’+A·B’·C+A’·C·D’54卡诺图化简化简函数：F2=

(A,B,C,D)(0,2,3,5,7,8,10,11,13)ABCD0001111000011110A’·B·DB·C’·DB’·CB’·D’1111111111、填图2、圈组3、读图，得到结果F2=A’·B·D+B·C’·D+B’·C+B’·D’55卡诺图化简步骤填写卡诺图可以先将函数化为最小项之和的形式圈组：找出可以合并的最小项组(圈)数最少、每组(圈)包含的方块数最多方格可重复使用，但至少有一个未被其它组圈过读图：写出化简后的乘积项消掉既能为0也能为1的变量保留始终为0或1的变量乘积项：0

反变量1

原变量56化简：F=

A,B,C,D(0,1,2,3,4,5,7,14,15)CDAB00

01

11

10000111101111111111、填图2、圈组3、读图F(A,B,C,D)=A’·B’+A’·C’+A’·D+A·B·C57CDAB00

01

11

100001111011111111111CDAB00

01

11

100001111011111111111化简结果不一定唯一（但代价相同）58CDAB00

01

11

1000011110111111CDAB00

01

11

1000011110111111注意：不要重叠至少有一个1未被圈过59CDAB00

01

11

10000111100000000简化“和之积”表达式0

原变量1

反变量A’+BA’+CF=(A+B’+C’+D)·(A’+C)·(A’+B)60“无关”输入组合有时组合电路的输出和某些输入组合无关F=

A,B,C,D(1,2,3,5,7)+d(10,11,12,13,14,15)CDAB00

01

11

1000011110dddddd11111F=A’·D+B’·CA’·DB’·Cd集（d-set）61多输出函数的最小化F1=

A,B,C(0,1,3)F2=

A,B,C(3,6,7)CAB00011110011

1

1

CAB0001111001

1

1

1

F1=A’·B’+A’·CF2=A·B+B·C62CAB00011110011

1

1

CAB0001111001

1

1

1

CAB00011110011

1

1

CAB0001111001

1

1

1

F1=A’·B’+A’·CF2=A·B+B·CF1=A’·B’+

A’·B·CF2=A·B+

A’·B·C634.3组合电路的综合根据给出的实际问题，求出实现这一逻辑功能的电路。进行逻辑抽象，得到真值表或逻辑函数式选择器件的类型逻辑化简或变换成适当的形式电路处理，得到电路图64正常工作状态故障状态1、进行逻辑抽象：输入变量：红R黄Y绿G三盏灯的状态灯亮为1，不亮为0输出变量：故障信号F

正常工作为0，发生故障为1例：设计一个监视交通信号灯工作状态的逻辑电路65正常工作状态1、进行逻辑抽象：输入变量：红R黄Y绿G三盏灯的状态灯亮为1，不亮为0输出变量：故障信号F

正常工作为0，发生故障为1例：设计一个监视交通信号灯工作状态的逻辑电路000001010011100101110111RYGF真值表1111166000001010011100101110111RYGF真值表111111、逻辑抽象2、用门电路设计写出逻辑函数式并化简F=R’·Y’·G’+R·Y+R·G+Y·GR’·Y’·G’R·YR·GY·GGRY00011110011

11

1

1673、电路处理F=R’·Y’·G’+R·Y+R·G+Y·G68问题描述4.3组合电路的综合逻辑抽象选定器件类型函数化简电路处理将函数式变