高中数学《幂函数》导学案

第：百,本初等;函数（【）

DIERZHANG2.3事函数

卜课前自主预习

1.幕函数的定义

鱼一般地，函数y=P叫做叫函数，其中％是自变量，a是常数.

2.幕函数y=K与指数函数丁=优（。〉0,且aWl）的区别

事函数IZy=K的底数为自变量，指数是常数;指数函数正好相

反,指数函数叵b=炉中，底数是常数，指数是自变量.

3.在同一平面直角坐标系内作出基函数y=x,y=f,y=%3,丁

=%错误!，的图象（如图）.

它们的性质如下表.

2I—1

哥函数y=^y=^),=X3y=z亍

因(一8,0)U

定义域ZR⑹R田[0,+8)

(0,+oo)

」｛yly£R

值域[9]R[T51]0,+8)血R圜[0,+8)

且

X

哥函数y=^y=x2产工亍,=]一】

回非奇

奇偶性以奇同一园奇「奇

非偶

⑳-£[0.固]共(0,

单调性gif，oc)增；团增国增+8)减;

■zG(-8,01减■ZG(-8,0)减

定点(1,1)

自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)函数y=V+2是幕函数.()

(2)幕函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点.()

(3)指数函数旷=炉(“>0,且“W1)的定义域为R,与底数。无关,

塞函数的定义域为R,与指数也无关.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.做一做

(1)若是幕函数，则机=.

(2)(教材改编P79T。已知幕函数八》=犬的图象经过点(2,8),则八一

2)=---------

(3)若)=6^是塞函数，则该函数的值域是.

答案(1)1(2)-8(3)(—8,+oo)

卜课堂互动探究

『释疑解难』

(1)暴函数的图象大致分为下表中的几类:

函数了=彳°定义域值域图象

—2R[0.48)

丁一73

«>1

_3

•V—彳RR

r

函数了=7。定义域值域图象

y="百RR

0<a<l

1[0,-8)[0,-8)

y

函数y=jra定义域值域图象

y

尸—{]LzWO}

0X

了=］一十(0,+8)(0,+8)V

a<00X

、y

—2

尸彳{.zzWO)(0,+8)2

LX

0

(2)幕函数与指数函数的区别

名称

式子

常数JC

指数函数了=aa为底数，a>0,且aKl指数氟值

幕函数y=jcaa为指数.aGR底数氟值

探究1基函数的定义

例1(1)在函数①y=n②y=%2,③y=21④y=l,⑤》=2/,

⑥y=x错误!中，是幕函数的是()

A.①②④⑤B.③④⑥

C.①②⑥D.①②④⑤⑥

2

（2）已知幕函数y=Q"一加-1）W-2“-3,求此事函数的解析式，并

指出其定义域.

解析（1）嘉函数是形如y=K（a为常数）的函数，①是a=-1的

情形，②是a=2的情形，⑥是a=一义的情形，所以①②⑥都是嘉函

数；③是指数函数，不是黑函数；⑤中的系数是2,所以不是募函

数；④是常函数，不是嘉函数.所以只有①②⑥是嘉函数.

2

（2）'.'y=（m2—m—l）yn~2m~3为基函数，

/.m2—m—1=1,解得m=2或机=—1.

当m=2时，一2/徨-3=—3,贝|y=%3,且有%/（）；

故机=—1时，m2—2m—3=0,则y=x°,且有无#0.

故所求塞函数的解析式为y=x-3或＞=%。，它们的定义域都是

{%户0}.

答案（1）C（2）见解析

拓展提升

判断函数是幕函数的依据

判断一个函数是否为黑函数的依据是该函数是否为y=K（a为常

数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为L

【跟踪训练1]⑴在函数y=2，y=2%2,y=x2-\-x,y=l中，

基函数的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

（2）已知y=（M+2加—2）x错误!+2”一3是塞函数，求加，〃的值.

答案（1）B（2）见解析

解析(l)；y=%=/2,所以是嘉函数；y=2%2由于出现系数2,

因此不是嘉函数；丫=9+%是两项和的形式，不是嘉函数；从y=l=

%。(%#0)可以看出，常函数y=l的图象比基函数y=%。的图象多了一

个点(0,1),所以常函数y=l不是寡函数.

：，+2机一2=1,[m=-3,

解得｛_3

(2)由题意得＜小2-1W0,

n

2n—3=0,[~r

所以m=­3,n=2-

探究2塞函数的图象及应用

例2塞函数y=%2,y=x~x,y=%错误!，y=x错误!在第一象限内

的图象依次是图中的曲线()

A.。2,C1,。3,。4

B.Ci>C3,Q,C4

C.C3，Cl,C1,C4

D.Ci,。4,Q,。3

解析由于在第一象限内直线％=1的右侧，嘉函数y=y的图象

从上到下相应的指数a由大变小，即福函数图象在第一象限内直线工

=1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故嘉函数y=%2在第一象

限内的图象为G,在第一象限内的图象为。4,y=x错误!在第一

象限内的图象为。2,y=x错误!在第一象限内的图象为C3.

答案D

拓展提升

事函数图象的特征

(1)在第一象限内，直线％=1的右侧，各得函数图象对应的指数

逆时针增大；在第一象限内，直线％=1的左侧，指数也呈逆时针增

大.

(2)嘉函数y=f,若a>0,在第一象限内函数单调递增；若a<0,

在第一象限内函数单调递减.

(3)图象的凹凸性：在第一象限内，当0<a<l,曲线上凸；当a>l,

曲线下凹；当a<0,曲线下凹.

【跟踪训练2】(1)如图是幕函数与在第一象限内

的图象，贝1]()

B.H<—l,O<m<l

C.—1<7?<0>m>l

D.n<—1,m>\

(2)已知函数y=x错误!.

①求其定义域；

②判断其奇偶性；

③已知该函数在第一象限内的图象如图所示，试补全图象，并由

图象确定单调区间.

答案(1)B(2)见解析

解析(1)在(0,1)内取％o,作直线1=祀，与各图象有交点，则“点

低指数大”.如图所示，0<m<l,n<—1.

(2)①7=4=编，定义域为实数集R.

②设y=/U)，因为八一%)=’(一助2=虹=/(%),且定义域关于坐

2

标原点对称，所以函数是偶函数.

③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y轴的对

称图象，即得函数y=x错误!的图象，如图所示.

根据图象易知，函数错误!在区间(0,+8)上是增函数，在区

间(一8,0］上是减函数.

探究3幕函数的性质及应用

例3比较下列各题中两个值的大小：

(1)2.3错误！，2.4错误！；

(2)(啦)错误！，(错误!)错误！；

(3)(—0.31)错误！，0.35错误!.

解(l)：y=x错误!为［0,+8)上的增函数，且2.3<2.4,

二.2.3错误!<2.4错误!.

(2):)=*错误!为(0,+8)上的减函数，且错误!(错误!，

二.(6)错误!〉(错误!)错误!.

(3)：y=x错误!为R上的偶函数，.*.(-0.31)错误！=0.31错误!.

又函数错误!为［0,+8)上的增函数，且0.31<0.35,

「.0.31错误!<0.35错误！，即(一0.31)错误!<0.35错误!.

拓展提升

比较大小的方法

比较易值的大小，关键是构造适当的函数：

(1)若指数相同，底数不同，则考虑嘉函数；

(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；

(3)若指数与底数都不同，则考虑借助中间量，这个中间量的底数

与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个

数就介于所比较的两数之间，进而比较大小.

【跟踪训练3】比较下列各组数的大小：

⑴眇与即5；

(2)—3.143与一兀3.

23

解⑴•.,>=正在［0,+8)上是增函数且不>；,

•二眇即

(2):丁=如是R上的增函数，且3.14<兀，

/.3.143<TI3,「.一3.143>—7t3.

例4若(3—2根)错误!>0+1)错误!，求实数"2的取值范围.

解因为y=x错误!在定义域［0,+8)上是增函数，

3—2m^0,

2

所以j120,解得一1

,3—2m>m+1,

故实数加的取值范围为［—1,|).

拓展提升

利用幕函数解不等式的步骤

利用募函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变

量的大小，常与嘉函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下：

(1)确定可以利用的信函数；

(2)借助相应的易函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自

变量的大小关系；

(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用.

【跟踪训练4】已知幕函数了=(病+加-5)廿2Per,当工£(0,

+8)时，y随X的增大而减小，求此事函数的解析式.

解,.,>=(=+m-5)/2是嘉函数，

m2+m—5=1,即(加-2)(m+3)=0,

'.m=2或m=—3.

当机=2时，2加一3=-3,y=%3是嘉函数，且满足当

(0,+8)时，y随％的增大而减小；

当/篦=—3时，m2—2m—3=12,>=%修是得函数，但不满足当％

£(0,+8)时，y随％的增大而减小，故舍去.

.,.y=%-3(%wo).

I既裳提加

简单鬲函数的性质

(1)所有幕函数在(0,+8)上都有定义，且图象都过点(1,1).

(2)如果a>0,幕函数图象过原点，在［0,+8)上有意义，且是

增函数.

(3)如果a<0,幕函数在％=0处无意义，在(0,十8)上是减函

数.

(4)在(1,+8)上，随基指数的增大，图象逐渐靠上.

卜随堂达标自测

1.下列函数是塞函数的是()

A.y=5xB.y=^

C.y=5xD.y=(x+l)3

答案B

解析函数)=5、是指数函数，不是嘉函数；函数y=5%是正比

例函数，不是零函数；函数y=(x+l)3的底数不是自变量％,故不是

黑函数；函数丁=^是寡函数.

2.设.=2。3,b=302,c=7。1,则a,b,c的大小关系为()

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<h<cD.c<h<a

答案A

解析«=203=8°-1,=30-2=9°-1,c=7°-1,由嘉函数y=/」在(0,

+8)上单调递增，可知c<a<0.

3.函数y=x错误!的图象大致是图中的()

答案B

解析...函数y=x错误!是奇函数，且。=错误!>1,...函数图象为

B.

4.已知幕函数/(%)的图象过点(4,2),则/3=-

答案乎

解析设募函数为y=K(a为常数).

...函数式幻的图象过点(4,2),.*.2=4%

/.a=1,.7/U)=X错误!，，描误!=错误!错误!=错误!.

5.已知幕函数y=Tm-9(m£N*)的图象关于y轴对称，且在区间

(0,+8)上是减函数，求八%)的解析式.

解I.寨函数)=户"一9在(0,+8)上是减函数，

/.3m—9<0,即wi<3.

又.\m=l,2.

又)=好”一9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数，

.,.3加一9是偶数..,.m=1.

:•八%)=/6(%*0).

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.下列命题中正确的是()

A.当a=0时，函数的图象是一条直线

B.塞函数的图象都经过（0,0）,（1,1）两点

C.若塞函数）=K的图象关于原点对称，则旷=非在定义域上是

增函数

D.幕函数的图象不可能在第四象限

答案D

解析当a=0时，函数的定义域为{4xW0,x£R},其图

象为两条射线，故A不正确；当a<0时，函数）=犬的图象不过（0,0）

点，故B不正确；得函数的图象关于原点对称，但其在定义

域内不是增函数，故C不正确；当了>0,a£R时，y=K>0,则嘉函

数的图象都不在第四象限，故D正确.

2.下列函数在（一8,0）上为减函数的是（）

A.y=x错误！B.y=%2c.旷=如D.y=x2

答案B

解析,:A,C项在（-8,0）上为增函数；D项中旷=%一2=%在

（—8,0）上也是增函数，故选B.

3.设。=仔|错误!，6=错误!错误!，C=错误!错误!，则。，h,C的大

小关系是（）

A.a>h>cB.c>a>b

C.a<b<cD.b>c>a

答案C

解析・函数在R上是减函数，又|>|,

..[I]错误!（错误!错误!，即a<b.又...函数y=%错误!在R上是增函数，

32⑶

且，仁）错误!,错误!错误！，即。>乩：.a<b<c.

4.若嘉函数旷=（病+3根+3）/2⑵厂3的图象不过原点，且关于原

点对称，则（）

A.m=~2B.m=­\

C.m=—2或机=—1D.-—1

答案A

解析根据箱函数的概念，得/+3m+3=1,解得机=—1或

加=-2.若加=-1,则y=/4,其图象不关于原点对称，所以不符合

题意，舍去；若根=—2,则>=%一3,其图象不过原点，且关于原点

对称.

5.在同一坐标系内，函数和y=ox—：的图象可能是

解析当a<0时，函数1是减函数，且在y轴上的截距

—!>0,y=d在(0,+8)上是减函数，「.A,D两项均不正确.对于

B,C两项，若a>0则y=ox—：是增函数，B项错误，C项正确，故

选C.

二'填空题

2

6.若黑函数y=(〃z2—m一1).支"-2机-1在(0,十8)上是增函数，则

答案T

解析由嘉函数的定义可知，"於一加一1=1,解得机=—1或机

=2,当m=-1时，)=/,在(0,+8)上是增函数，符合题意；当

机=2时，在(0,+8)上是减函数，不符合题意，所以m=一

1.

7.塞函数y=/i在［-4,一2］上的最小值为.

答案二

解析1在(-8,0)上单调递减，...y=x।在［―4,—2］

上递减，在［―4,—2］上的最小值是一宗

8.已知幕函数错误!，若勺(10—2”)，则Q的取值范

围是.

答案(3,5)

解析