高考数学多选题与热点解答题组合练及解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题

ln(x+l),x>0

1.已知函数/(x)=,幺—+1〉。’其中实数后,则下列关于X的方程")-(】+

a)-/(x)+a=O的实数根的情况，说法正确的有()

A.a取任意实数时，方程最多有5个根

B.当土更<.<匕好时，方程有2个根

22

c.当。=士正时，方程有3个根

2

D.当。4-4时，方程有4个根

【答案】CD

【分析】

先化简方程为/(x)=l或f(x)=a,再对。进行分类讨论，结合图象来确定/(x)=l或

/(幻=a分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.

【详解】

解：关于x的方程方(x)-(l+a)-〃x)+a=O,BP[/(X)-1][/(X)-«]=0,故/(x)=l或

/(x)=a.

ln(x+l),x>0z、

函数/(x)={2c,c中，x20,/(x)=ln(x+l)单调递增,

x—2cix+1,x<0

x<0,/(x)=x2-2ox+l=(x—a]+l—〃，对称轴为x=a,判别式

△=4(a+l)(a-l).

(1)当aNO时，函数/(x)图象如下:

由图象可知，方程/(x)=l有1个根，时方程/(>)=。有2个根，OKaWl时，方程

/(%)=。有1个根，故a>l时已知方程有3个根，0Wa<l时，已知方程有2个根，

”=1时已知方程有1个根；

(2)a=-l时，函数/(X)图象如下：

由两个图象可知，时，方程/(x)=l有2个根，方程/(X)=a没有根，故已

知方程有2个根；

故当土史时，1一/＜。，直线y=a如图①，方程/(x)=。有2个根，故已知

2

方程有4个根；

当4=二1苜时,1一6=4,直线如图②，方程有/(X)=a有1个根，故已知

2

方程有3个根；

当土且<a<—1时，1一〃>〃，直线y=a如图③，方程/(x)=a没有根，故已知

2

方程有2个根.

综上可知，a取任意实数时，方程最多有4个根，选项A错误；二匕叵<a<l时方程有

2

2个根，。=1时已知方程有1个根，时方程有3个根，故选项B错误；当

a=T一石时,方程有3个根，C正确；当4V土@时，方程有4个根，故D

22

正确.

故选：CD.

【点睛】

关键点点睛：

本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处1-/与。的关系，

以确定方程/(%)=a的根的情况，才能突破难点.

2.已知函数〃力=<若存在实数内使得/(“)=/[/(。)]，则0的个数

不是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】ABD

【分析】

令/(a)=f,即满足/«)=，对t进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满

足题意的3进而求得a

【详解】

令/(a)=f,即满足=f,转化为函数y=/。)与％=/有交点，结合图像

由图可知，/(r)=f有两个根/1=()或r=l

（1）当r=l,即“。）=1,由/（。）=彳2'1，得。=±1时，经检验均满足题意；

（2）当f=o,即/（。）=0,当421时，/（a）=2-a=0,解得：。=2；当a<l

时，f（a）=a2=0,解得：a=0；

综上所述：共有4个a.

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图像，利用数形结合的方法求解

3.已知函数y=/（x—l）的图象关于x=l对称，且对y=.f（x）,xeR,当

知/€（—8,0］时，―/（石）<0成立,若/（2磔）</（2/+1）对任意的xeR恒

成立，则。的可能取值为（）

A.-V2B.-1C.1D.72

【答案】BC

【分析】

由己知得函数f（x）是偶函数，在［0,+8）上是单调增函数，将问题转化为|2ar|<|2d+l|对

任意的xeR恒成立，由基本不等式可求得范围得选项.

【详解】

因为函数y=/（x-l）的图象关于直线x=1对称，所以函数y=/（x）的图象关于直线

%=o（即y轴）对称，所以函数fa）是偶函数.

又知々€（-8,0」时，/（上）二/（\）<0成立,所以函数/（X）在［0,+8）上是单调增函数.

々一西

且〃2ar）</（2f+1）对任意的1R恒成立，所以120rl<|2x2+l|对任意的xeR恒成

立，

当元=0时，o<i恒成立，当无/0时，|川<12£：1|。%+4|=|刈+a1,

|2x\2x2x

又因为|x|+|1|22卜卜氏1=拒,当且仅当|x|=等时，等号成立，

所以|a|<亚，因此一

故选：BC.

【点睛】

方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a>“X)恒成立(a>/(x)mix即可)

或恒成立(aW/(x)1nHi即可)；②数形结合(y=/(x)图象在y=g(x)上方

即可)；③讨论最值/(x)min>0或f(x)nm<0恒成立.

4.设xwR,用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数.

令/(x)=x—[司，以下结论正确的有()

A./(-1.1)=0.9B.函数/(x)为奇函数

C./(X+1)=/(%)+1D.函数/(x)的值域为[0,1)

【答案】AD

【分析】

根据高斯函数的定义逐项检验可得正确的选项.

【详解】

对于A,/(-1.1)=-1.1-[-1.1]=-1.1+2=0.9,故A正确.

对于B,取x=则/(一1.1)=0.9,而===

故〃所以函数/(x)不为奇函数，故B错误.

对于C,则/(x+l)=x+l-[x+l]=x+l-国=故c错误.

对于D,由C的判断可知，/(X)为周期函数，且周期为1，

当OWxWl时，则

当x=0时，则/(0)=0—[0]=0,

当0<x<l时，,f(x)=x-[x]=x-0=x,

当x=l时，/(x)=l-[l]=l-l=0,

故当OKxWl时，则有0W/(x)<l,故函数/(x)的值域为[0,1),故D正确.

故选：AD.

【点睛】

思路点睛：对于函数的新定义问题，注意根据定义展开讨论性质的讨论，并且注意性质讨

论的次序，比如讨论函数值域，可以先讨论函数的奇偶性、周期性.

5.已知Ax)是定义域为(一°o,y)的奇函数，f(x+l)是偶函数，且当xe(O,l]时，

f(x)=-x(x-2),则()

A.“X)是周期为2的函数B.42019)+42020)=-1

c./(X)的值域为[-1,1]D.y=/(x)在[0,2句上有4个零点

【答案】BCD

【分析】

对于A,由“X)为R上的奇函数，/(X+1)为偶函数，得了(4+x)=/(x),则“X)是

周期为4的周期函数，可判断A.

对于B,由〃X)是周期为4的周期函数，则“2020)="0)=0,

/(2019)=/(-1)=-/(1)=-1,可判断B.

对于C,当时，/(x)=-x(x-2),有又由〃X)为R上的奇函

数，则xe[-l,0)时，—lW/(x)V0,可判断C.

对于D,根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的

零点，可判断D.

【详解】

解：对于A,/(X+1)为偶函数，其图像关于X轴对称，把/(X+1)的图像向右平移1个

单位得到了(X)的图像，所以〃x)图象关于x=1对称，

即f(l+x)=/(l-X),所以f(2+x)=f(-x),

为R上的奇函数，所以“r)=-/(x),所以/(2+x)=—/(x),

用2+尤替换上式中的x得，/(4+x)=-/U+2),

所以，/(4+%)=/(%),则/(力是周期为4的周期函数.故A错误.

对于B,/(x)定义域为R的奇函数，则"0)=0,

/(x)是周期为4的周期函数，则“2020)="0)=0：

当xe(O,l]时，f(x)=-x(x-2),则〃1)=一lx(l-2)=l,

则〃2019)=f(-1+2020)=/(-1)=-/⑴=-1,

则/(2019)+/(2020)=-1.故B正确.

对于C,当XG(0,1]时,f(x)=-x(x-2),此时有0<〃力W1,

又由/(x)为R上的奇函数，则问-1,0)时,-l</(x)<0,

/(())=(),函数关于x=l对称，所以函数/(x)的值域[7,1].故C正确.

对于D,•••/(0)=0,且xe(O,l]时，f(x)=-x(x-2),

/.xe[0,1],f(x)=-x(x—2),

/.XG[1,2],2-xef0,l],f(x)=f(2-x)=-x{x-2)

①.“6[0,2]时，f(x)=-x(x-2),此时函数的零点为0,2；

・・,/0)是奇函数，，X6[-2,0],/")=%(》+2),

②二^^仁人卜九：/⑴的周期为人二工一壮卜幺。],

/(x)=/(x-4)=(x-2)(x-4),此时函数零点为4；

/(%)=/(》-4)=-(x-4)(x-6),此时函数零点为6；

④.♦.x«6,2乃]时，.”一4«2,4],/(x)=/(x—4)=(x—6)(x—8),此时函数无零

点；

综合以上有，在(。,2万)上有4个零点.故D正确；

故选：BCD

【点睛】

关键点点睛：由/(X+1)是偶函数，通过平移得到.f(x)关于％=1对称，再根据是奇

函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查

抽象函数的奇偶性、周期性.

2—4x—0K

6.已知函数/(x)=J|2['其中awR,下列关于函数/(x)的判断正确

x>1,

的为()

A.当a=2时，/(|)=4

B.当14<1时,函数“X)的值域[-2,2]

C.当a=2且时，/(力=2"(2一4x—]

D.当a>0时，不等式“外42屋—在[°，+8)上恒成立

【答案】AC

【分析】

对于A选项，直接代入计算即可；对于B选项，由题得当工€(相,加+1],〃2€^^时，

f^x)=amf(x-m),进而得当工€(加,〃?+1],〃2€“时，/(x)e(-2,2),故"x)的

值域(一2,2]；对于C选项，结合B选项得当。=2且x€[〃一l,〃](〃eN*)时，

〃x)=2"-"(x-〃+1)进而得解析式；对于D选项，取特殊值即可得答案.

【详解】

解：对于A选项，当a=2时，=一=4,故A选项正确；

对于B选项，由于当04x41,函数的值域为[0,2],所以当工£(〃2,〃2+1],相€"*时，

=由于,所以,f[0,2],因为同<1,所以

a,ne(-l,l),所以当xw(加,〃?+l],加wN*时，/(X)G(-2,2),综上，当时<1时，函

数的值域(一2,2],故B选项错误；

对于C选项，由B选项得当XW(〃2,/%+1],/〃€“时，f(x)-a'nf(x-tn),故当a=2

且xW”-1,矶〃wN*)时，

/(X)=2"T/(X_N+1)=2"T2-4x-n+l--

<2,

=2n-'(2-4x-n+-\=2"-'(2-4x-^:^-\,故C选项正确；

I2jI2)

13(3、31

对于D选项，取4=/，x=-,则二|=2-4：-彳=1,

28442

3JI|

2a弓=2田=2图*=2x(2*2x2y’不满足式"上2人，故D

选项错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根

据题意得当工€(〃7,〃7+1],相€"*时，/(X)=a"'/(X-〃Z),且当OWxWl,函数的值域

为[0,2],进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.

7.已知函数/(x)=X+L8⑴=公+士则下列结论中正确的是()

XX

A./(x)+g(x)是奇函数B./(X>g(X)是偶函数

C./(x)+g(x)的最小值为4D./(x>g(x)的最小值为2

【答案】BC

【分析】

利用奇偶性的定义可得A错B对；利用均值不等式可得C对；利用换元求导可得D错.

【详解】

+?+4

:/(x)+g(x)=x+-

Xx2

2

2+%+4

1・f(t)+g(r)=+(-X--)---+------rX4----

-x(HXXT

・•・/(%)+g(x)=/(-x)+g(-x)

・・・/(X)+g(X)是偶函数，A错;

1•,/(x)•g(x)=

x+lf+与

XX

/(-%)-g(-X)=f(x)-g(x)

.•./(x>g(x)是偶函数，B对;

vf(x)+g(x)=x+-+x2+-^>2+2=4,当且仅当》=，和/=乙时，等号成立,

XXXX

即当且仅当Y=1时等号成立，C对;

/(x).g(x)=x+1

令/=x+-(r>2),贝Ij/(x>g(x)=f•(/-2)=/—2f

••”@)逮(切'=3如一2,令3产-2>0,得>手或/<_当

.42时,/(x>g(x)单调递增

当，=2有最小值，最小值为4,D错

故选：BC.

【点睛】

本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较

高，难度较大.

8.对于具有相同定义域D的函数/(x)和g(x),若存在函数&(力=依+匕(k,b为常

数)，对任给的正数m,存在相应的小旺。，使得当xe。且x>x0时，总有

C；X，则称直线/：y=Ax+b为曲线y=〃x)与y=g(x)的"分渐近

0<hyxj-gyx)<m

线”,给出定义域均为。={x|X>1}的四组函数，其中曲线y=/(%)与y=g(x)存在"分

渐近线”的是()

A./(x)=%2,g(x)=&

B./(x)=i(r+2,g(x)=^z2

X

c\X2+1/\xlnx+1

c./(x)=------g(x)=—；------

X}nx

D./(同=言，g(x)=2(x-l—e-，)

【答案】BD

【分析】

根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数.

【详解】

解：/(X)和g(x)存在分渐近线的充要条件是％―8时，

/(%)-g(%)—。,JO)>g(x).

对于①,/(x)=x2,g(x)=«,

当尤>1时，4-F(X)=/(X)-^(X)=X2-A/X,

由于F(x)=2x—左>0,所以解司为增函数，

不符合Xf8时，/(x)-g(x)-O,所以不存在分渐近线；

对于②，/(x)=l(r+2>2,g(x)==^<2,(x>l)

•••f(x)>g(x),

小)、一"/、Ii。n-A.+2c一2x丁-3=((m1丫J3

因为当尤>1且时，/(X)-g(x)f0,所以存在分渐近线;

r2xlnx+1

对于③，/(%)=-g(x)=

Inx

“、，、x2+1x\nx+\111__

-g(x)=-------------=%+—

xInxxInxxInx

当x>i且x-»8时，_L与_L均单调递减，但■1的递减速度比快，

xInxxInx

所以当Xf8时，/(X)-g(x)会越来越小，不会趋近于0,所以不存在分渐近线;

0丫2

对于④，f(x)=——，g(尤)=2卜一1一e-),

x+\

当XfOO时，

2r222

f(x)-g(x)=--—2X+2+2"，='+0,且/(x)-g(x)>0,

x+\x+le'

因此存在分渐近线.

故存在分渐近线的是BD.

故选：BD.

【点睛】

本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.

9.已知/(X)是定义域为(-8,+8)的奇函数，/(%+1)是偶函数，且当xe(O,l］时，

/(x)=-x(x-2),贝ij()

A./(X)是周期为2的函数

B./(2019)+/(2020)=-1

C.“X)的值域为卜1,1］

D.“X)的图象与曲线y=cosx在(0,2兀)上有4个交点

【答案】BCD

【分析】

对于A,由“X)为R上的奇函数，/(X+1)为偶函数，得"x)=/(x—4),则“X)是

周期为4的周期函数，可判断A；

对于B,由/(X)是周期为4的周期函数，则”2()20)=/(0)=0,

/(2019)=/(-1)=-/(1)=-1,可判断B.

对于C当xe(O,l］时，/(x)=-x(x-2),有OV/(X)<1,又由/(X)为R上的奇函

数，则1,0)时，—1V/(X)VO,可判断c.

对于D,构造函数g(x)=/(x)-cosx,利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，

即可判断D.

【详解】

根据题意，

对于A,/(X)为R上的奇函数，/(%+1)为偶函数，

所以/(X)图象关于尤=1对称，/(2+X)=/(—X)=-/(%)

即/(%+4)=-/(x+2)=/(x)

则是周期为4的周期函数，A错误；

对于B,“X)定义域为R的奇函数，则/(0)=0,

/(x)是周期为4的周期函数，则/(2020)=/(0)=0；

当xe(O,l］时，/(x)=-x(x-2),则〃l)=Tx(l-2)=l,

则/(2019)=/(—1+2020)=/(—1)=—/(1)=—1,

则/(2019)+/(2020)=-1；故B正确.

对于C,当xe(O,l］时，/(x)=-x(x—2),此时有

又由/(X)为R上的奇函数，则xe［—1,0)时，-l</(x)<0,

/(0)=(),函数关于x=l对称，所以函数/(力的值域［一川.

故C正确.

对于D,•.•/(())=0,且尤w(O,l]时，/(x)=-x(x-2),

xG[0,l],/(%)=-x(x-2),

xe[l,2],2-xe[0,1],/(x)=/(2-x)=-x(x-2),

.-.xe[0,2],f(x)=-x(x-2),

・・,/(%)是奇函数，；/€[-2,0],/3=%(%+2),

••,/(%)的周期为4，，彳€[2,4],/(》)=(》一2)(》一4),

xe[4,6],/(%)=—(x—4)(x—6),

A：G[6,2TT],/(x)=(x-6)(x-8),

设g(x)=/(x)-cosx,

当xe[0,2],^(x)=-x1+2x—cosx,

g'(x)=-2x+2+sinx,

设h(x)=g'(x),%'(x)=-2+cosx<0在[0,2]恒成立，

〃(x)在[0,2J单调递减,即g'(x)在[0,2]单调递减,

且g'⑴=sin1>0,g'(2)=-2+sin2<0,

存在与G(l,2),g<Xo)=O,

xe(O,Xo),g'(x)>0,g(x)单调递增，

xe(x0,2),g'(x)<0,g(x)单调递减,

g(0)=-1,^(1)=1-cosl>0,gOo)>g⑴>0,g(2)=-cos2>0,

所以g(x)在(0,%)有唯一零点，在(％,2)没有零点，

即xe(0,2],“X)的图象与曲线y=cosx有1个交点，

当xe[2,4]时，，g(x)=/'(x)-cosx=f-6x+8-cosx,

则g'(x)=2x-6+sinx,=g'(x)=2x-6+sinx,

则"(x)=2+cosx>0,所以g'(x)在[2,4]上单调递增，

且g'(3)=sin3>0,g[2)=-2+sin2<0,

所以存在唯一的玉e[2,3]u[2,4],使得g<x)=0,

所以xe(2,xj,g<x)<0,8(尤)在(2,为)单调递减，

xe(x,,4),g'(x)>0,g(x)在(%],4)单调递增，

又g⑶=一1一cos3<0,所以g(xJ<g(3)<0,

又g(2)=-cos2>0,g(4)=-cos4>0,

所以g(x)在(2,xJ上有一个唯一的零点，在(%,4)上有唯一的零点,

所以当xe[2,4]时，/(x)的图象与曲线y=cosx有2个交点，，

当xe[4,6]时，同xe[0,2],〃x)的图象与曲线y=cosx有1个交点,

当x£[6,2乃],/(x)=(x—6)(x—8)<0,y=cosx>0,

/(x)的图象与曲线y=cosx没有交点，

所以/(X)的图象与曲线y=cosX在(0,2兀)上有4个交点，故D正确；

故选：BCD.

【点睛】

本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.

【答案】AD

【分析】

根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性.当人=1时，/(幻=""+"为偶函数,

当我=一1时，/(x)=eT-e,为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案.

【详解】

由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性.

当我=1时，/(x)=e7+e*为偶函数，

当X20时，且单调递增，而旷=，+1在te|1,+oo)上单调递增，

t

故函数/(幻=6-*+产在xe|0,+8)上单调递增，故选项C正确，。错误；

当A=-l时，/(x)=ef为奇函数，

当xNO时，r=且单调递增，而y=l-f在|1,+8)上单调递减，

t

故函数/(x)=e7-e，在xe[0,+8)上单调递减，故选项8正确，A错误.

故选:AD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知左=1

或左=一1,再判断函数的单调性.

二、导数及其应用多选题

11.对于定义城为R的函数/(x),若满足：①/(())=()；②当xwR,且x/0时，都

有矿(力>0；③当须<0</且IxJVzl时，都有/(。</(/)，则称/'(力为"偏对

称函数",下列函数是"偏对称函数"的是()

A.力(％)=-/B.力(x)=e、-x—1

ln(-x+l),x<0

D./1(x)=xsinx

2x,x>0

【答案】BC

【分析】

运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，

即可得到所求结论.

【详解】

解：经验证,工(X),f2(x),力(x),力(X)都满足条件①；

fx>0fx<0

xf'(x)>0<=>^，或《；

当再<0<%2且I$1<1々।时，等价于一/<玉<0<一玉<龙2，

即条件②等价于函数“X)在区间(-8,0)上单调递减，在区间(0,+8)上单调递增；

A中,/(%)=-1+12,//(x)=-3x2+2x,则当XHO时,由

2

xf,,(x)=-3x3+2x2=x2(2-3x)<0,得了之耳，不符合条件②，故工⑴不是"偏对称

函数”；

xxr

B中,f2(x)=e-x-l,f2\x)=e,当x>0时，e>1>夕(x)>0,当x<0

时，()<"<1，&'(x)<0,则当xoO时，都有我［x)>0,符合条件②，

函数人(力="一%-1在(―8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增，

由力(X)的单调性知，当一々<X1<。<一百<W时，人(%)〈人(一£)，

力(西)一力(*2)<八(一々)一人。2)=—64+e1+2X2，

令F(x)=-e'+e-*+2x,龙〉0,9⑶=-e'-1+24-2Je'.e=+2=0,

当且仅当/=二即x=0时，"="成立，

•・•下⑴在［0,+8)上是减函数，；.尸(士)〈尸(0)=0,即人符合条件③,

故人(x)是"偏对称函数"；

,ln(-x+l),x<01

C中，由函数力(x)=1'),当x<0时，力'(x)=——<0,当x>0时，

2x,x>0x-\

&(x)=2>0,符合条件②，

函数力(X)在(F,0)上单调递减，在(0,+")上单调递增，

有单调性知，当一/<芭<。<一X1<*2时，力(5)<启一声)，

设尸(x)=ln(x+l)-2x,x>0,则尸(x)=^——2<0,

X+1

/(X)在(0,+8)上是减函数，可得尸(x)<F(0)=0,

f(X[)-/(x2)<f(-x2)-/(x2)=ln(x,+l)-/(X2)=F(X2)<0,

即/(%)</(々)，符合条件③，故力(x)是"偏对称函数"；

D中,f4(x)=xsinx,则力(_%)=_次出(一力=力(尤)，则Z»(x)是偶函数，

而力'(x)=sinx+xcosx=JH?sin(x+e)(tane=x),则根据三角函数的性质可

知，当x>0时，A'。)的符号有正有负，不符合条件②，故/；(x)不是"偏对称函数"：

故选：BC.

【点睛】

本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与

划归思想，属于难题.

Y

12.已知函数f(x)=e',g(x)=l4+：1的图象与直线片m分别交于A、8两点，则()

A./(x)图像上任一点与曲线g(x)上任一点连线线段的最小值为2+历2

B.3n?使得曲线g(x)在B处的切线平行于曲线/(x)在A处的切线

C.函数/W-g(x)+m不存在零点

D.3m使得曲线g(x)在点B处的切线也是曲线/(x)的切线

【答案】BCD

【分析】

利用特值法，在/(x)与g(x)取两点求距离，即可判断出A选项的正误；解方程

尸(勿〃?)=g'(2e"[)，可判断出3选项的正误；利用导数判断函数y=f(x)-g(x)+m的单

调性，结合极值的符号可判断出。选项的正误；设切线与曲线y=g(x)相切于点C5,

g(〃))，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出。选项

的正误.进而得出结论.

【详解】

在函数/(x)=eX,g(x)=l〃：+(上分别取点P(0,l),Q(2,3,贝iJ|PQ|=SZ,而

2222

—<2+ln2(注ln2a0.7),故A选项不正确；

2

11

Qf{x)=ex,g(x)=lnx-+-,则/'(x)=e*,g'(x)=一，

22x

曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为=m,

MJ--1

曲线y=g(x)在点B处的切线斜率为g(2e2)=­r,

2en2

]_1111

令/'(/〃〃?)=g'(2eF，即加=不，即2〃「5=1，则加=万满足方程2族,=1，

2e2乙

使得曲线y=/(X)在4处的切线平行于曲线y=g(x)在B处的切线，8选项正确;

y1,1

构造函数尸(x)=/(x)-g(x)+机=e"-妨一+"—，可得产(x)=ex---,

22x

函数尸(x)=e*—2在(0,+8)上为增函数，由于kd)=&-2<0,F'(1)=e—1>0,

X6

则存在teg,1),使得F(f)=e'-；=O,可得t=

当0<X<f时，FUXO；当次>£时,F(X)>0.

F(x).=F(t)=d-iJ+m——=el-bit+zn4-ln2——

a222

1…1…137c八

=-+t+m+ln2——>2Jr--+m+ln2——=—+ln2+m>0,

/2V/22

・.・函数W=fM-g(x)+机没有零点,C选项正确；

设曲线y=/U)在点A处的切线与曲线y=g(x)相切于点C(n,gS)),

则曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y-rn=e'"m(x-Inin),BPy=mx+,

1n1

同理可得曲线y=g(x)在点C处的切线方程为y=-x+ln---

n22f

1

"i=一

.二,n,消去〃得〃2-(加-1)济加+加2+—=0,

机(1-Inm)=//7---

22

1r-11

令G(x)=x-(x-V)lwc+ln2+—,贝ljG'(x)=1------Inx=——Inx,

2xx

函数y=G'(x)在(0,+oo)上为减函数，QG'(1)=l>0,G'(2)=g-/〃2<0,

则存在se(l,2),使得G'(s)△—加=0,且

s3—e

当0cxes时、G'(x)>0,当x>s时，G'(x)<0.

函数y=G(X)在(2,+8)上为减函数，

517

QG(2)=->0,G(8)=万-20/〃2<0,

由零点存定理知，函数y=G(x)在(2,+o。)上有零点，

即方程机-("?一1)/〃相+/〃2+—=0有解.

2

・••玉77使得曲线y=/(x)在点A处的切线也是曲线y=g(x)的切线.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转

化思想和数形结合思想，属难题.

13.关于函数〃x)=2+lnx,下列判断正确的是()

A.x=2是/(%)的极大值点

B.函数y=/(》)-x有且只有1个零点

C.存在正实数3使得了(%)>丘恒成立

D.对任意两个正实数项，X,,且々>%，若/(3)=/(9)，则％+82>4

【答案】BD

【分析】

对于A,利用导数研究函数/(X)的极值点即可；

对于B,利用导数判断函数》=/(》)-x的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；

对于c,参变分离得到&二，构造函数g(x)=W+“X，利用导数判断函数

XXJCX

g(x)的最小值的情况；

对于D,利用“X)的单调性，由/(内)=/(9)得到0<%<2<々，令，

由=得％,+/=2；球2,所以要证为+%>4,即证2r-2-4rlnf>0,构

造函数即得.

【详解】

2]Y—2

A：函数/(x)的定义域为(0,+?),=+-=—>当xe(O,2)时，

XXX

/")<0,4X)单调递减，当xw(2,”)时，用工)>0,/(X)单调递增，所以

x=2是“X)的极小值点，故A错误.

B：y=f(x)-x=-+\nx-x,y'=-1=-A-f+2<0,所以函数在(0,+?)

XXX\)

上单调递减.又/(1)一l=2+lnl—1=1>0,/(2)-2=l+ln2-2=ln2-l<0,所以

函数y=/'(x)-x有且只有1个零点，故B正确.

oOY0]nv

C：若y(x)>依，即一+lnx>依，则左<-y+——.令g(x)=-y+——，贝I]

XXXXX

/(x)=心十元3xlnx令/z(x)=T+x-xln尤，则〃'(x)=-lnx,当尤£(0,1)时，

”(%)>0,〃(力单调递增，当X£(l,+8)时，”(x)v0,〃(x)单调递减，所以

C1

〃(£)"⑴=一3<0,所以曲勾<0,所以8⑺二福+?在(0,+?)上单调递减，

函数无最小值，所以不存在正实数M使得/(x)>丘恒成立，故C错误.

D：因为/(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+?)上单调递增，

x=2是“X)的极小值点.

・•・对任意两个正实数占，X2，且无2>玉，若/.(百)=/(工2)，则。<玉<2<々・

22

令，=」x■(，>1)，则々=3，由/(玉)=/(%2)，得一+lnX|=—+111工2，

---=lnx2-Inx,,即21三_')=山上，即2('-1)X|=其/,解得玉=@二II,

石西X2X1t\nt

2/(r-l)/z2t2-2

=tx.=-----，所以X+工2=-----.

Hnrtint

故要证司+々>4,需证占+看一4>0,需证3_i-4>0,需证〃z

t\ntt\nt

■：/=上>1,则"nt>0,

X

二.证2/一2-4"nr>0.令H(f)=2/-2-4八nf(r>1),"'(f)=4f-4Inf-4(f>1),

“"⑺=4一：=当2>0(/>1),所以⑺在(1,+?)上是增函数.

因为/.1时，则〃'⑺>0,所以H⑺在(1,+?)上是增函数.

因为ffl时，”(f)f0,则”(7)>0,所以2「-2-4flnf>0,

\'t\nt

二不+Z>4,故D正确.

故选：BD.

【点睛】

关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A、B的正

误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法

并构造函数，结合分析法、导数证明D选项结论.

14.对于函数〃x)=x2+or-lnx-a+l,其中aeR,下列4个命题中正确命题有()

A.该函数定有2个极值B.该函数的极小值一定不大于2

C.该函数一定存在零点D.存在实数。，使得该函数有2个零点

【答案】BD

【分析】

求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数.

【详解】

函数定义域是(0,+8),

由已知/'(x)=2x+a—L土竺二1,

XX

A=/+8>0，zV+ar-1=0有两个不等实根药,々，但%W=-g<0,项户?一正一

负.

由于定义域是(0,+8),因此尸")=0只有一个实根，/(幻只有一个极值，A错；

不妨设玉<0<%2，则0<%<彳2时，f\x)<0,/(X)递减，x>w时，f\x)>0,

/(%)递增.所以/(々)是函数的极小值.2*+”-1=0，。=匕注，

&

f(x2)=%2+以2-m%-+1=

-

尤；+1-—In------—+1=一尤；+2%Inx2----F2,

-/一X2

设8(x)=—%2+2x—Inx---F2,则g'(x)——2x+2---1—z-=(1—x)(2H—,

XXXx~

Ovxvl时,g\x)>0,g(x)递增,%>1时,gr(x)<0,g(x)递减，

所以g(x)极大值=g6=2,即g(九)<2,所以/(w)<2,B正确；

由上可知当/*)的极小值为正时，/(©无零点.C错；

fM的极小值也是最小值为/(/)=一只+2X2-1nx2---+2,

17

例如当工2=3时，a=---,/(x2)<0,x-0时，f(x)+oo,又

2、4172c1712/217、14„,217、

f(e)=e--e~-2+一+l=e(e-----)+—>0((e>—),

33333

所以f(x)在(0,3)和(3,+o。)上各有一个零点，D正确.

故选：BD.

【点睛】

思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调

性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否

则不能确定零点的存在性.

15.下列说法正确的是()

A.函数〃％)=sin2x+百cos%—1XG()卷])的最大值是1

COSX

B.函数/(X)=sinx-tanx+XE

tanx

C.函数4x)=gsin2x+a-cosx在(0,%)上单调递增，则。的取值范围是(一叫一日

D.函数，/、2z+"sin[t+/+”的最大值为。，最小值为"，若。+0=2,

/(x)=-;——-------——

2x2+cosx

贝卜=1

【答案】ACD

【分析】

(八丫

化简函数解析式为/(x)=-COSX-三+1,利用二次函数的基本性质可判断A选项的

3,一/

正误；令/=sinx+cosx,可得/(x)=g(r)="L,利用导数法可判断B选项的正

厂一1

误；利用导数与函数单调性的关系可判断c选项的正误；计算出/(x)+〃-x)=2r,利

用函数的对称性可判断D选项的正误.

【详解】

A选项，

,31(

=1-cos2x+v3cosx——=-cos2x+x/3cosx+—=-cosx----+1,

v'44(2J

又门€0,^可得：cosxe[0,1],则当cosx=¥时函数取得最大值1，A对；

「、4m、s•i2mcos2xsn•r3x+cos、3x

B选项，：.f(x)=