建筑力学电子教案14静定结构的位移计算

第十四章静定构造的位移计算14．1概述一、构造位移的定义构造在荷载或其它要素作用下，会发生变形。由于变形，构造上各点的位置将会挪动，杆件的横截面会转动，这些挪动和转动称为构造的位移。二、位移的分类位移线位移：截面形心的直线挪动间隔角位移：截面的转角位移绝对位移相对位移广义位移三、刚架的位移举例A点的线位移程度线位移竖向线位移截面A的角位移C、D两点的程度相对线位移(D)H=C+DA、B两个截面的相对转角AB=A+B四、引起位移的缘由普通有：荷载〔如前两刚架〕、温度改动〔如图a〕、支座挪动〔如图b〕资料收缩、制造误差等五、计算位移的目的有以下三个方面：1、验算构造刚度。即验算构造的位移能否超越允许的位移限制值2、为超静定构造的计算打根底。在计算超静定构造内力时，除利用静力平衡条件外，还需求思索变形协调条件，因此需计算构造的位移。3、在构造的制造、架设、养护过程中，有时需求预先知道构造的变形情况，以便采取一定的施工措施，因此也需求进展位移计算。14.2虚功原理和单位荷载法一、变形体的虚功原理功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，也是传送和转换能量的量度实功：力在本身引起的位移上所作的功当静力加载时，即：FP1由0添加至FP114由0添加至14力Fp1在位移14上作的实功W14=FP11414虚功：力在其他要素引起的位移上作的功其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程中，力的大小坚持不变梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新的弯曲。位移12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1方向的位移。力FP1在位移12上作了功，为虚功，大小为W12=FP112在小变形条件下，12由图示的原始外形、尺寸计算，并称此形状为虚功计算的位移形状。与之相应，FP1单独作用的形状为虚功计算的力形状。当力形状的外力在位移形状的位移上作外力虚功时，力形状的内力也在位移形状各微段的变形上作内力虚功。根据功和能的原理可得变形体的虚功原理：任何一个处于平衡形状的变形体，当发生恣意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。虚功原理也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功〞。二、单位荷载法1、定义：运用虚功原理，经过加单位荷载务虚际位移的方法。2、计算构造位移的普通公式K=K+RiCi=d+N+Q式中，=1那么d+N+Q—RiCi经进一步推导，可得式中：E弹性模量；G剪切模量；A横截面积；I截面惯性矩；k截面外形系数。如：对矩形截面k=6/5;圆形截面k=10/9。14.3静定构造在荷载作用下的位移计算一、静定构造在荷载作用下的位移公式假设构造只需荷载作用，因支座挪动引起的刚体位移＝0，位移公式那么为Ci对于曲杆〔曲率半径r〕，荷载作用下的位移公式为＋弯矩的影响轴力的影响剪力的影响曲率的影响图a所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与截面高度之比r/h=10,弹性模量之比E/G=2.5，曲杆B端形心在竖向荷载FP作用下的竖向线位移由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组成：Q:N:r=1200:1:3:2设虚拟形状〔图b〕计算虚内力，用截面法计算实践形状的内力，代人位移公式运算，并留意矩形截面的不均匀系数=1.2，计算结果为中弯矩、轴力、剪力、曲率对应的四部分之比M:=二、各类杆件构造在荷载作用下的位移公式〔1〕梁和刚架梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的，位移计算公式中取第一项便具有足够的工程精度〔2〕桁架各杆为链杆，而且是同资料的等直杆。杆内只需轴力，且处处相等。因此只取公式中的第二项并简化为适用的方式〔3〕组合构造既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项〔4〕拱普通计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计三、虚拟形状的选取欲求构造在荷载作用下的指定位移，须取相应的虚拟形状。即取同一构造，在要求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：1〕欲求一点的线位移，加一个单位集中力2〕欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶3〕欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力4〕欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单位集中力偶5〕欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反向的集中力，两力构成单位力偶。力偶臂为d，每一力的大小为1/d力和力偶统称为广义力，单位广义力用=1表示线位移和角位移统称广义位移，用⊿表示单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移那么有正负之分：正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向一样负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反〔2〕计算,FNP;四、静定桁架的位移计算计算步骤为〔1〕设虚拟形状；〔3〕用桁架的位移计算公式计算位移。例14-1图示桁架各杆的EA相等，求C结点的竖向位移vc解:〔1〕设虚拟形状〔如上图b所示〕〔2〕计算N和FNP〔标于上图b.a〕〔3〕代公式求C点的竖向位移例14-2图示钢桁架，图中括号内数值为杆件横截面面积〔单位cm2〕。答应挠度与跨长的比值，试校核桁架的刚度。解对称简支桁架在对称荷载作用下，最大挠度发生在桁架的对称面处。须计算结点3的竖向位移，然后进展刚度校核。1〕建立虚拟形状〔如图b所示〕2〕计算N和FNP，并标于图b、a上3〕求3点的竖向位移，进展刚度校核N/(1/mm)/mm计算半个桁架的，列表如下:1420000003-7竖杆002-6竖杆312500+0.62525000025000100003-6斜杆500000-0.625-10000000.812500100001-6斜杆270000+0.375+6000001.210000120001-3下弦337500-0.75-7500000.61000060006-7上弦FNP/NA/mm2编号杆件根据上表，得<所以，桁架满足刚度条件五、梁的位移及刚度校核1、梁的位移挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移用w表示，规定w向下为正。转角：横截面的角位移

，规定顺时针转为正在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果〔如表14.1所示〕，可供计算时查用。表14.1梁的挠度与转角公式2.悬臂梁弯曲力偶作用在自在端1.悬臂梁集中荷载作用在自在端最大挠度转角荷载类型续表时4.简支梁集中荷载作用跨中位置上3.悬臂梁均匀分布荷载作用在梁上－时6简支梁弯曲力偶作用在梁的一端5简支梁均匀分布荷载作用在梁上-〔在处〕续表-2．梁的刚度校核梁的位移过大，那么不能正常任务对于梁的挠度，其答应值以答应的挠度与梁跨长之比为规范在工程上，吊车梁的＝1/600铁路钢桁梁的＝1/900梁的刚度条件为:例14-3图示简支梁由工字钢制成，跨度中点处接受集中载荷Fp。知Fp=40KN，跨度=3m，许用应力=160MPa，许用挠度[w]=/500，弹性模量E=2×105MPa，试选择工字钢的型号。解〔1〕按强度条件选择工字钢型号梁的最大弯矩为：＝按弯曲正应力强度条件选截面查型钢表选用20a工字钢,其弯曲截面系数为237cm3，惯性矩I=2370cm4〔2〕校核梁的刚度=4.75mm<[]=梁的刚度足够所以，选用20a工字钢3、提高梁抗弯刚度的措施梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI、梁的跨度L、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：增大梁的抗弯刚度EI增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I值，普通不采用增大E值的方法。在截面面积不变的情况下，采用合理的截面外形，可提高惯性矩I。〔2〕减小梁的跨度L梁的变形与其跨度的n次幂成正比。设法减小梁的跨度L，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。在构造构造允许的情况下，可采用两种方法减小L值：①添加中间支座而②两端支座内移如下图，将简支梁的支座向中间挪动而变成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度〔图c〕，从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。(3)改善荷载的作用情况在构造允许的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如下图，将集中力分散作用，甚至改为分布荷载，那么弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。14.4图乘法一、图乘法原理1、图乘法的适用条件：〔1〕杆段的轴线为直线〔2〕杆段的弯曲刚度EI为常数直梁和刚架的位移公式那么为〔3〕MP图和图中至少有一个直线图形

２．图乘法原理图乘法求位移的普通表达式为留意：[1].应取自直线图中[2].假设与在杆件的同侧,取正值;反之,取负值[3].如图形较复杂，可分解为简单图形.3.图乘法的步骤:(1).设虚拟形状；(2).画图、图；(3).图乘求位移下面引见几个规那么图形的面积和形心位置当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相乘。4.图形的分解梯-梯同侧组合：同侧组合：异侧组合由区段叠加法作的弯矩图，其弯矩图可以看成一个梯形和一个规那么抛物线图形的叠加。曲-折组合阶梯形截面杆二、图乘法计算直梁和刚架的位移下面举例运用图乘法求直梁和刚架的位移例14.4试求图a所示外伸梁C点的竖向位移CV。梁的EI=常数解MP、图分别如图(b).(c)所示。BC段的MP图是规范二次抛物线；AB段的MP图较复杂，但可将其分解为一个三角形和一个规范二次抛物线图形。由图乘法得代入以上数据,于是例14.5试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移cv。设EI=解:荷载弯矩图和单位弯矩图如图bc所示。在AB段,MP和图均是三角形；在BC段，MP图可看作是由B.C两端的弯矩竖标所连成的三角形与相应简支梁在均布荷载作用下的规范抛物线图[即图b中虚线与曲线之间包含的面积]叠加而成。将上述各部分分别图乘再叠加，即得例14.6试求图(a)所示刚架结点B的程度BH。位移设各杆为矩形截面，截面尺寸为bxh，惯性矩l=,E为常数，只思索弯矩变形的影响。解:先作出MP图和图,分别如图(b)(c)所示。运用图乘法求得结点B的程度位移为：14.5静定构造由于支座位移所引起的位移静定构造由于支座挪动并不产生内力也无变形，只发生刚体位移。如图a所示静定构造,其支座发生程度位移C1、竖向位移C2和转角C3，现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，例如求k点竖向位移K。由于从实践形状中取出的微段ds的变形为d这种位移仍用虚功原理来计算。由位移计算的普通公式=du=

于是上式可简化为K=-Ci－这就是静定构造在支座位移时的位移计算公式。式中为虚拟形状图b的支座反力，Ci为实践形状的支座位移，Ci为反力虚功。当与实践支座位移Ci的方向一致时其乘积取正，相反时取负。此外，上式右边前面还有一个负号，不可漏掉。cH、竖向位移例14.7图(a)所示静定刚架，假设支架A发生图示的位移:a=1.0cm,b=1.5cm.Cv。试求C点的程度位移解在C点处分别加一程度和竖向的单位力，求出其支座反力如图(b)(c)所示。由公式－K=-Ci得：cH=-(1×1.0-1×1.5)=0.5cmcv=-1.5×1=-1.5cm14.6互等定理一、功的互等定理图示构造的两种形状，分别作用FP1和FP2，称之为第一形状和第二形状。虚功W12为虚功W21为比较，得功的互等定理:W12=W21即:功的互等定理普通方式为:因此得到功的互等定理：第一形状的外力在第二形状的相应位移上所作的外力虚功，等于第二形状的外力在第一形状的相应位移上所作的外力虚功。二、位移互等定理条件：在构造的两种形状中都只作用一个荷载，且为单位荷载。单位荷载所引起的位移称为位移系数，用表示〔图a.b〕

根据功的互等定理1••即这就是位移互等定理：第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。上述定理中，单位力可以是广义单位力，相应的位移系数亦为广义位移。21与12能够含即义不同，但二者数值相等。三、反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一种运用，它反映在超静定构造中假设两个支座分别发生单位位移时，两个形状中相应支座反力的互等关系。单位位移引起的支座反力称为反力系数，用rij表示根据功的互等定理，有即这就是反力互等定理，它阐明支座1发生单位位移所引起的支座2的反力，等于支座2发生与上述反力相应的单位位移所引起的支座1的反力。r21×1=r12×1r21=r12应留意支座的位移与该支座的反力在作功关系上的对应关系，即线位移与集中力相对应，角位移与集中力偶相对应。能够r12与r21一个是反力偶，一个是反力，但二者的数值相等。小结本章主要讨