2024届四川省内江市威远中学数学高一第二学期期末质量检测试题含解析

2024届四川省内江市威远中学数学高一第二学期期末质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知变量和满足关系，变量与正相关．下列结论中正确的是（）A．与负相关，与负相关B．与正相关，与正相关C．与正相关，与负相关D．与负相关，与正相关2．已知向量，则下列结论正确的是A． B． C．与垂直 D．3．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为A． B． C． D．4．设是△所在平面内的一点，且，则△与△的面积之比是（）A． B． C． D．5．已知函数的导函数的图象如图所示，则（）A．既有极小值，也有极大值 B．有极小值，但无极大值C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值6．已知tan(α+π5A．1B．-57C．7．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为A．5 B．4 C．2 D．19．设实数满足约束条件，则的最大值为（）A． B．4 C．5 D．10．甲、乙两名同学八次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（）A．85，85 B．85，86 C．85，87 D．86，86二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若向量与的夹角为，与的夹角为，则______.12．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．13．_____14．已知一组数据，，，的方差为，则这组数据，，，的方差为______．15．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____（填“＞”、“＜”或“＝”）．16．设数列满足，，且，用表示不超过的最大整数，如，，则的值用表示为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若，求的值域.18．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：顶点C的坐标；

直线MN的方程．19．中，角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.20．某校名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是,,,，，.求图中的值；根据频率分布直方图,估计这名学生的平均分；若这名学生的数学成绩中,某些分数段的人数与英语成绩相应分数段的人数之比如表所示,求英语成绩在的人数.分数段:51:21:121．如图，是正方形，是正方形的中心，底面是的中点.（1）求证：平面；（2）若,求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

因为变量和满足关系，一次项系数为，所以与负相关；变量与正相关，设，所以，得到，一次项系数小于零，所以与负相关，故选A.2、C【解题分析】

可按各选择支计算．【题目详解】由题意，，A错；，B错；，∴，C正确；∵不存在实数，使得，∴不正确，D错，故选C．【题目点拨】本题考查向量的数量积、向量的平行，向量的模以及向量的垂直等知识，属于基础题．3、C【解题分析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率考点：几何概型4、B【解题分析】试题分析：依题意，得，设点到的距离为，所以与的面积之比是，故选B．考点：三角形的面积．5、B【解题分析】由导函数图象可知，在上为负，在上非负，在上递减，在递增，在处有极小值，无极大值，故选B.6、D【解题分析】∵α-β+π=(α+π∴tan=2+3tan(α-β)=7、D【解题分析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【题目详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选D．【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8、C【解题分析】试题分析：由已知有，∴，∴.考点：1.两直线垂直的充要条件；2.均值定理的应用.9、A【解题分析】

作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【题目详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，增大，当直线过点时，得最大值为，故选：A.【题目点拨】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域和目标函数对应的直线．10、B【解题分析】

根据茎叶图的数据，选择对应的众数和中位数即可.【题目详解】由图可知，甲同学成绩的众数是85；乙同学的中位数是.故选：B.【题目点拨】本题考查由茎叶图计算数据的众数和中位数，属基础计算题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据向量平行四边形法则作出图形，然后在三角形中利用正弦定理分析.【题目详解】如图所示，，，所以在中有：，则，故.【题目点拨】本题考查向量的平行四边形法则的运用，难度一般.在运用平行四边形法则时候，可以适当将其拆分为三角形，利用解三角形中的一些方法去解决问题.12、【解题分析】

根据侧面积求出正四棱锥的棱长，画出组合体的截面图，根据三角形的相似求得四棱锥内切球的半径，于是可得内切球的表面积．【题目详解】设正四棱锥的棱长为，则，解得．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图△PMN的内切圆，其中，．∴．设内切圆的半径为，由∽，得，即，解得，∴内切球的表面积为．【题目点拨】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．13、【解题分析】

将写成，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为，利用二倍角公式可变为，由可化简求得结果.【题目详解】本题正确结果：【题目点拨】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.14、【解题分析】

利用方差的性质直接求解．【题目详解】一组数据，，，的方差为5，这组数据，，，的方差为：．【题目点拨】本题考查方差的性质应用。若的方差为，则的方差为。15、<【解题分析】

直接利用作差比较法解答.【题目详解】由题得，因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,所以所以.故答案为＜【题目点拨】本题主要考查作差比较法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16、【解题分析】

由题设可得知该函数的最小正周期是，令，则由等差数列的定义可知数列是首项为，公差为的等差数列，即，由此可得，将以上个等式两边相加可得，即，所以，故，应填答案．点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的数列递推关系式，先求出数列的通项公式，然后再运用列项相消法求出，最后借助题设中提供的新信息，求出使得问题获解．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）将已知函数转化为，结合周期的公式，即可求解；（2）利用三角函数的图象变换，求得，再结合三角函数的性质，即求解.【题目详解】（1）因为，所以的最小正周期；（2）若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象对应的解析式为，由知，，所以当即时，取得最小值；当即时，取得最大值1，因此的值域为.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及正项型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18、（1）；（2）．【解题分析】试题分析：（1）边AC的中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为1，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为1．构造方程易得C点的坐标．（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程．解：（1）设点C（x，y），∵边AC的中点M在y轴上得=1，∵边BC的中点N在x轴上得=1，解得x=﹣5，y=﹣2．故所求点C的坐标是（﹣5，﹣2）．（2）点M的坐标是（1，﹣），点N的坐标是（1，1），直线MN的方程是=，即5x﹣2y﹣5=1．点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．19、（1）；（2）．【解题分析】

（1）由正弦定理化边为角，再由同角间的三角函数关系化简可求得；（2）利用余弦定理得出的等式，由基本不等式求得的最大值，可得面积最大值．【题目详解】（1）∵，∴，又，∴，即，∴；（2）由（1），∴，当且仅当时等号成立．∴，，最大值为．【题目点拨】本题考查正弦定理和余弦定理，考查同角间的三角函数关系，考查基本不等式求最值．本题主要是考查的公式较多，掌握所有公式才能正确解题．本题属于中档题．20、（1）（2）平均数为（3）人【解题分析】

(1)根据面积之和为1列等式解得.(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,(3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可.【题目详解】解：由,解得.频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,即估计平均数为.由频率分布直方图可求出这名学生的数学成绩在,,的分别有人,人,人,按照表中给的比例,则英语成绩在,,的分别有人,人,人,所以英语成绩在的有人.【题目点拨】本题考查了频率分布直方图,属中档题.21、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）由平面得出，由底面为正方形得出，再利用