概率论期末复习

概率论复习知识

第一章概率论的基本概念

频率与概率

频率的概念：设在n次重复试验中，事件A出现了"A次，则称〃八为事件A在n次试验中出现的频数，比

值」里为事件A在n次试验中出现的频率，记为了“(A),即/,,(A)=巳

nn

性质：

设A”A2，A3,……是两两互斥事件，则p(A+4+.......+4)=p(4)+P(4)+.....+P(4)

概率的概念：设E是随机试验，s是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数P(A),称之为事

件A的概率

性质：

设4,4，4,……4是两两互斥事件，则P(A+&+.......+AJ邛(A)+P(A2)+.....+P(4)

例1,将15名新生随机的平均的分配到三个班级去，这15名新生中有3名是优秀生。求

(1)求每一个班级个分配到一个优秀生的概率；

(2)3名优秀生分配到一个班级的概率；

解：15名新生平均分配到三个班级的分法总数为：

(10大5大5J105!55!5!5!5!

(1)：每个班级各分配到一个优秀生的分法为

3!3*)=3!*乌

14人4人4)4!4!4!

于是所求概率为尸31端25

555!

(3)三名优秀生分配到同一个班级的分法为;

12!

3*

2!5!5!

12!

3!

于是所求概率为2!5!5!_6

15!9?

5!5!5!

条件概率

1.条件概率的定义

设48是两个事件，且尸(卤＞0,则称

P(A|B)=f(^)

P(B)

为在事件人发生的条件下,事件A的条件概率

2,条件概率的性质

条件概率P(A|B)具备概率定义的三个条件

(1)，非负性：对于任意的事件B,P(A|B)>0

(2)规范性：P(S|A)=1

(3)可列可加性：设B-B2…….是两两互斥事件，侧有

IA)=fp(B,IA)

|«|»=|

例1,设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8,活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的

这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？

解设走｛能活20年以上｝,后｛能活25年以上｝

所求为PWA).

依题意，P(A)=O.8,P(B)R.4

产(取).=4妆=或=空=_1

尸(A)P(A)0.82

例2,某一地区患有癌症的人占0.005,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反

应是阳性的概率为0.04,现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大？

求解如下：设俏｛抽查的人患有癌症｝,左｛试验结果是阳性｝,

则C表示“抽查的人不患癌症”

已知尸(。=0.005,尸()=0.995,

凡4|0=0.95,P(川)=0.04

求P(C\A).

由贝叶斯公式，可得

尸(&4)=P(C)P(AIC)

P(C)P(A｝C)+P(C)P(A\C)

代入数据计算得P(C\A)=0.1066

例3在数字通讯中，由于随机干扰，当发出信号“0”时，收到信号“0”,“不清”,“1”的概率分别是0.7,0.2

和0.1；当发信号“1”时，收到信号为“1”，“不清”和“0”的概率分别是0.9,0.1和0,如果整个发报

过程中“0”和“1”出现的概率分别是0.6和0.4,当收到“不清”时，试推测原发信号是什么？

解设B=｛发出信号“0"｝,则B=｛发出信号"1”｝

A=｛收到信号“不清”｝

则B与4为。=｛收到信号“0”或“1”｝的一划分

故受到信号为“不清”而原发信号为“0”的概率为：

P(B%.==P(AB)=P(8)P(AI8)二0.6x02=0.75

P(A)p(s)p(AIB)+P(B)P(AIB)06x0,2+04x0,1

而受到信号为“不清”而原发信号为“1”的概率为

P(BIA)=l—P(B|A)=1—0.75=0.25

因此，可以推测原发信号很可能(确切的说有75%的可能)是“0”

例4要验收一批(100件)乐器。验收方案如下：白该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是

相互独立的)，如果3件中至少有一件在测试中被人为音色不纯，侧这批乐器就别拒绝接受。设一件音色不

纯的乐器测试查出其为音色不纯的概率为0.95；而一件音色纯的乐器经测试别误认为不纯的概率为0.01.

如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的。试问这批乐器被接受的概率是多少？

解设H,=｛随机地取出3件，恰有i件音色不纯｝,

i=0,1,2,3.

A=｛这批乐器被接收）.则

（）

PA=P（AIHo）p（/zo）+P（AIH,）p（//,）

+P（AI42）P（"2）+P（AI4）尸（4）

其中「（"o）=与<>,P（77,）=

oo\oo

尸（"2）=等，尸（%）=导，

5ooJ1OQ

2

P（A\H0）=（0.99）3,p⑷,）=（0.99）（0.05）,

P（川％）=（0.99）（0.05）2,p（4i，J=（o.O5）5.

所以这批乐器被接收的概率为：

p（A）=P（AIH°）P（H°）+P（A"）户身）

+P（AIHjP（H2）+P（AI”JP（43）

=旨.（0.99丫+娶i.（O.99y（0.05）

。100Goo

+^L（099X0.05）2+今（0.05丫=0.

8629

GooGoo

例5商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,某顾客选

中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？

解设/:从一箱中任取4只检查，结果都是好的.

50,51,应分别表示事件每箱含0,1,2只次品

已知:PC50）=0.8,P（51）=0.1,尸（应）=0.1

P（AIB0）=1P（AIBJ=与」P（4I»具=」

19

c2（>5<-20

由Bayes公式：

P（即A）=要理^

/=0

0.1X%

=---------------H——k«0.0848

0.8xl+0.lx%+0.1x%

第二章随机变量及其分布

离散型随机变量及其分布

三种常见分布

1、(0-1)分布：(也称两点分布)

随机变量才只可能取。与1两个值，其分布律为：

p{x=攵}=〃*(1-〃广，攵=。1(0</?<1)

}-PP_

2.二项分布(p32)

以X表示n重伯努利分布事件A发生的次数，X是一个随机变量，我们来求它的分布律。

分布律P{X=k}=C：pk(l卞嗔)心......n)

E(X)=0*0*C,：*(1—P)"+1*C：*p(l—PL+.....〃*C：p"=npD(X)=np(1-p)

记作:X~b(n,p)

3..泊松分布(p36)

分布律P(X=k)=±1，Jt=0,1,2,……，E(x)=2D(X)=2

k\

记作X~4(/l)

其中丸>0是常数,则称X服从参数为2的泊松分布,记作/1w(2).

例1一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数人=5的

泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？

解：设该商品每月的销售数为4

已知才服从参数人=5的泊松分布.

设商店在月底应进某种商品。件，

求满足尸{才这©}〉0.95的最小的a.

也即0.05

或Y-^-<0.05

Jb]

k=m+\A,

查泊松分布表得£立=0,032,V£^1=0,068

11=10k!k!

于是得m+l=10,m=9件

连续型随机变量的分布函数

一、分布函数的定义

设X是一个r.v,称

F(x)=P(X<x)(-oo<x<+8)

为X的分布函数，记作F(x).

X

XX

如果将才看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示才落在区间(一内

概率.

连续型随机变量及其概率密度的定义

对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),使得xe(-8,+8),对任意实数x,有

尸(尤)=_["，〃=P(X<x)

则称才为连续型随机变量，称f(x)为才的概率密度

函数，简称为概率密度.

概率密度的性质

1./U)>0

2,[f(x)dx=l

J-oc

3,对于任意实数xl,,(xl<A2),

P(X]WX4/)='f(x)dx

三种重要的连续型随机变量

1.均匀分布(P43)

-1,

,、----,a<x<b

f(zx)=-\h-a

.0,其它

则称才在区间(a,b)上服从均匀分布，记作

x~ugH)

2,指数分布(p44)

概率密度E(X)=。

1一二D(X)=6>2

0

启(、——e,x>O,

y(x)=Io

o,其它，

其中e>o为常数，则称才服从参数为0的指数分布.

若才服从参数为8的指数分布，则其分布函数为

\-e-x'e,x>0

F(x)=p{x<x}=<

0,其它

3.正态分布

若连续型r.v/的概率密度为

2

/(x)=*e2/,_00<x<00E(X)=〃D(X)=(T

飞2兀o

其中〃和CT（CT>0）都是常数，则称才服从参数为〃和b的正态分布或高斯分布.

记为X〜N（〃@2）

匚夕”=备¥=1

函数f（x）在（-00,川上单调增加，在（小+8］上单调减少，在X=4取得最大值；

定理1,若X~%（〃02）,则2=上幺~%（0,1）.

（T

标准正态分布的上a分位点，设X~N（0/），.若数Za满足条件P{x>za}=a,o〈a<in

P{X<Z_a"a

则称点Za为标准正态分布的上a分位点.:P（X>Z1_a}=l-anP（X<石_"}书则z{_a=Za

例1,某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到

达此站，如果乘客到达此站时间才是7:00到7:30之间的均匀随机变量，试求他候车时间少于5分钟

的概率.

解：以7:00为起点0,以分为单位依题意，才〜〃（0,30）

~.、—,0<x<30

/（幻=彳30

0,其它

从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00,7:15,7:30等时刻有汽车到达汽车站，为使候车时间

才少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：

P{10<X<15}+P{25<X<30}=C京+=1

即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.

例2,公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X〜

M170,62）,问车门高度应如何确定？

解：设车门高度为hcm,按设计要求PgA）近0.01或P（X<A）20.99,下面我们来求满足上

式的最小的方.

求满足P（爪h）>0.99的最小的h

因为J-M170.62）,所以X770〜N（oj）

6

故心㈤”（立1四<3）=0（"玛

666

查表得。⑵33）=0.9901>0.99

/z-170

因m=而r-------=2.33,

6

即/F170+13.98弋184。设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.

第五节随机变量的函数的分布

例1设才具有概率密度人（X），求丫=X?的概率密度.

解y和才的分布函数分别为Fy（y）和G（x）,注意到y=x2»o,楣y<0时，弓（y）=0

2

当y>0时，FY（y）=P（Y<y）=P（X<y）

=P（-万4X4历=尸x（V7）-丹（-77）

求导可得以>）=*=［苏L（4）+/x（-6）］3'>0

内［o,j<o

1--

若fx（%）=~r=e2，—00<x<+8.

Y27r

则Y=X2的概率密度为：

14--A

加，）=E”,y>o

0,y<0

定理设才是一个取值于区间［a,b］,具有概率密度fG）的连续型r.v,又设y电<Z）处处可导，且对

于任意x,恒有g'（%）>。或恒有g'（X）<0,则片式才是一个连续型r.%它的概率密度为：

加(y)］障,a<y<p

/r(y)=-

0,其它

其中，a=ming(x),0=maxg(x),x=h(力是y=g(x)的反函数.

a<^x<ba<x<b

例2设随机变量X的概率密度为

,-40<X<7T

reg/

0其它

求y=sinX的概率密度

解当O〈y<l时，FY(y)=P(Y<y)=P(sinX<y)

（0<X<工或工<X<7i）

22

=P（0</<arcsinj^+P（〃-arcsiny<X<7T）

,nyr（arcsin>y+1-^-arcs-y2

=r^dX+^dx=）

J）乃2Jr-arcsiny乃冗

2

.dFY（y）—：-0<y<1

而/“历二十一求导得："（y）=仆「于-

）[0,其它

第三章多位随机变量及其分布

二维随机变量

随机点（X,Y）落在矩形域[X]<X<％2，月内的概率为

p（x（<X<x2,y1<y<y2）

=/,y2）一产（乙，yi）一厂（x，y2）+/（再，M）

2.0<F（x9y）<1,且

对任意固定的yG/?,F（-oo,y）=0,

对任意固定的xwR,F（x,-oo）=0,

F（-oo,-oo）=0,F（+oo,4-oo）=1.

3.F（x,y）=F（x+0,y）,F（x,y）=F（x,y+0）.

二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度具有性质

f（x,y）>0

£^f（x,y）dxdy=l

（JJ7（x,y）dxdy=1）

R-

3.设G是xOy平面上的区域，则有

P{（X,r）eG}=JJ7（x,y^dxdy;

G

4.在f（x,。的连续点，/（x,y）=""（X’）’）

dxdy

例1设（％D的概率密度是

/（%，y）={蠹；"四

求概率P{YWX}

解:P{Y<X}=y)dxdy=2£JxJe~(2x+y)dy

y<x

=2e-2xdx[e-ydy=2(e-2x-e-3x)dx

1

=­

3

—.条件分布

定义i设(%?)是二维离散型随机变量，对于固定的j,若户｛y=打｝>o,则称

P{X=x,Y^y}

P{后xiyj}=iiPa

P{Y=y:}P・i

为在y=x;条件下随机变量小的条件分布律.作为条件的那个工匕认为取值是给定的，在此条件下求另

一r.P的概率分布.

P{后xi\1^yj}>0,z=1,2,3,4

±P{X=xilY=yj}=l

/=!

定义2设X和Y的联合概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为(y),若对于固定的y,

人(丁)>0,则称

f(x,y)q

「/、-为社丫=y的条件下x的条件概率密度.记为

A(y)

称「=「尤为在y=y的条件下，的条件分

fxw(xIy)=fxw(xIy)dxx

A(y)——/r(y)

布函数。记为：

P｛X=y｝或Fxw(xly)即:

P[X<x\Y=y}=FxlY(x\y)=l^^-dx

例1设(4D的概率密度是，归上0<X<8,0<><8

〃x,y)=jy

0,其它

求P｛»1|片y｝.

解：尸｛xziiy=)，｝=j'"x"(xly)dx为此需求出入卜(皿，)

由于人(y)=[f(x,y)dx

IT"］口0<y<oo

于是对好篇⑴y)=,=.,%>0

故对y>0,P{X>\|片y}=/^—dx==6"

三两个随机变量的函数的分布

例2设才和？的联合密度为f(x,D,求全不，的概率密度.

解：多加的分布函数是：

Fz(z)=P{Z<z}=P[X+Y<z}=JJ/U，y)dxdy

D

这里积分区域》{(x,力：x+yWz}

它是直线x+y=z及其左下方的半平面.

%(“)=JJf(%y)dxdy化成累次积分,得

x+y<z

Fz⑶=Ir/(X，y)dx]dy

固定Z和必对方括号内的积分作变量代换，令x=u-y,得

匕(z)=^t^f(u-y,y)du]dy=^[^f(u-y,y)dy]du

故Fz(z)=口£/(«-y,y)dy]du

由概率密度与分布函数的关系，即得全的概率密度为：

/z(z)=^(z)=£/(z-y,y)dy

由1和F的对称性，/z(Z)又可写成

fz(z)=Fz⑶=j/(x,z-x)dx

以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.

特别地，当才和y独立,设(XD关于X,y的边缘密度分别为fxB,W),则上述两式化为:

[/z(z)=J/x(z-y)fY(y)dy

(x)fY(z-x)dx

下面我们用卷积公式来求全不？的概率密度.

例3若才和y独立，具有共同的概率密度

/“)=《fl,0<什x》<l求年开y的概率密度.

0,其它

解由卷积公式心（Z）=1九Wy（Z-X）dX

为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域

[04x41也即f0<x<l

[0<z-x<l[z-l<x<z

/z（z）=「/x（x）4（z—x）dx｛（z-x）暂时固定｝

J-oc

故当zwo或ZN2时，/z（Z）=O

当04x<1时,(z)=fdz=z

f7

当IKZ<2时，

fz^-^dz=1-z

z,0<z<1

于是/z（z）=,2-z,l<z<2

0,其它

例4若才和y是两个相互独立的随机变量，具有相同的分布M0.1）,求的概率密度.

解由卷积公式

仁_幻2

/z（Z）=ffMf(z-x)dx=dx

J-00xY

=——e4e2dx

24〃

令/=%一三，得

2

1工

启Z）=万e4

V2^V2

可见Z=2+K服从正态分布M0,2）.

四."=max（X9及Mmin（X?的分布

设X,F是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为双（x）和“（。，我们来求，=max（%D及

N=min（%D的分布函数.

1.M=maxUY）的分布函数MWZ=｛，£

阿（z）=PG侬z）=尸（/z,收z）

由于才和y相互独立,于是得到"=max（X。的分布函数为:

EM⑵=P(X<z)P(Y<z)BP：EM(Z)=FX(Z)FY(Z)

2.V=min(4D的分布函数

m(z)=尸(联z)=l-PGV>z)=l-P(»z,r>z)

由于才和1相互独立,于是得到N=minU»的分布函数为:

EN(z)=1-P(x>z)P(y>z)即有EN(Z)=1-[1-&(z)][l-4⑶]

用与二维时完全类似的方法，可得

gnaxGH,…，Xn)的分布函数为：

即(z)=FxR)Fx«).……Fx”⑵

iV^nin(21,•••,Xri)的分布函数是

FN(Z)=1-[1-FXl(z)][l-FX2(Z)].……[1-Fx“(z)]

例5设X,y相互独立且服从U[-oo,+oo],求方程t2+tx+Y=0有实根的概率，并求当bf00时这概

率的极限.

解：x,y相互独立且服从u[-4勿，所以X,y的联合密度为

~^r,\x\<b,\y\<b

/a,y)=｛微它

方程J+氏+丫=o有实根的概率为

X2^2

P{X2-4Y>0}=P[Y<—}=JJf(x,y)dxdy,其中。：y4彳

ry=x2/4、rx=b

2

ix=6Iy=b/4<b(>b)

当bW4时,

P{X2-4r>0}=y)dxdy=奈\\dxdy

D\4bD\

1心

=—73+

4b2

当〃>4时，

P{X2-4r>0}=^f(x,y)dxdy=奈\\dxdy

D2做D2

白｛〃+[仇。_2扬)+/后—dx}=1--"

43庭

1

C因EJT而Trt：p{x2e-4ywo}={-2'--。---.(Kf><4

1--彳=4>4

3、伤

可见：limF{X2-4r>0}=lim(l一一=1

b—8183JO

第四章随机变量的数字特征

第一节数学期望

定义1设才是离散型随机变量，它的分布率是：

P{X=xk}=pk,A=1.2,-

若级数绝对收敛，则称级数fzp,

hlk=l

的和为随机变量X的数学期望，记为E(X),即

E(X)=£&0请注意：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.数学期望简称期望，又

Jt=l

称为均值.

例1：有两个相互独立工作的电子装置，他们的寿命X*(k=1,2)服从同一指数分布，其概率密度为：

14

,/、—e0x>0,八

f(x)=<00n>O

0x<0,

若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命(以小时计)N的数学期望.

解X*(k=l,2)的分布函数为

X

尸(x)=1-e。x>0

0x<0

N=min{X1,X2}的分布函数为：

产而“幻=1一[1一尸(刈2=I1°X>0

0x<0

于是N的概率密度为：

-eox>0

/minW=b

0x<0

■KO802xa

E(N)=!/in(x)公=J*eedx=-

期望的特征：

X离散型

E(Y)=E[g(X)]=普

jg(x)/(x)dx,X连续型

⑴若(X,丫)是二维连续型，概率密度为/(x,y),则有

4-X4-CO

E(Z)=E[g(X,y)]=JJg(x,y)/(x,y)dxdy

-0O-C0

⑵若(X,y)是二维离散型，概率分布为P{X=Xi,Y=力}=p4,j=1,2…)则有

E(Z)=E[g(X,y)]=ZZg(x,，X)P・

j=\i=l

这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛.

例2设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

冗

、Asin(x+y)0<x<—

/(x,y)=j2

0其它

⑴求系数A,(2)求E(X),E(XY).

乃/2乃/2]

解(2)E(X)=Jjx—sin(x+y)dxdy=—

oo2'

+OC+00

E(XY)=J\xyf(x,y)dxdy

—CO-QO

=jjxy—sin(x+y)dxdy=—-1

0o22

例3：一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车

就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相

互独立)

解引入随机变量

jo在第i站没有人下车in

，"［1在第i站有人下车一……

易知X=X,+X2+---+XIO

按题意

P{X,=0}=篇)，P{X,.=1}=1-高…2,…10

由此

进而E[X)=£,(%,+X2+•••+%)=£(X,)+£(%,)+•••+£*(X10)

20

I]=8.784次

第二节方差

一、方差的定义

设才是一个随机变量，若瓦(不£(万］2存在，称瓦(乃£(乃］2为了的方差，记为D(X)或Var(X),即

D(X)=Var(X)=瓦f£(乃］2

方差的算术平方根师行称为X的标准差或均方差

记为。(X),它与X具有相同的量纲。

二、方差的计算

由定义知，方差是随机变量才的函数屋第=［乃£(乃］2的数学期望.

£［X*-E(X)］%,

D(X)=］匿

£［x-E(X)F/(x)dx,

计算方差的一个简化公式：〃(力=双柒)-［双方］2

三、方差的性质

I.设。是常数，则〃(。=0；

2.若C是常数，则D(CX)=C2D5;

3.设才与，是两个随机变量，则

D{X+Y)=。(乃+”(D+2£{[六£(万][>£(，

4.Z?(J)=OOP{¥=0=1,这里C=E(X)

例4：设活塞的直径(以cm计)X~NQ2.40,0.032),气缸的直径y~N(22.50,0.042),X和Y相互

独立。任取一活塞，任取一气缸，求活塞能装进气缸的概率

解：按题意需求尸{X<■},即求P{x-y<0}.

由于X-y~7V(-0.10,0.0025)

故有：

p{x<r}=P{x-Y<0}

„,(x-y)-(-o.io)一0一(—0.10)、

_/=V/=~}

VO.002570.0025

=①=①(2)=0.9772

0.05

四、切比雪夫不等式

定理设随机变量X具有数学期望E(X)=〃，方差D(X)=cr2,则对于任意正数£,有不等式：

P{lX-E(X)INe}或P{lX—E(X)lve}Nl-M

£2£2

由切比雪夫不等式可以看出，若b?越小，则事件{|乃的概率越大，即随机变量才集中在

期望附近的可能性越大.

证：设X的概率密度为/(x),则有：

P{\Xj/(x)dx

|X-〃I"

MJ...1f«x)dx

|x-“2&

IF2

MyJ(x-f(x)dx=—r

P\\X-E(X)\>s}<^-

£,■

例5：已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式

估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.

解：设每毫升白细胞数为％依题意,E(X)=7300,D(X)=7002

所求为P(5200<X<9400)

因为：P(5200<X<9400)=P(-2100<X-E(X)<2100)

=P{\X-E{X)<|2100}

由切比雪夫不等式

P[\X-E{X}I42100}Q(X)1_8

-(2100)2210099

即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.

例6：在每次试验中，事件4发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：〃需要多么大时，才能使得

在n次独立重复试验中，事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?

解：设才为〃次试验中，事件4出现的次数，则/以〃，0.75)

M2)=0.75A力(2)=0.75X0.25炉0.1875”

所求为满足尸(0.74〈上〈0.76)20.90的最小的n•

n

产(0.74<—<0.76)可改写为

产(0.74水/0.76〃)=凡-0.01水上0.75水0.01〃)=P{\X-E(X)\〈0.01〃}

在切比雪夫不等式中取£=0.01〃，则

P(0,74<-<0,76)=|<0.01/7)

n

D(X),0.1875〃।1875

>1_-、)=1--------------r=1-----------

-(0.0In)20.000In2n

依题意，取”照20.9解得

n

„>-1.875..=18750

1-0.9

即〃取18750时，可以使得在n次独立重复试验中，事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为

0.90.

第三节协方差及相关系数

一、协方差

1.定义量E{[六E(»]|>E⑺"称为随机变量才和？的协方差，记为CoNXD,即

Cov(X,l)=f{[/•£«)][F£⑺])

2.简单性质

(l)Cbr(Xy)=Cov(KJ)

⑵G”(a4帅=abCov(XDa,b是常数

⑶D=Cov(Xl,Y)+Cov(Xi,Y)

3.计算协方差的一个简单公式：由协方差的定义及期望的性质，可得

Cov[X,Y)=E{[.六EU)]|>E⑺]}

=£(切-瓜比£(力-E(DE(X)+E(乃E(D

=£(肋-£(万£(力

即：Cov{X,n=£(ZZ)-E5ES

可见，若才与y独立，Cov(X,D=0.

二、相关系数

定义：设D(万〉0,〃(乃>0,称

Cov(x,y)

PXY=/

4D(X)D(Y)

为随机变量才和？的相关系数.

相关系数的性质：

2.才和，独立时，夕=0,但其逆不真.

由于当才和y独立时，cov(x,r)=o,故:

Co*x,y)

P=,==on

j£>(X)£>(Y)

但由于0=0,并不一定能推出才和y独立.

3折|=1存在常数冬。(好0),使尸｛上a+b21=1,即才和y以概率1线性相关.

例7：公共汽车起点站于每时的10分，30分，55分发车，该乘客不知发车时间，在每小时内的任意时刻

随机到达车站，求该乘客候车时间的期望值。

解：X表示乘车时间，Y表示候车时间

l/60,0<x<60

X~U(0,60)/(%)={0,其它

f10-X,0<X<10/y\

l30-XJ0<X<3096\A)

55-X,30<X<55

75-X,55<X<60

E(y)=「g(x)/(x)dx

J=(10—x)dx+£：(3O-x)4x+^(55—x)dx+(70—x)dx

=10分20秒

例8一袋中有n张卡片，分别记有号码1,2,3....n,从中又放回地抽取k张来，以X表示所得号码之和,

求E(X)和D(X)

解：*,"抽取第涨卡片的号码"，=1,2,-《

乂,々=1,2,-雄湘互独立，令X=X1+Xz+…+X*

Xi123-n

Pk_L，_L_L

nnnn

E(X)=-(l+2+...+n)=-^

n2

E(X)可(X,)=kg

1=12

D(X)=E(X2)+[E(X)f=~Y'2~~+0-=-・"⑵史吐1)-(，；+1)-=

4n6412

D(X)=XD(X,)=^^

例9设随机变量X的概率密度为/(x)=-00<x<00,

(1)证明E(X)=0,D(X)=2；

(2)证明X与|X|不相互独立；

(3)证明X与|X|不相关。

解：⑴E(X)=£〃(*心=口夕％=0

E(X2)=£x2f(x)dx=x2e~xdx

=[-x2e-x]^+2^xe-xdx

=2[-xe-x]\^+2「e-'dx

=2

故O(X)=E(X2)_[E(X)(=2

证明⑵X与|X|不相互独立，因为任给x>0

P(X<xf\X\<x)=P(|X|<x)^P(X<x)P(|X|<x)

⑶E(XIXI)=匚xIx\^e-Mdx=0

Cov(X,\XI)=E(XIXl)-f(X)E(lX1)=0

Cov(X,Y)

PXY='r■---/••=()

Jr»(X).j£>(y)

第五章大数定理及中心极限定理

第一节大数定理

一、大数定律

定理1(切比雪夫定理的特殊情况)

设随机变量X"X2-,X”…相互独立，且具有相同的数学期望和方差:

E(X*)=〃,O(X*)=o-2a=1,2,3,........n)

做前〃个随机变量的算术平均x=>!■之x«则对任意的£>o,有

V

1>1

limP{IX-//1<^}=limP{I-yX.-//1<^}=1

n—><x>n-^oc

11;=1

于

诅

11"J-

/EX

J1I1之

EI』

〃

I--=一

n〃

V/二

D

1\1,

三

J-理2

-=一=

〃

八

〃7

由切比雪夫不等式:

1V

上式中令〃->8得

limP｛l-yX.-p\<£]=\

说明：

1、定理中｛1上£乂,-〃1<£｝是指一个随机事件，当〃―8时，这个事件的概率趋于L

2、定理以数学形式证明了随机变量X「…X”的算术平均又=接近数学期望E(X*)=〃

«,=i

a=1,2，这种接近说明其具有的稳定性.

这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率收敛的意义下逼近某一常数.

定理2(贝努里大数定律)

设nA是〃次独立重复试验中事件4发生的次数，p是事件4在每次试验中发生

的概率，则对于任意正数£〉0,有

limP{\^--p\<s}=1或limP{\^--p\>s]=Q

"—〃n—>oo〃

定理3(辛钦大数定律)

设随机变量序列组，龙，…相互独立，服从同一分布，具有数学期E(©)=〃，i=l,2,则对于任意正

数£,有：

"T8〃普

第二节中心极限定理

一、中心极限定理

定理4(独立同分布下的中心极限定理)

设随机变量X1,X2,…X”,…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：

E(XQ=//,D(X*)=b2(&=1,2,…),则随机变量之和

的标准化变量，%=u匕=—的分布函数工(X)对于任意X满足

k=\Tno

lim工(x)=limP<1=1________<__x__=£e*2dt=①(x)

n—>oon—>oo(j4n

1、定理表明，独立同分布的随机变量之和£小,,当九充分大时，随机变量之和与其标准化变量分别有

£=1

”近的也2匕一〃〃近似地

Yx〜N(昨,3;-^-7=——〜N((),l).

*=1k5Mb

_近似地Y-n近似地

2、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为G〜NReTn)或巴律〜N(0,l)

(JNn

i〃

其中又=-1x.

〃k=\

定理5(李雅普诺夫(Liapounov)定理)

设随机变量X1,X2,…,X〃…相互独立，它们具有数学期望和方差：

Egik，O(X«)=bJ,(氏=1,2,…)

记：B：=£或

k=l

若存在正数5,使得当8时,

一£小“〃广}-0

则随机变量之和fxq的标准化变量:

k=]

fXk-E（£Xk）fx「沙卜

7_A=l

乙”—一y的分布函数入a)对于任意工满足

B”

X。

1-t2/2J4.

kTk=