向量基本定理及坐标表示平面

9.3向量基本定理及坐标表示9.3.1平面向量基本定理理解平面向量基本定理及其意义；在一个平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.课标要求素养要求通过力的分解引出平面向量基本定理，体会平面向量基本定理的应用，重点提升数学抽象及直观想象素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个____________结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝________________基底________的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底不共线向量λ1e1＋λ2e2不共线点睛平面向量基本定理包括两个方面：(1)一是存在性，即存在实数λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)二是唯一性，即对任意向量a，存在唯一实数对λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

由平面向量基本定理知，平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式.我们称λ1e1＋λ2e2为______________.当e1，e2所在直线__________时，这种分解也称为向量a的正交分解.2.向量的分解向量a的分解互相垂直1.思考辨析，判断正误(1)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(

)提示基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底.(2)零向量可以作为基底中的一个向量.(

)提示由于0和任意的向量共线，故不能作为基底中的一个向量.(3)若a，b不共线，则a＋b与a－b可以作为基底.()提示由于a＋b和a－b不共线，故可作基底. (4)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内的所有向量.(

)××√√2.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是(

)A.e1，e2 B.e1＋e2，3e1＋3e2C.e1，5e2 D.e1，e1＋e2解析B中，3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，∴e1＋e2，3e1＋3e2不可作为基底；A，C，D中各组向量均可作为基底.BBA.BD＝2CD B.BD＝CDC.BD＝3CD D.CD＝2BD因为D，E，F依次是边AB的四等分点，课堂互动题型剖析2题型一平面向量基本定理的理解【例1】

(多选题)如果e1，e2是平面α内的一组基底，λ，μ是实数，下列说法正确的是(

)A.若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0B.对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对C.线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量D.当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量ACB不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定；C正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；D不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定.(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底.思维升华【训练1】

设e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(

) A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2

解析选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线， ∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.故选B.B题型二用基底表示向量解法一由题意知，用基底表示向量的方法一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.思维升华连接MB，MC，题型三平面向量基本定理的综合应用角度1利用平面向量基本定理求参数C思维升华C解析

如图所示，角度2用平面向量基本定理求解平面几何问题【例4】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.∵A，P，M和B，P，N分别共线，故由平面向量基本定理，∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.思维升华若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.又∵B，P，F三点共线，课堂小结一、牢记3个知识点1.平面向量基本定理.2.用基底表示向量.3.平面向量基本定理的应用.二、掌握2种方法1.已知e1，e2不共线，作λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)的方法——数形结合法，利用三角形法则或平行四边形法则进行转化.2.已知基底a，b，用a，b表示向量c的方法①线性运算法，②待定系数法.三、注意1个易错点基底中的向量必须是不共线的向量.

分层训练素养提升3

一、选择题1.(多选题)设e1，e2是同一平面内的两个向量，则下列说法不正确的是(

)A.e1，e2平行B.e1，e2的模相等C.对同一个平面内的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ1，μ∈R)D.若e1，e2不共线，则对于同一平面内的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)解析

由题意只有D正确.ABCA.2 B.3 C.－2 D.－3D则λ＝－3.3.BAD二、填空题6.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.－15－12解析∵向量e1，e2不共线，8.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为_____________________.

(－∞，4)∪(4，＋∞)解析若a，b能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.三、解答题解析连接CD，OD，图略，D∴CD∥AB.∵OA＝OD，∠ADO＝∠DAO＝30°，∴∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO，∴四边形ACDO为平行四边形，12.(多选题)如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内的基底的是(

)AC13.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基底；证明若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即e1－2e2＝λ(e1＋3e2).由e1，e2不共线得，所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；解设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.由于e1与e2是不共线的非零向量，所以c＝2a＋b.(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值