高三数学-2018年全国高中数学联赛(四川省初赛)

PAGE2018年全国高中数学联赛四川省初赛2018年9月12日上午9∶00——11∶00一、选择题(每小题5分，6个小题共计30分)函数f(x)＝x＋EQ\f(2x,4x－1)

A.是偶函数但不是奇函数 B.是奇函数但不是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数已知f(x)对任意的整数x都有f(x＋2)＝f(x－2)，若f(0)＝2018，则f(2018)＝

A.2002 B.2018 C.2018 D.2018已知不等式m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是

A.0≤m≤4 B.1≤m≤4 C.m≥4或x≤0 D.m≥1或m≤0母线长为EQ\r(6)的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为

A.1 B.2 C.3 D.4正三棱锥相邻侧面所成二面角，等于侧面与底面所成二面角的两倍，则侧棱与底面边长之比为

A.EQ\f(3,2) B.EQ\f(4,3) C.EQ\f(3,4) D.EQ\f(2,3)函数y＝cos3x＋sin2x－cosx的最大值等于

A.EQ\f(32,27) B.EQ\f(16,27) C.EQ\f(8,27) D.EQ\f(4,27)二、填空题(每小题5分，6个小题共计30分)已知函数f(x)＝EQ\f(32x,3＋32x)，则f(EQ\f(1,101))＋f(EQ\f(2,101))＋……＋f(EQ\f(100,101))＝________________.不等式|x2－2|≤2x＋1的解集为__________________.某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这90000个车牌照中数字9至少出现一个，并且各数字之和是9的倍数的车牌照共有____________个.若0＜a、b、c＜1满足条件ab＋bc＋ca＝1，则EQ\f(1,1－a)＋\f(1,1－b)＋\f(1,1－c)的最小值是_________.已知正四棱锥V－ABCD的棱长都等于a，侧棱VB、VD的中点分别为H和K，若过A、H、K三点的平面交侧棱VC于L，则四边形AHLK的面积为_______________.已知a、b、x是实数，函数f(x)＝x2－2ax＋1与函数g(x)＝2b(a－x)的图象不相交，记参数a、b所组成的点(a，b)的集合为A，则集合A所表示的平形图象的面积为___________.三、解答题(每小题20分，4个小题共计80分)已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋n－2(n≥2)，求通项an.如图，O、H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边的中点，由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E是F.证明：D、E、F三点共线.设A＝{1，2，……，n}，用Sn表示A的所有非空真子集中个元素之和，Bn表示A的子集个数.

求EQ\o(lim,\s\do5(n→∞))\f(Sn,n2·Bn).已知椭圆ε：EQ\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，

动圆Γ：x2＋y2＝R2，其中b＜R＜a.

若A是椭圆ε上的动点，B是动圆Γ上的动点，且使直线AB与椭圆ε和动圆Γ均相切，求A、B两点的距离|AB|的最大值.可得：m2＝R(1＋k2)，x2＝－EQ\f(kR2,m)(4) ……10'

由(3)(4)得：k2＝EQ\f(R2－b2,a2－R2)，x2－x1＝EQ\f(k(a2－R2),m)

∴|AB|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(1＋k2)(x2－x1)2

＝EQ\f(m2,R2)·\f(k(a2－R2),m)＝\f((a2－R2),R2)·\f(R2－b2,a2－R2)

＝EQ\f((a2－R2)(R2－b2),R2)＝a2＋b2－R2－EQ\f(a2b2,R2)

＝(a－b)2－(R－EQ\f(ab,R))2≤(a－b)2. ……15'

即|AB|≤a－b，当且仅当R＝EQ\r(ab)时取等号.

所以，A、B两点的距离|AB|的最大值为a－b. ……20'精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精