高等数学练习题

1.

/(x)=lim-

,2w+ln+\

~X

kl

>0

可写为

—,0<IxI<1

X

./■(X)=O,x=-1

2,x=1

l.|x|>1

2.

//(x)=—,x>0

x

可写为

n，7

g）=;，K〃+L〃wN

0,0<x<1

3.极限的定义

lim=/'（工）=/。\/£>0,皿>0,当％）<》<%0+附，

n->x^

4.使用夹逼准则时•，将函数（或数列）放大与缩小成一个新的函数（或数

列），而新的与原来的只差一个无穷小量。

5.单调有界准则：单调有界数列必有极限。

使用该准则时，通常是用如下两个结论之一：

a.单调递增且有上界则极限存在；

b.单调递减且有下界则极限存在。

有界性的证明通常采用数学归纳法，而证明单调性则用作差或作商的方法。

一般地，利用该准则时，先证明有界性，后证明单调性.但有时先证明单调性，再

证明有界性。

6.当x趋近于零时，一般性的等价无穷小可以归纳如

下：x~sinx~tanx

~arcsinx~arctanx~

X

e

T~ln（l+x）

aX

-l^xlna（1+x

、a

）—1

ax

1-cosx

X

2

7.下列说法中与

[im=a

W->CO

的定义等价的是（A）

A.

V£G(O,1)JN,

当n>N时，有

\xn-a|<1OOe

B.

Vf>0,3N,

当n>N时，有

\x„~n\<£-

8.当

x->1

时，函数

2i1

X

x-1

的极限（D)

A.2B.0C.无穷D不存在

9.求

i+x-1+x+l

lim—,

―00yinx

解:

,4,十一一1

T

-2x

yjx+sinxt

-x

10.极坐标：

x=cos夕".p=M+产

<J=sin,其中,

0=arctan上

x

11.重要极限

lim(1+0)8=e

%—>8或0

12.求

111

lim(*+*+…+4广

X-^i-00〃

利用重要极限求解.

13.求

122〃2

lim(z,-----+/+…+.)

+〃姬+2"娘+〃2

利用夹逼准则求解.

14.

M

表示x的取整函数.试求

Hm

解:

•/x-1<[x]<X

,则有

i-i<Wa

XX

1)当x〉0时，

(--l)x<x—<—•X

xLxJx

，由夹逼准则得，极限为1;

2)当x<0时•，

(—l)x>x_b—X

xxX

,由夹逼准则得，极限为1.

15.设

X1

=10,

16+Z

,其中n=l,2,3…，试证数列

kJ

极限存在，并求此极限.

用数学归纳法证明此数列的单调性，数列单调递减，且数列每一项都大于

零，由单调有界准则知此数列有极限；设

limx=A

〃一>8n

,对

j6+x“

两边取极限，有A=

/6+A

16.设a>0,

Xi=8

x2=八+石,…x〃+]=Ja+x“

，其中n=l,2,3…,求

Hmxn

先用数学归纳法证明单调递增，但上界不易证明，为此可先假设

limxn

=A,则可知A=

1+J4a+1

2

,此即为数列的一个上界，但此上界形式较为复杂，论证不太方便。可将其适当放

大化简：

1+J4a+1

2

<

1+""1+4.=1+.

讨论数列的单调性和有界性时，数学归纳法是一种简洁有效的方法。

17.求

37si・nx+x2cos1

lim-----------------------------------

*f。(1+cosx)ln(1+x)

x~ln(1+x)

lim

xcos

18.已知

1・[sinx勺*

hm------------=3,求

32X-1

Hm乌.

x-0X2

2

X

-1

~xln2,

lnfl+^1

Lsinxj

〜

/(x)

sinx

X

飞inx

19.讨论函数法f(x)

炉+2_短

lim-------------

Xn+X-n

的连续性。

-1,0<|X|<1

/(x)=.0,|x|=l

/，w>i

,很显然，当x=0时，f(x)无意义。

20.讨论函数

x(x+2).

—；----,x<0,x*-n.nGN

f(x)=Jsin

sinx

2i，x20

x-1

的间断点及其类型。

当X

T-n

时，

lim

x(x+2)

sin加

00

♦当X

T—2

时，

lim

x—>-2

x{x十2)

sin*

=-

2

71

当X

f1

时

lirr

x-A

sinx

x2-l-

21.当既要证明存在性，又要证明唯一性时，存在性通常用零点定理来证明,

唯一性常用单调性或用反证法来证明。

22.设函数f（x）在

M

上连续，

9

t,>O,(i=l,2,…，〃

），且

n

>，=L

i=0

试证至少存在一点

ce\a,b\

使得

/(£)=)+-)+-"，).

解：由于函数

./（X）

在

M

上连续，所以有最值定理可知

./（X）

的最大值与最小值存在，☆M-axf

./（X）

XG卜㈤

},in=min(

./（X）

I

1

xe[a,Z>]

},于是对任何

xE\a,h]

都有m

<f(x)<M

0由于

Xe[a,同

t,>0,(i=l,2,…,〃

）。所以m二

4.

/=1

n

zy(x”,《•

丑叫<M

/=1

从而有介值定理知至少存在一点

4'G[«,/>]

使得

/（£）=tj&）+t2f（x2）+…fJ（x“）.

o证毕。

23.设函数

./（X）

Sin7DC

，则（D）

A.有无穷多个第一类间断点B.只有1个可去间断点

C.有2个可去间断点D.有3个可去间断

24.求

r1.|l+x

Iim—In------

I。4V1-x

去根号，等价无穷小。

25.计算

limsin2(^V^2+〃)

n—>co

降幕。

26.设函数f(x)可导,F(x)=f(x)(1+|sinx|),贝!|f(0)=0是F(x)在x=0处

可导的充要条件。

解：由导数的定义F'(0)=

F(x)-F(0)

hm--------------

a。x-0

,矢口

F'_(0)=

F(x)-F(0)

hm--------------

XTO-X-0

=f，

(0)-f(0)=f'(o)-f(0)

F'

F(x)-F(O)

lim---------------

x”X-0

二f，

(0)-f(0)=f'(0)-f(0)

27.设f(0)=0,则f(x)在点x=0处可导的充要条件为(B)

A.

/(I-cosh)

lim

h-tO

存在B.

lim--------------

ioh

存在

B.

/(/?-sinh)

lim、

7h2

存在D.

-〃2〃)-/(〃)

lim-----------

goh

存在

解：注意到1-cosh

>

0,且

lim(l-cosh)=0

hr。

.如果

lim/(l-cosh)

3)h

，则

20h

/(I-cosh)-f(0)1-coshi

lim[

0l-cosh-0h2

2

/(l-cosh)-/(0)

lim---------------------------

D]-cosh-0

J_

2

「/(w)-/(0)

lim-------------------

w—0

所以A成立只保证f'

(0)成立，而不是f'(0)存在的条件

A-»Oh

存在，则

A->0h

Hm巫。二幽.旦

*i.->o.vn1-ec*-0AIt

1加/。一？/(°)

hAfS°1—C八4—C0\

=-f'(0),因此B是充要条件。

如果

lim维普

Dh2

存在，则

1.f(h-sinh)-/(0)h-sinh

lim-------------------------........-

h-sinh-0

注意到

h-sinh

lim-----2-——

/1Toh

=0,

所以若f'(0)若存在，则由右边推知左边极限存在且为零。若左边极限存

在，则

/(A-sinh)-/(0)

lim-----------------------

Dsinh-0

可能不存在，故f'(0)可能不存在。

至于D

A->0h

lim；(/(2A)-/(0))-1(/(A)-/(0))

2。hh

,若f'(0)存在，上述右边拆项分别求极限均存在，保证了左边存在。而左边存

在，不能保证右边拆项后极限也存在。

28.设

1-COSX

------7=~,X>。

/(X)=\yfx

/g(x),x<0

，其中

g(x)

是有界函数，则

./(X)

在x=o处可导。(用定义做)

29.已知

./(X)

在x=a处可导且

/(«)

>0.求

解:

./■(x)

在X=J处可导，则

f(a+—)-f(a)

lim--------\------------

n->coj

/I(a)

且当r充分大时

./(«+—)

n

>0.故

=exp

=exp

/(«+)-/(a)

+-------------------)

f/(a)

=exp

f(a+X)-f(a)

limw---------匚

f/(a)

=exp

/(a)

30.讨论函数

/(x)=x|x(x-l)|

的可导性。

解：

../W-/(0)

lim---------------

X-><)-x-0

limx(x-1)

x->0-

=0

1沁小)一〃°)

I。’X-0

-limx(x-1)

=0

./■(x)

在x=0处可导。

lim如⑨

Xi+X~1

].X3-X2

lim---------

3+x-1

=1

../(x)-/⑴

lim---------------

x—1

].x3-x2

lim---------

3+x-1

=-1

/(X)

在x=l处不可导。

综上所述,

./（X）

只有在X=1处不可导,

./（X）

在（-

00

,1）

U

（1,+

O0

）

31.设函数

./（X）

连续，且

/'（0）>0

，则存在

J>0

,使得（C）

A.

./（X）

在

（0,0

乃内单调递增B.

./（X）

在

3,0）

内单调减少

C.对任意的

（o3）

有

./（X）

>

/（0）

D.对任意的

有

./（X）

>

/（0）

解:

/'(0)>0

/(O)

lim---------------

XT。x-0

>0.

则当

x>()

时，

./（X）

>

/(0)

32.设不恒为零的奇函数

./（X）

在

x=0

处可导。试说明

x=0

为函数

/(%)

X

的哪一类间断点。

解：

./（X）

为奇函数，

/(0)

=0o

XTOX-0

存在，则

lim--------

XTOx

存在，但是函数

/⑺

X

在

x=0

处无意义。所以

x=Q

为函数

/(X)

X

的可去间断点。

33.设函数

./(X)

/l->ooV11

,则

./（X）

在

(—00,+8)

内（）

A.处处可导B.恰有一个不可导点

C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点

解：

/（X）

'中日

x3,x>1

—,X<一1

(

lim

n->oo

醐3（Wk

)

/；(!)

lim^^

11+x—1

—3,

(1)

=0,故

在X=1处不可导;

同理

./■（X）

在X=~l处也不可导。

34.设

b(x)=max{/；(x)/(x)}

的定义域为（-1,1）,其中

/(X)=X+1/(X)=(X+1)2

，试讨论

F(X)

的可导性。若可导，求

其导数。

解：

尸（X）

(X+1)2,(0,1)

<l,x=0

x+l,(-l,0)

尸(x)

2(x+l),(0,l)

limiT

x->0+X-0

=2,

lim----------

XTO-一x—0

=lo

即

*（X）W

F;(x)

,所以

爪x)

在x=0处不可导。故

/(x)

2(x+l),(0,l)

35.设

y=xa°+a+aa,a>0.求——

d、

解:

y

dx

相产+

xaIna

?

a-xu1Ina

+

axIna

e

?

axIn2a

36.设

y=s\nf(x)

且f有二阶导数。求

2

dy

d2

x

解：

y=cos/(x2)-/'(x2)-2x

y'=-sin/(x2).[/'(x2)-2x]2+

COS/(X2).[/"(X2)4X2+2/'(X2)]

37.已知函数

./（X）

具有任意阶导数且

r(x)=L/W.

则当n为大于2的

正整数时

是（B）

A.

〃[/（X）产

B.

矶/（为产

C.

[/(x)]2B

D.

现“X）产

解：

/⑵（尤）

=2

./（X）

/'（X）

=2

[/（X）]3.

/⑶（X）

=2?3

/(无)2

/'W

=2?3

[/(X)]4.

38.设

./（X）

=3

x3+x2|x|,

则使

/伙0)

存在的最高阶数n为（C)

A.0B.1C.2D.3

解：逐阶计算导数来验证，记

工㈤

=3

易见

6”）（劝

都存在；令记

AM

启X)

x3,x>0

-x3,x<0

9

x

/2()

3X2,X>0

-3X2,X<0'

6x,x>0

-6x,x<0'

即

/2"U)

=6

W

，则有

f；(x)

/2"U)

=0.由

W

在x=0不可导，知

"((J)

不再存在。

39.求对数螺线

p—e°

在点（

)=

处的切线的直角坐标方

程。

解：由

p—^

知

x-e°cos。

y=e°sin0

，点

I，2J

的直角坐标为

0,e2

O

又由

dy/九

dx/人

cos。+sin。

cos。一sin〃

可知，当

0

n

2

时

dx

=-1

故所求切线方程为

n

y-e2

=(-1)(x-1)即

It

x+y-e2

=0o

40.已知

./(X)

是周期为5的连续函数，其在x=0的某个邻域内满足关系式

/(I+sinx)-3/(1-sinx)=8x+a(x),

其中

«(x)

是当

x—>0

时比

X

高阶的无穷小且

./,(X)

在

X

=1处可导。求曲线

y=/(x)

在点(6,

/(6)

)处的切线方程。

解：由题设条件有

+sinx)-3/(1-sinx)]=lim[8x+a(x)J,

x->0XTO

从而

/(1)-3/(1)=0,

得

,/(1)=0

o又

liml/(l+Sinx)-3/(l-sinx)|二.巴士但1二

XTOxXTO%

8,

从而

1./(14-sinx)-3/(1-sinx)sinx

lim・=o

I。sinxx

即

lim/(l+sinx)-3/(l-sinx)=8

osinx

令t=sinx,则有

Hm/(l+sinx)-3/(lTinx)-Hm/(I+Z)-3/(1-Q=&

x-*osinx，T°I

即

^/(1+/)-3/(1-/)

1l：im-----------------=

，T°t

+0-/(1)..

lim--------------1-3-

/->oi

/(I-0-/(1)

lim-------------

/->0—i

=4

/'(I)=8

所以

./''(I)

=2,由

./■(x)

/(x+5)

,可得

/'(x)

/,(X+5)

o则

/(I)

/(6)

=0,

/'(I)

/'(6)

=2

故所求切线方程为

y-0=2(x-6)

,即

2x—y-12=0

为所求。

41.扩音器插头为圆柱形截面半径R为0.15cm,长度L为4cm,为了提高它的

导电性能，要在圆柱形的侧面镀一层厚度为0.001cm的铜，问每个插头需要用多少

克纯铜？(铜的密度为8.9g/cm

3

解：圆柱体V=

成2LZW=2兀RLAR,以R=。.15,L=4,AR=0.001

代入得

AV®

8

兀

x0.15x0.001

0.0037699铜的密度为8.9g/cm

3

,故每个插头所需要铜的质量为：m=

/?AF

=0.03355g.

42.泰勒中值定理

如果函数

在含有

的某个开区间（a,b）内具有直到（n+1）阶的导数，则对任一

xe

(a,b),有

2

/(x)=/(xo)+/VoXx-xJ+^^(x-xJ+-+^^(x-xor+/?,(x)

其中

此（0

=

（〃+1）尸”。）代

是介于

与

X

的某个值），称

此㈤

为拉格朗日型余项;若

此（何

o[(x-Xo)"]

,称

R.(x).

为佩亚诺型余项。

X2X”

=l+x+—+-+—+o(xn)

2!n\

(

-00<X<-H»

)

r3r5r2n-l

sinx=x-—+-——+(-l)n+1———+o(x2"-')

3!5!(2〃一1)!

(

-00<X<+00

)

2462n-2

.XXX/八"]X/2n-2X

COSX=1--------1-------------F…+(―1)-------------FO(X)

2!4!6!(2〃-2)!

(

-oo<x<+00

)

ln(l+x)=x-—+---------+;xn+o(xn)

23n

(

x

>-1)

------=l+x+x2+•・・+x〃+o(x")

1-x

(1+X)=1+/MX+------X+•«•+---------------------------------X+O(X)

2!w!

43.设