高考2023人教A版高中数学变式题4复习参考题 4

复习参考题4

复习参考题4

解答题

1.根据下列数列的通项公式，分别作出它们的图象.

⑴斯=-%

（2）bn=~

（3）c=—；

1nn

【答案】答案见解析

【分析】根据数列的通项公式求出它的前几项，从而作出它们的图象.

【详解】（1）即=-?的前5项分别为：一；，一；，一:，一：，一"如下图所示:

444444

*k

_1________]________।।।_________I________]a

O,.n

*

-•

（2）的前4项分别为：丁印如下图所示:

JJJJJ

*

&A

tI___________________，ItII.

~~On

（3）Cn=等的前5项分别为：3,I，I，如下图所示:

（4）小=『的前5项分别为：-1,如下图所示:

d1A

J-而

o•n

2.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式.

⑵1+摄i+第i一京;

(3)0,V2,0,V2.

n

【答案】（1）得，n€N*；(2)即=l+(T)+】•靛，ne/V*；(3)an=[1+

(-1)[孝，n€N*.

【分析】（1）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可;

（2）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可;

（3）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可.

【详解】⑴心,|,看

观察每一项的分子是连续的奇数，分母是2%

2n—lz*

an-neN;

试卷第2页，共13页

观察每一项的组成是1加或减一个分数的形式，

分数的分子是连续的奇数，分母是连续偶数的平方，

・・•斯=1+(-1严】寿，neN*；

⑶•••0,V2,0,V2,

工该数列可化为(1—1),当，(1+1),争(1—1)•■—>(1+1),圣

••-«n=[1+(-1尸]•冬new.

二.选择题

3.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是用=Po(l+k)n(k>

-1),其中匕为预测期人口数，Po为初期人口数，4为预测期内人口年增长率，”为预测

期间隔年数，如果在某一时期k6(—1,0),那么在这期间人口数()

A.呈上升趋势B.呈下降趋势C.摆动变化D.不变

【答案】B

【分析】根据题意，可知k为预测期内年增长率，当(-1,0),可知年增长率为负，

由此即可求出结果.

【详解】由题意，k为预测期内年增长率，如果在某一时期有％6(-1,0),即年增长率

为负，故这期间人口数呈下降趋势.

故选:B.

4.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个

面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的3是较小的两份之和,

则最小的一份为()

A.-B.-C.-D.-

3366

【答案】A

【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为包工，设公差为d,可得43+&4+。5=

7(%+。2),55=100,求出。3,根据等差数列的通项公式，得到关于d关系式，即可求

出结论.

【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为付工，设公差为d,

依题意可得，S5=巧®=5a3=100,

••・a3=20,Q3+Q4+=7（即+。2），

60+3d=7(40-3d)，解得d=6

cii=a3_2d=20—^=|.

故选:A.

【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n项和、通项公式基本量的计算，

等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.

5.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是:

从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作

正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角

形(图U)的边长为1,把图口，图口，图」，图口中图形的周长依次记为Ci，C2,C3,C4,

则C4=()

【答案】B

【分析】观察图形可得出｛Cn｝为首项为C1=3,公比为斜勺等比数列，即可求出.

【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基

础上多了其周长的点即的=Cn-i+|Cn-i

所以｛Cn｝为首项为Ci=3,公比为g的等比数列，

,•=3xg)3=7.

故选：B.

三.填空题

6.已知a=5+2乃，c=5-2乃，若a,b,c三个数成等差数列，贝I6=

若a,b,。三个数成等比数列，则4.

［答案】5±1

【分析】由等差中项与等比中项计算即可.

试卷第4页，共13页

【详解】若“，b,c三个数成等差数列.

若4,b,C三个数成等比数列.

所以炉=ac=(5+276)(5-2通)=1=b=±1

故答案为：5,+1.

7.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，

共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？“意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两

层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为

【答案】3

【详解】分析：设塔的顶层共有如盏灯.，则数列｛a。｝公比为2的等比数列，利用等比数

列前n项和公式能求出结果.

详解：设塔的顶层共有山盏灯，则数列｛a。｝公比为2的等比数列，

」S7芈答381,解得ai=3.故答案为3.

点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.

四.解答题

8.某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款

1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的

捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行了多少天？

【答案】16

【分析】由题意知每天得到的捐款成等差数列，写出首项与公差，代入前n项和公式，

即可解出答案.

【详解】由题意知：每天得到的捐款成等差数列.

且臼=10,d=10

w(n1)10

则%=10n+-=1200化简得：M_n_240=0=(n+15)(n-16)=0=

n=16(n=一15舍).

故这次募捐活动一共进行了16天.

9.某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一

利1，每天支付38圆；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，以此类

推：第三种，第一天付04元，以后每天比前一天翻一番(即增加一倍)，

你会选择哪种方式领取报酬呢？

【答案】见解析

n/M〃-1).、1.

.5=4n+-----^x4=2〃-2〃

【详解尸"俐，2

=0,4(2'-ll

1-2

下面考察4,纥，C的大小.可以看出“<10时，38n>0.4(2n-l)

因此，当工作时间小于io天时，选用第一种付费方式,

“210时，B.&C,

因此，选用第三种付费方式.

10.非零实数。，b,。不全相等.

(1)若a,b,c成等差数列，J,工构成等差数列吗？你能用函数图象解释一下吗？

abc

(2)若a,b,c成等比数列，工能构成等比数列吗？为什么？

abc

【答案】(1)不构成(2)构成

【分析】(1)利用等差数列的通项公式为一次函数模型即可判断.

(2)根据等比中项判断即可.

【详解】(1)不成等差数列.可以从图像上解释.a,b,c成等差数列.则通项公式为y=pn+

q的形式，且a,b,c位于同一直线上，而L3工的通项公式却是y=」一的形式，

abcpn+qa

?杯可能在同一直线上，呢，r杯是等差数列.

(2)成等比数列.因为a,b,c成等比数列，有〃=ac,又由于〃、6、c不为0,两边

同取倒数有:A制=汴所以±r协等比数列•

11.小明的父母为了准备小明将来考入大学的学费，于2017年元旦在某银行存入10000

元，并在后续每一年的元旦都在该银行存入1200元，直到2022年存入最后一笔钱为

止.如果银行的存款年利率为2.75%,且以复利计息，那么小明的父母在2022年底将

存款连本带利全部取出时，能取到多少钱？

【答案】18281.21元

【分析】根据复利计算即可得出答案.

【详解】由题意得，小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出的钱数为:

10000(1+0.0275)6+1200(1+0.0275)5+1200(1+0.0275)4+•••

+1200(1+0.0275)1

1200(1+0.0275)(1-(1+0.0275)5)

10000(1+0.0275)6+

1-(1+0.0275)

试卷第6页，共13页

«18281.21（元）

即能取至IJ18281.21元.

12.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反

复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4―2-1.这就是数学史

上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数m=6,根据上述运算法则得出

6-3—10—5—16—8T4T2-1,共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).

现给出冰雹猜想的递推关系如下：己知数列｛斯｝满足：%=m(机为正整数)，a“+i=

'当小为偶数时

3(1皿+\,当an为奇数时，

(1)当巾=17时，试确定使得即=1需要多少步雹程；

(2)若。8=1，求机所有可能的取值集合

【答案】(I)12；(2)M=[2,3,16,20,21,128).

【分析】(1)直接利用递推关系逐步计算可得使得斯=1需要多少步雹程；

(2)由(18=1,利用递推关系，分类讨论逆推出为的不同取值，进而可得答案.

【详解】当6=17时，即根据上述运算法得出：

17152T26Tl3740T20T10

—>5—>16—>8—>4—*2—>1

故当巾=17时，使得Qn=1需要12步雹程；

(2)若他=1，根据上述运算法进行逆推，

a7=2,a6=4,a5=8或的=1；

若05=8,则。4=16,%=32或%—5；

当的=32时，a2=64,%=128或%=21；

若⑥=5时，a2=10,Qi=20或%=3；

当的=1，则=2,=4,。2=8或%=1；

当&=8时，％=16；

当=1时，@1=2,

故。8=1,根所有可能的取值集合M=｛2316,20,21,128｝.

13.已知等差数列｛即｝的前〃项和为无，且S4=4S2，Q2n=2册+l(n€N*).

(1)求数列｛aj的通项公式；

n

(2)若bn=3T,令cn=即bn,求数列｛%｝的前〃项和

n

【答案】(1)an=2n-l(2)7；=(n-l)3+l

【分析】(1)利用等差数列的前几项和公式与通项公式，即可解出内、d,则可写出其通

项公式.

(2)利用错位相减，化简解可得出答案.

【详解】(1)由题意知：S4=452,a2n=2即+1

.,4(4-l)d.,2(2-l)d、*

4%+---=4(2%+---)化简得［%=1

+(2n—l)d=2(即+(n-l)d)+1(d=2

所以数列｛an｝的通项公式与=l+(n-l)2=2n-l.

n-1

(2)因为cn=anbn=(2n—l)3

所以7；=1x3。+3x31+5x32+…+(2n-1)x3n一】①

(1)x3.-37；=1x31+3x32+5x33+-+(2n-1)x3n②

n-1n

@-@-.-2Tn=1x3。+2x31+2x32+…+2x3-(2n-1)x3

nxn

-2Tn=1+2(31+32+…+3-)-(2n-1)x3

3(1-3n-1)

=l+2x二3」-(2n-1)x3n

n

化简得：Tn=(n-l)3+l.

14.已知等比数列｛斯｝的前“项和为又，且an+i=2Sn+2(neN*).

(1)求数列｛a.｝的通项公式.

(2)在即与斯+i之间插入〃个数，使这n+2个数组成一个公差为分的等差数列，在数

列｛4J中是否存在3项4,dk,dp,(其中〃?，七p成等差数列)成等比数列？若存在，

求出这样的3项，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)an=2x3n-i⑵不存在

【分析】(1)由题意知｛an｝为等比数列，取n=l、2代入等式即可解出的、q,即可写

出a》

(2)根据题意结合第一问先写出册的通项公式，假设存在，解出机、左、p结果与题意

矛盾，则不存在.

【详解】(1)由题意知：

当找=1时：aw=2%+2□

2

当n=2时：aAq—2(at+a^q)+2□

联立口口，解得的=2,q=3.

所以数列｛厮｝的通项公式以=2x371T.

71n

(2)由(1)知。加:？*?-】，an+1=2x3.

所以a^+i=an+(n+2—l)d.

n-1

所以%=an+1-a”4x3

n+1n+1

试卷第8页，共13页

设数列｛dn｝中存在3项dm，dk,dp,(其中加，k,p成等差数列)成等比数列.

2

则&=dm-dp,

OfI?)/4x3fc~1\2_4X3"1-14X3PT即(483卜、2_42*3"1+。-2

“Ik+1J-m+1p+1，'\k+1J-(m+l)(p+l)-

又因为机，k,p成等差数列，

所以2k=m+p

所以(k+l)2=(m+l)(p+l)

化简得/+2k=mp+m+p

所以卜2=mp

又2k=m+p,所以k=m=p与已知矛盾.

所以在数列｛dn｝中不存在3项dm，dk,dp成等比数列.

15.类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对

偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算"+”改为"X”，"「改为正整数倍改

为正整数指数幕，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立.

(1)根据上述说法，请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式；

名称等差数列｛an｝等比数列｛%｝

定义

«n+i-an=d

通项公

nnm

b"=biqT=b,nq-

式

□

Q]+Q=+an-l=+

n□

an-2=•••

常用性□若m+n=k+l(m,n,k,lEN*

□an.fc+an+k=2an(n>fc)

质)，

□

则=bkbt

□n

□瓦、2……bn=(b也”

(2)在等差数列｛an｝中,若&2018=0，则有%++…+%=%++…+

a4035-n(ne/V*,n<4035).相应地，在等比数列｛%｝中，若82019=1，请你类比推测

出对偶的等式，并加以证明.

【答案】(1)答案见下表；(2)等式见解析；证明见解析；

【分析】(1)根据将等差数列的一个关系式中的运算“+”改为“x”，"「改为“+”，正整数

倍改为正整数指数幕，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成

立.类比推断出相关的对偶关系式即可；

(2)类比推测出对偶的等式，并根据等比数列性质进行证明即可.

【详解】(1)根据上述说法，参照给出的信息推断出相关的对偶关系式如下表：

名称等差数列｛0｝等比数列｛匕｝

bn+T

定义0n+i—an—d——=q

bn

通项公

nm

an=+(n—l)d=am+(n—m)dbn=瓦q"T=bmq-

式

□?/1-bn=b2-bn_i=b3-b"_2=

口%+an=a2+an_i=a3+

Q2=•••

□bn-k-bn+k=底(n>k)

常用性口an_k+Qn+k=2aHm>k)

口若m+n=k+l(m,n,k,leN*

质□若m+几=k+l(m,n,k,lEN*),

)，

则即+=①+七

贝Ijbnbm=bkbt

+。2+…+即=/(瓦+》n)

□瓦坛……bn=(b/n”

(2)类比推测出对偶的等式知，在等比数列｛b｝中，若无019=1，

瓦,b2-bn=瓦・b2-b4031_n(n€N*,n<4037)；

证明如下：

由等比数列性质知，1+/4037-?1=%n+2b4036-n=…=^2019=1；

^4038-n=^n-1^4039-n=…=^2019=1；

故当4037—n>n,即《<史等时，

t>n+l't>n+204037-"=^2019~2n=L

则打血…b"=瓦也..也037f

同理当4037-n<n,即4037>n>等时，

^4038-n'^4039-n…匕=b第=]

b1-b2-bn=b1-b2-b4037.n

n

综上所述：号.b2—bn=瓦.匕2^4037-n(eN*,n<4037)

16.在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品,

试卷第10页，共13页

其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按图中所示

方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第〃堆第〃层就放

一个乒乓球.记第n堆的乒乓球总数为/(n).

(1)求出/(3)；

(2)试归纳出f(n+l)与/'(n)的关系式，并根据你得到的关系式探求/(n)的表达式.

参考公式：仔+2?-I------bn2=-n(n+l)(2n+1).

6

【答案】(1)10；(2)/(n+1)-/(n)=(w+iy+2)；f(n)=迎等A；证明见解析;

26

【分析】(1)根据图形可直接求出；

(2)观察图形的排列规律，归纳总结出f(ri+1)与f(n)的关系式，并求得/(n)的表达

式.

【详解】观察图形的排列规律可知，

f⑵=1+1+2=4；

/(3)=1+1+2+1+2+3=10；

f(n)=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)

(1)/(3)=10

(2)由上知，f(n+1)-/(n)=l+2+-+n+n+l=

(f+2)

则y(n+1)-f(n)==ln2+|n+i

f(n+1)-/(1)=f(n+1)-f(n)+/(n)-f(n-1)+…+/(2)-/(l)

13

=-(l2+22H------Fn2)+-(1+2H------1-n)+n

1n(n4-l)(2n+1)3n(n4-1)

=-x--------?----------+-x-H:~~-+n+l-l

2622

(n+l)(n+2)(n+3)

=--------------6-----------------1

故,5+1)=353

6

又7(i)=i,则〃>)=迎邛竺2

6

17.有理数都能表示成：（m,neZ,且n#0,"?与"互质）的形式，进而有理数集

（^=｛：|??1尸€2且〃力0,加与〃互质｝.任何有理数;都可以化为有限小数或无限循环

小数.反之，任一有限小数也可以化为％的形式，从而是有理数；那么无限循环小数是

n

否为有理数？

思考下列问题：

（1）1.2是有理数吗？请说明理由.

（2）1.24是有理数吗？请说明理由.

【答案】（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析

【分析】⑴由1.2=弓可判断；

（2）由1.24=崇可判断.

【详解】无限循环小数也可以化成neZ,且71#0,M与〃互质）的形式，故无

限循环小数是有理数，

（1）•.-1.2=^,可以化为巴的形式，故1.2是有理数；

9n

（2）•••1.24=翌，可以化为友的形式，故1.24是有理数.

99n

18.平面上有兀（71€乂〃23）个点，其中任何三点都不在同一条直线上.过这些点中任

意两点作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论.

【答案】写2证明见解析；

【分析】根据n=3,4,5时的直线条数，归纳出有〃个点时的直线条数，利用数学归纳法

证明即可.

【详解】当n=3时，过任意两个点作直线，共有3条；

当n=4时，设四个点为4B,C,D,过C三点中的任意2点的直线有三条，过4,B,C三

点中的任意1点与。点相连的直线有3条，即共有3+3=6条；

当n=5时，设五个点为41,42,43,44,45，同上，过