2023-2024学年高中数学人教A版2019课后习题6-2-3　向量的数乘运算

第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)下面四种说法,其中正确的是()A.对于实数m和向量a,b,恒有m(ab)=mambB.对于实数m,n和向量a,恒有(mn)a=manaC.对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=bD.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n答案AB解析由向量数乘的运算律,得A,B均正确.对于C,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于D,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.2.已知向量AB=a+2b,BC=5a+3b,CD=3a+b,则()A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线答案A解析∵向量BD=BC+CD=2a+4b,AB=a∴BD=2AB,即A,B,D三点共线.3.已知在△ABC中,向量AP=λ(AB+AC)(λ∈R),则点P的轨迹经过△ABC的A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心答案D解析设D为BC中点,则AB+AC=2∴AP=2λAD,即点P在中线AD所在直线上,可知点P轨迹必过△ABC的重心.4.若AB=5e,CD=7e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.

答案等腰梯形解析由已知得AB=57CD,因此AB∥CD,且|AB|≠|CD|,所以四边形ABCD是梯形.又因为|AD|=|BC|,5.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b3a)共线,则λ的值为.

答案1解析由向量共线可得a+λb=k(b3a),即a+λb=kb3ka,∴(1+3k)a=(kλ)b.∵a,b不共线,∴1+3k=0,k-6.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b(1)用a,b分别表示向量AE,(2)求证:B,E,F三点共线.(1)解∵AD=12(AB+∴AE=23AD∵AF=12AC=12b,(2)证明由(1)知BF=a+12b,BE=BA+AE=a+13(a+b)=23∴BE=∴BE与BF又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.7.(1)已知a=3i+2j,b=2ij,求13a-ba23b+(2(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3xy=b,求x,y.解(1)原式=13aba+23b+2ba=13-1-1a+∵a=3i+2j,b=2ij,∴原式=53(3i+2j)+53(2ij)=-5+103i+-103(2)将3xy=b两边同乘2,得6x2y=2b.与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=111a+211∴y=3xb=3111a+211b关键能力提升练8.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+PB+PC=0,若实数λ满足AB+AC=λAP,A.2 B.32 C.3 D.答案C解析AB+AC=又PA+PB+PC=0,即∴AB+AC=3PA=λAP=λ∴λ=3.9.(2020辽宁营口期末)已知D为△ABC所在平面内一点,3DC=CB,则AD=(A.13AB+C.43AB-答案A解析因为D为△ABC所在平面内一点,3DC=CB,所以AD=AC+CD=10.(2021福建福州期中)如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),且AP=mAB+nAD(m,n∈R),则1m+2nA.3 B.3+22C.4 D.4+22答案C解析因为点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),则BP=λBC(0<λ≤1),则AP=AB+BP=AB+λBC=AB+λ(BA+AD+DC)=AB+λAB+AD+12AB=112则1m+2n=11-12λ+2λ=22-λ+2当且仅当2-λλ=λ2-故1m+2n的最小值为411.(多选题)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理.在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个选项正确的是()A.GH=2OG B.GA+GBC.AH=2OD D.S△ABG=S△BCG=S△ACG答案ABCD解析在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示.对于B,根据三角形的重心性质得GA+GB+GC=0,对于A,C,∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,∴GHOG=AHOD=AGDG=2,∴GH=2OG,AH=对于D,过点G作GE⊥BC,垂足为E,∴△DEG∽△DNA,则GEAN=DGDA=13,∴△BGC的面积为S△BGC=12×BC×GE=12×BC同理,S△AGC=S△AGB=13S△ABC,选项D正确12.在平行四边形ABCD中,DE=12EC,BF=FC,若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R,答案7解析由平面向量的加法运算,有AC=因为AC=λAE+μAF=λ(AD+DE)+μ(AB+BF)==λ3所以AB+即1λ3μAB=λ+μ21AD.∵AB,AD∴λ3+μ=1,λ+μ213.已知M是△ABC所在平面内的一点,若满足6AM-AB2AC=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是答案3解析记2AM=∵AN-AB+2AN2AC=∴BN=2NC,S△ABC=32S△ABN又S△ABM=12S△ABN∴S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.14.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设AB=a,AO=b.(1)用向量a与b表示向量OC;(2)若OE=35OA,判断C,D,E解(1)∵AB=a,AO=b,点A是BC的中点,∴AC=a.∴OC=OA+AC(2)C,D,E不共线.理由如下,假设存在实数λ,使CE=λCD.∵CE=CO+OE=a+b+35(b)=CD==2a+13(a+b)=53a+1∴a+