2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题章末测评卷模块综合测评

模块综合测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东青岛模拟)“ab=4”是“直线2x+ay1=0与直线bx+2y2=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.如图,四面体SABC中,D为BC中点,点E在AD上,AD=3AE,则SE=()A.13B.2C.12D.13.圆P:(x+3)2+(y4)2=1关于直线x+y2=0对称的圆Q的方程是()A.(x+2)2+(y1)2=1B.(x+2)2+(y5)2=1C.(x2)2+(y+5)2=1D.(x4)2+(y+3)2=14.如图,在一个60°的二面角的棱上有两点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱AB,若AB=AC=BD=4,则线段CD的长为()A.43 B.16 C.8 D.425.坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny2m2n=0上的投影为点P,若点Q(1,1),那么|PQ|的取值范围为()A.2,32C.22,36.(2021辽宁沈阳期末)正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20cm,灯深10cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5cm B.3.5cm C.4.5cm D.5.5cm7.如图,四棱柱SABCD中,底面是正方形,各侧棱都相等,记直线SA与直线AD所成角为α,直线SA与平面ABCD所成角为β,二面角SABC的平面角为γ,则()A.α>β>γ B.γ>α>βC.α>γ>β D.γ>β>α8.已知双曲线x24-y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,|AB|=35,M(4,1),若双曲线上存在一点P使得|PM|+|PF2|≤tA.52 B.2 C.52+4 D.524二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在下列四个命题中,错误的有()A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π]C.若一条直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为αD.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tanα10.若a=(1,λ,2),b=(2,1,1),a与b的夹角为120°,则λ的值为()A.17 B.17 C.1 D.111.(2021河北石家庄检测)已知P是椭圆C:x26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则A.椭圆C的焦距为5B.椭圆C的离心率为30C.圆D在椭圆C的内部D.|PQ|的最小值为212.定义空间两个向量的一种运算a⊗b=|a|·|b|·sin<a,b>,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A.a⊗b=b⊗aB.λ(a⊗b)=(λa)⊗bC.(a+b)⊗c=(a⊗c)+(b⊗c)D.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊗b=|x1y2x2y1|三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,2)的直线l将圆x2+y24x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.

14.下列结论中,正确的个数是.

①若a,b,c共面,则存在实数x,y,使a=xb+yc②若a,b,c不共面,则不存在实数x,y,使a=xb+yc③若a,b,c共面,b,c不共线,则存在实数x,y,使a=xb+yc④若a=xb+yc,则a,b,c共面15.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=1,则异面直线BC1与A1B1所成角为;二面角ABC1C的余弦值是.

16.(2021山东聊城期末)已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,|AB|=8,则p=,M为抛物线弧AOB上的动点,△AMB面积的最大值是.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求分别满足下列条件的直线l的方程.(1)已知点P(2,1),l过点A(1,3),P到l距离为1;(2)l过点P(2,1)且在x轴、y轴上截距的绝对值相等.18.(12分)已知A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5),(1)求平面ABC的一个法向量;(2)证明:向量a=(3,4,1)与平面ABC平行.19.(12分)(2021河南洛阳检测)过点P(0,2)的直线与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点.(1)若AP=2PB,且点A在第一象限,求直线AB的方程;(2)若A,B在直线y=2上的射影分别为A1,B1,线段A1B1的中点为Q,求证:BQ∥PA1.20.(12分)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.(1)求证:AM∥平面BDE;(2)求二面角ADFB的大小;(3)试在线段AC上找一点P,使得PF与CD所成的角是60°.21.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,点A(2p,0).若当MF⊥x轴时,△MAF的面积为5.(1)求抛物线C的方程;(2)若∠MFA+2∠MAF=π,求点M的坐标.22.(12分)(2021黑龙江双鸭山期中)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆C:x24+y2=1的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆C上且异于点A,B,直线AP,PB与直线l:y=2分别交于点M,(1)设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,判断k1·k2是否为定值?请证明你的结论.(2)求线段MN长的最小值.(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过y轴上的定点?请证明你的结论.模块综合测评1.B∵两直线平行,∴斜率相等,即可得ab=4,∵不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,∴两直线平行时需ab=4,且a≠1,b≠4.故选B.2.B四面体SABC中,D为BC中点,点E在AD上,AD=3AE,∴SE=SA+13AD=SA+13.B圆P:(x+3)2+(y4)2=1,圆心为(3,4),半径为1,关于直线x+y2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a,b),则a解得a所求圆的标准方程为(x+2)2+(y5)2=1.4.DCD=CA+AB+BD,∴CD2=CA2∵CA⊥∴CA·AB=0,BD∵CA·BD=|CA||BD|cos120°,∴CD2=42+42+422×16×12=32,∴|CD|=45.A直线mx+ny2m2n=0,可化为m(x2)+n(y2)=0,故直线过定点M(2,2),坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny2m2n=0上的投影为点P,故∠OPM=90°,所以P在以OM为直径的圆上,圆的圆心为C(1,1),半径为2,根据点与圆的关系,|CQ|=(1+1)2+故2=22-2≤|PQ|≤2+22=36.A设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,则p2=2.5,即焦点坐标为(2.则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.C连接AC,BD,交于点O,连接OS,则OA,OB,OS两两垂直,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OS为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则S(0,0,2),A(2,0,0),D(0,2,0),B(0,2,0),SA=(2,0,2),AD=(2,2,0),SB=(0,2,2),cosα=|SA平面ABCD的法向量n=(0,0,1),cosβ=|n设平面SAB的法向量m=(x,y,z),则m取x=1,得m=(1,1,1),cosγ=|m∵cosα<cosγ<cosβ,∴α>γ>β.8.D双曲线的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),渐近线方程为y=±bax令x=c,解得y=±bca可得|AB|=2bca,|AB|=3即2bca=35,由a=2,c2=a2+b解得b=5,c=3,即有双曲线的方程为x24-由题意可知,若P在左支上,由双曲线的定义可得|PF2|=2a+|PF1|,|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+4=(4+3)2+1+4=当且仅当M,P,F1共线时,取得最小值4+52;若P在右支上,由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|2a,|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|2a≥|MF1|4=524,当且仅当M,P,F1共线时,取得最小值524.综上可得,所求最小值为524.9.ABCD对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在,∴A错误;对于B,直线倾斜角的取值范围是[0,π),∴B错误;对于C,一条直线的斜率为tanα,此直线的倾斜角不一定为α,如y=x的斜率为tan5π4,它的倾斜角为π4,∴对于D,一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tanα或不存在,∴D错误.10.AC∵a=(1,λ,2),b=(2,1,1),a与b的夹角为120°,∴cos120°=a·解得λ=1或λ=17.11.BC依题意可得c=6-1=5,则C的焦距为25设P(x,y)(6≤x≤6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1x2所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为4512.AD对于A,a⊗b=|a|·|b|sin<a,b>,b⊗a=|b|·|a|sin<b,a>,故a⊗b=b⊗a恒成立;对于B,λ(a⊗b)=λ(|a|·|b|sin<a,b>),(λa)⊗b=|λ||a|·|b|sin<λa,b>,故λ(a⊗b)=(λa)⊗b不会恒成立;对于C,取a,b,c为两两垂直的单位向量,易得(a+b)⊗c=2,(a⊗c)+(b⊗c)=2,则此时(a+b)⊗c=(a⊗c)+(b⊗c)不成立;对于D,cos<a,b>=x1x2+y1y2即有a⊗b=|a|·|b|·1-x1x2=x12y22+x22y则a⊗b=|x1y2x2y1|恒成立.13.22过点(1,2)的直线l将圆(x2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,就是与圆心(2,0)和点(1,2)的连线垂直的直线,连线的斜率是2-01-2=2,∴14.3对于①,向量b,c共线,且a与b,c不共线时,不存在实数x,y,使a=xb+yc,∴①错误;对于②,根据空间向量的共面定理,结合逆否命题与原命题的真假性,得:a,b,c不共面时,不存在实数x,y,使a=xb+yc,∴②正确;对于③,若a=0时,与b,c共面,且b,c不共线,则存在实数x=y=0,使a=0·b+0·c=0,∴③正确;对于④,根据空间向量的共面定理得,当a=xb+yc时,a,b,c共面,∴④正确.综上,正确的命题是②③④.15.π333建立如图空间直角坐标系,A(0,1,0),B(1,0,0),C1(0,0,1),ABC1=(1,0,1),A1B1=(1,1,0),由cos<BC1,A1故异面直线BC1与A1B1所成角为π3设平面ABC1的一个法向量为m=(a,b,c),由m由a=1,得m=(1,1,1),平面BC1C的一个法向量n=(0,1,0),cos<m,n>=1316.242∵抛物线的方程为x2=2py(p>0),过抛物线的焦点F,且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,故直线AB的方程为yp2=x0,即y=x+p2,且直线AB的倾斜角为45代入抛物线的方程为x2=2py,可得x22pxp2=0.设A,B两点的横坐标分别为m,n,m<n,由韦达定理可得m+n=2p,mn=p2.∵|AB|=|AF|+|BF|=yA+p2+yB+p2=故抛物线的方程为x2=4y,AB的直线方程为y=x+1.设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,代入抛物线方程,得x24x4m=0.由Δ=42+16m=0,得m=1.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x1,两直线间的距离为d=|1+1∴△AMB面积的最大值为12·|AB|·d=12×8×2=417.解(1)当l斜率不存在时,l的方程为x=1,满足条件;当l斜率存在时,设l:y3=k(x1),即kxy+3k=0,由d=|2k得k=34,即l:3x+4y15=0综上l:x=1,或3x+4y15=0.(2)当直线过原点时,直线的斜率为1-02-0=1当直线截距相等时,设为xa+ya则a=3,即x+y3=0.当直线截距互为相反数时,设为xa+y-则a=1,即xy1=0.综上,直线方程为x2y=0,或x+y3=0,或x+y1=0.18.(1)解∵A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5),∴AB=(2,1,3),AC=(1,3,2).设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,则有n·AB=(x,y,z)·(2,1,3)=2xy+3z=0,n·AC=(x,y,z)·(1,3,2)=x3y+2z=0.由-解得x=y=z,取x=1,则平面ABC的一个法向量为(1,1,1).(2)证明若存在实数m,n,使a=mAB+nAC,即(3,4,1)=m(2,1,3)+n(1,3,2),则-解得m所以a=57AB+117AC,19.(1)解设直线AB的方程为y=kx+2(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,联立方程得x消去y,得x24kx8=0,Δ=16k2+32>0.∴x1+又AP=(x1,2y1),PB=(x2,y22),由AP=2PB,得x1=2x2,代入①解得k=12∴直线AB的方程为y=12x+2,即x2y+4=0(2)证明设直线y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),∴A1(x1,2),B1(x2,2),∴Qx1∴BQ=x1+x22∵x1+x22-x2·(4)x1·(2y2)=4·x2-x12+x1·(y2+2)=2x22x1+x1y2+2x1=2x2+x1y2=2x2+x1·x224=2x2+x24∴BQ∥PA1.20.(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系.设AC∩BD=N,连接NE,则点N,E的坐标分别是22∴NE=又点A,M的坐标分别是(2,2,0),∴AM=∴NE=AM且NE与AM不共线,∴NE∥又∵NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,∴AM∥平面BDE.(2)解∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,∴AB⊥平面ADF.B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,2∴AB=(2,0,0)为平面DAF的法向量.∵NE·DB=-22∴NE·NF=-22,-22,1∴cos<AB,NE>=∴AB,NE的夹角是60即所