建筑力学课件

静力学基本概念第一节力和平衡的概念力的定义

力是物体间相互间的机械作用。力的效应

使物体的机械运动状态发生改变，叫做力的运动效应或外效应。使物体的形状发生改变，叫做力的变形效应或内效应。力的三要素

力的大小、方向、作用点称为力的三要素。F力的单位力的国际单位是牛顿(N)或千牛顿（kN）。力的表示法力是一个矢量，用带箭头的直线段来表示，如右图所示（虚线为力的作用线）。

力系:

作用于同一个物体上的一组力。

力系的分类:

各力的作用线都在同一平面内的力系称平面力系，否则称为空间力系。平面力系的分类平面汇交力系：各力作用线汇交于同一点的力系。平面力偶系：若干个力偶（一对大小相等、指向相反、作用线平行的两个力称为一个力偶）组成的力系。平面力偶系平面汇交力系平面力系的分类平面平行力系：各力作用线平行的力系。平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系之外的平面力系。平面一般力系平面平行力系等效指两个力(系)对物体的作用效果完全相同。平衡力系作用在平衡物体上的一个力系。合力与分力若一个力与一个力系等效。则这个力称为该力系的合力，而力系中的各个力称为该合力的一个分力。第二节静力学基本公理二力平衡公理作用在同一刚体上的两个力，使刚体平衡的必要和充分条件是，这两个力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。

上述的二力平衡公理对于刚体是充分的也是必要的，而对于变形体只是必要的，而不是充分的。如图1.5所示的绳索的两端若受到一对大小相等、方向相反的拉力作用可以平衡，但若是压力就不能平衡。

受二力作用而处于平衡的杆件或构件称为二力杆件（简称为二力杆）或二力构件。加减平衡力系公理

在作用于刚体上的任意力系中，加上或去掉任何平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。力的可传性原理

作用于刚体上的力可沿其作用线移动到刚体内任意一点，而不会改变该力对刚体的作用效应。力的平行四边形法则

作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于该点的一个合力，合力的大小和方向由以原来的两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线矢量来表示。三力平衡汇交定理

一刚体受共面不平行的三力作用而平衡时，此三力的作用线必汇交于一点。作用与反作用定律

两个相互作用物体之间的作用力与反作用力大小相等，方向相反，沿同一直线且分别作用在这两个物体上。第三节约束与约束反力

限制物体运动的物体称为约束物体，简称约束。约束必然对被约束物体有力的作用，以阻碍被约束物体的运动或运动趋势。这种力称为约束反力，简称反力

约束反力位于约束与被约束物体的连接或接触处，其方向必与该约束所能阻碍物体的运动方向相反。运用这个准则，可确定约束反力的方向和作用点的位置。1．柔体约束

用柔软的皮带、绳索、链条阻碍物体运动而构成的约束叫柔体约束。这种约束作用是将物体拉住，且柔体约束只能受拉力，不能受压力，所以约束反力一定通过接触点，沿着柔体中心线背离被约束物体的方向，且恒为拉力，如图1.14中的力。2．光滑接触面约束当两物体在接触处的摩擦力很小而略去不计时，其中一个物体就是另一个物体的光滑接触面约束。这种约束不论接触面的形状如何，都只能在接触面的公法线方向上将被约束物体顶住或支撑住，所以光滑接触面的约束反力过接触点，沿着接触面的公法线指向被约束的物体，只能是压力，如图1.15中的力。

3、光滑圆柱铰链约束（简称铰约束）

光滑圆柱铰链约束的约束性质是限制物体平面移动（不限制转动），其约束反力是互相垂直的两个力（本质上是一个力），指向任意假设。XYR4．链杆约束链杆就是两端铰接而中间不受力的刚性直杆，由此所形成的约束称为链杆约束。这种约束只能限制物体沿链杆轴线方向上的移动。链杆可以受拉或者是受压，但不能限制物体沿其他方向的运动和转动，所以，链杆约束的约束反力沿着链杆的轴线，其指向假设。

工程上将结构或构件连接在支承物上的装置，称为支座。在工程上常常通过支座将构件支承在基础或另一静止的构件上。支座对构件就是一种约束。支座对它所支承的构件的约束反力也叫支座反力。支座的构造是多种多样的，其具体情况也是比较复杂的，只有加以简化，归纳成几个类型，才便于分析计算。建筑结构的支座通常分为固定铰支座，可动铰支座，和固定(端)支座三类。1．固定铰支座图1.18(a)是固定铰支座的示意图。构件与支座用光滑的圆柱铰链联接，构件不能产生沿任何方向的移动，但可以绕销钉转动，可见固定铰支座的约束反力与圆柱铰链约束相同，即约束反力一定作用于接触点，通过销钉中心，方向未定。固定铰支座的简图如图1.18(b)所示。约束反力如图1.18(c)所示，可以用FRA和一未知方向角α表示，也可以用一个水平力FXA和垂直力FYA表示。2．可动铰支座图l.20(a)是可动铰支座的示意图。构件与支座用销钉连接，而支座可沿支承面移动，这种约束，只能约束构件沿垂直于支承面方向的移动，而不能阻止构件绕销钉的转动和沿支承面方向的移动。所以，它的约束反力的作用点就是约束与被约束物体的接触点、约束反力通过销钉的中心，垂直于支承面，方向可能指向构件，也可能背离构件，视主动力情况而定。这种支座的简图如1.20(b)所示，约束反力如图1.20(c)所示。3．固定端支座整浇钢筋混凝土的雨篷，它的一端完全嵌固在墙中，一端悬空如图1.22(a)，这样的支座叫固定端支座。在嵌固端，既不能沿任何方向移动，也不能转动，所以固定端支座除产生水平和竖直方向的约束反力外，还有一个约束反力偶(力偶将在第三章讨论)。这种支座简图如图1.22(b)所示，其支座反力表示如图1.22(c)所示。

第四节物体的受力分析与受力图研究力学问题，首先要了解物体的受力状态，即对物体进行受力分析，反映物体受力状态的图称为受力图。受力图的绘制步骤为：

1.取分离体；

2.画已知力；

3.画约束反力。例1.2重量为的小球，按图1.23(a)所示放置，试画出小球的受力图。解(1)根据题意取小球为研究对象。(2)画出主动力：主动力为小球所受重力。(3)画出约束反力：约束反力为绳子的约束反力以及光滑面的约束反力。小球的受力图如图1.23(b)所示。例1.3

画图（a）所示结构ACDB的受力图。解：(1)取结构ACDB为研究对象。(2)画出主动力：主动力为FP。(3)画出约束反力：约束为固定铰支座和可动铰支座，画出它们的约束反力，如图（b）所示。

第五节

结构的计算简及荷载分类

任何建筑物在施工过程中以及建成后的使用过程中，都要受到各种各样的作用，这种作用造成建筑物整体或局部发生变形、位移甚至破坏。例如，建筑物各部分的自重、人和设备的重力、风力、地震，温度变化等等。其中建筑物的自重、人和设备的重力、风力等作用称为直接作用，在工程上称为荷载；而地震，温度变化等作用称为间接作用。工程中，有时不严格区分直接作用或间接作用，对引起建筑物变形、位移甚至破坏的作用一概称之为荷载。

荷载的分类:

在工程中，作用在结构上的荷载是多种多样的。为了便于力学分析，需要从不同的角度，将它们进行分类。1、荷载按其作用时间的长短分为永久荷载（恒载）、可变荷载（活载）和偶然荷载。

3、荷载按作用位置是否变化分为移动荷载和固定荷载。

2、荷载按作用在结构上的性质分为静力荷载和动力荷载。4、荷载按其作用在结构上的分布情况分为分布荷载和集中荷载。

集中荷载:分布范围很小，可近似认为作用在一点的荷载；

线分布荷载:沿直线或曲线分布的荷载（单位：KN/m）；

面分布荷载:沿平面或曲面分布的荷载（单位：KN/m2）；

体分布荷载:沿物体内各点分布的荷载（单位：KN/m3）。平面力系的分类平面汇交力系：各力作用线汇交于一点的力系。平面力偶系：若干个力偶（一对大小相等、指向相反、作用线平行的两个力称为一个力偶）组成的力系。力系的分类平面力系：各力的作用线都在同一平面内的力系，否则为空间力系。平面平行力系：各力作用线平行的力系。平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系之外的平面力系。对所有的力系均讨论两个问题：1、力系的简化（即力系的合成）问题；2、力系的平衡问题。

设任意的力F1、F2、F3、F4的作用线汇交于A

点，构成一个平面汇交力系。由力的平行四边形法则，可将其两两合成，最终形成一个合力R

，由此可得结论如下：平面汇交力系的合成与平衡（几何法）1、平面汇交力系的合成结果是一个合力R；2、平面汇交力系的几何平衡条件是合力：R=0

AF2F1F4F3R

当投影Fx

、Fy

已知时，则可求出力

F

的大小和方向：力在坐标轴上的投影可根据下式计算：平面汇交力系的合成与平衡（解析法）合力投影定理合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。对于由n个力F1、F2、Fn组成的平面汇交力系，可得：从而，平面汇交力系的合力R的计算式为：从而得平面汇交力系的（解析）平衡条件为：当物体处于平衡状态时，平面汇交力系的合力R必须为零，即：上式的含义为：所有X方向上的力的总和必须等于零，所有y方向上的力的总和必须等于零。运用平衡条件求解未知力的步骤为：

1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力图；

2、由平衡条件建立平衡方程；

3、由平衡方程求解未知力。实际计算时，通常规定与坐标轴正向一致的力为正。即水平力向右为正，垂直力向上为正。例1图示三角支架，求两杆所受的力。解：取B节点为研究对象，画受力图NBCPNBA由∑Y=0，建立平衡方程：由∑X=0，建立平衡方程：解得：负号表示假设的指向与真实指向相反。解得：

解：1.取滑轮B的轴销作为研究对象，画出其受力图。例2

图(a)所示体系，物块重

P=20kN，不计滑轮的自重和半径，试求杆AB和BC所受的力。

在力的作用下，物体将发生移动和转动。力的转动效应用力矩来衡量，即力矩是衡量力转动效应的物理量。

讨论力的转动效应时，主要关心力矩的大小与转动方向，而这些与力的大小、转动中心（矩心）的位置、动中心到力作用线的垂直距离（力臂）有关。力的转动效应——力矩M可由下式计算：M=±FP·d

式中：FP

是力的数值大小，d

是力臂，逆时针转取正号，常用单位是KN-m

。力矩用带箭头的弧线段表示。

集中力引起的力矩直接套用公式进行计算；对于均布线荷载引起的力矩，先计算其合力，再套用公式进行计算。例1

求图中荷载对A、B两点之矩(a)(b)解：图（a）：MA=-8×2=-16kN·mMB=8×2=16kN·m图（b）：

MA=-4×2×1=-8kN·mMB=4×2×1=8kN·m力矩的特性1、力作用线过矩心，力矩为零；2、力沿作用线移动，力矩不变。合力矩定理一个力对一点的力矩等于它的两个分力对同一点之矩的代数和。例2

图中力对A点之矩解：将力F沿X方向和Y方向等效分解为两个分力，由合力矩定理得：由于dx=0，所以：力偶和力偶矩力偶——大小相等的二个反向平行力称之为一个力偶。

力偶的作用效果是引起物体的转动，和力矩一样，产生转动效应。式中：F是力的大小；

d是力偶臂，是力偶中两个力的作用线之间的距离；逆时针为正，顺时针为负。常用单位为KN·m。

力偶的转动效应用力偶矩表示，它等于力偶中任何一个力的大小与力偶臂d的乘积，加上适当的正负号，即力偶的图例力偶特性一：力偶的转动效应与转动中心的位置无关，所以力偶在作用平面内可任意移动。力偶特性二：力偶的合力为零，所以力偶的效应只能与转动效应平衡，即只能与力偶或力矩平衡，而不能与一个力平衡。

作用线既不汇交也不完全平行的平面力系称为平面一般力系，也叫平面任意力系。对于平面一般力系，讨论两个问题：

1、力系的合成；

2、力系的平衡。

下面讨论平面一般力系的合成，先介绍力的等效平移定理。

设圆盘A点处作用一个P力，讨论P力的等效平移问题。

力的等效平移原理等效平移一个力，必须附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力对新作用点之矩。力系向任意一点O的简化

应用力的等效平移定理，将平面一般力系中的各个力（以三个力为例）全部平行移到作用面内某一给定点O

。从而这力系被分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系。这种等效变换的方法称为力系向给定点O的简化。点O称为简化中心。

A3OA2A1F1F3F2M1OM2M3==MOR

汇交力系F1

、F2

、F3

的合成结果为一作用在点O的力R。这个力矢R

称为原平面任意力系的主矢。

附加力偶系的合成结果是一个作用在同一平面内的力偶

M，称为原平面任意力系对简化中心O

的主矩。

因此，平面任意力系向任意一点的简化结果为一个主矢R

和一个主矩M

，这个结果称为平面任意力系的一般简化结果。

几点说明：

1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。

2、平面任意力系的主矩的大小与转向与简化中心O的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。主矢方向角的正切：主矩M可由下式计算：主矢、主矩的计算：主矢按力多边形规则作图求得或用解析法计算。平面任意力系的解析平衡条件

平面任意力系的一般简化结果为一个主矢R和一个主矩M。当物体平衡时，主矢和主矩必须同时为零。由主矢R=0，即：得：由主矩M=0，得：

这三个平衡条件是互相独立的，对于一个研究对象可以求解三个未知力，且最多求解三个未知力。

三者必须同时为零，从而得平面任意力系下的解析平衡条件为：

应用平衡条件求解未知力的步骤为：

1、确定研究对象，画受力图；

2、由平衡条件建立平衡方程；

3、由平衡方程求解未知力。例1

已知q=2KN/m，求图示结构A支座的反力。解：取AB杆为研究对象画受力图。由∑X=0：由∑y=0：由∑MA=0：例2

求图示结构的支座反力。解：取AB杆为研究对象画受力图。由∑X=0：由∑y=0：由∑MA=0：由∑y=0

：由∑MA=0

：由∑X=0

：例3

求图示结构的支座反力。解：取整个结构为研究对象画受力图。

物体系统的平衡问题

以上讨论的都是单个物体的平衡问题。对于物体系统的平衡问题，其要点在于如何正确选择研究对象，一旦确定了研究对象，则计算步骤与单个物体的计算步骤完全一样。下面举例讲解如何正确选择研究对象的问题。例4求图示结构的支座反力。解：

一个研究对象最多有三个平衡条件，因此研究对象上最多只能有三个未知力。注意到BC杆有三个未知力，而AB

杆未知力超过三个，所以应先取BC杆为计算对象，然后再取AB杆为计算对象。

由∑X=0：由∑y=0：由∑MB=0：BC杆：由∑X=0：由∑y=0：由∑MA=0：AB杆：注意作用与反作用关系，所以：例5求图示三铰拱的支座反力。由∑y=0：

由∑MA=0：取整体为研究对象，画受力图：解：由∑X=0：

第一节变形固体及其基本假设一、变形固体工程上所用的构件都是由固体材料制成的，如钢、铸铁、木材、混凝土等，它们在外力作用下会或多或少地产生变形，有些变形可直接观察到，有些变形可以通过仪器测出。在外力作用下，会产生变形的固体称为变形固体。

在静力学中，由于研究的是物体在力作用下平衡的问题。物体的微小变形对研究这种问题的影响是很小的，可以作为次要因素忽略。因此，认为物体在外力作用下，大小形状都不发生变化，而把物体视为一个刚体来进行理论分析。在材料力学中，由于主要研究的是构件在外力作用下的强度、刚度和稳定性的问题。对于这类问题，即使是微小的变形往往也是主要影响的因素之一，必须予以考虑而不能忽略。因此，在材料力学中，必须将组成构件的各种固体视为变形固体。

变形固体在外力作用下会产生两种不同性质的变形：一种是外力消除时，变形随着消失，这种变形称为弹性变形；另一种是外力消除后，不能消失的变形称为塑性变形。一般情况下，物体受力后，即有弹性变形，又有塑性变形。但工程中常用的材料，当外力不超过一定范围时，塑性变形很小，忽略不计，认为只有弹性变形，这种只有弹性变形的变形固体称为完全弹性体。只引起弹性变形的外力范围称为弹性范围。本书主要讨论材料在弹性范围内的变形及受力。

二、变形固体的基本假设

变形固体有多种多样，其组成和性质是非常复杂的。对于用变形固体材料做成的构件进行强度、刚度和稳定性计算时，为了使问题得到简化，常略去一些次要的性质，而保留其主要的性质，因此，对变形固体材料作出下列的几个基本假设。

1．均匀连续假设假设变形固体在其整个体积内毫无空隙的充满了物体，并且各处的材料力学性能完全相同。

实际上，变形固体是由很多微粒或晶体组成的，各微粒或晶体之间是有空隙的，且各微粒或晶体彼此的性质并不完全相同。但是由于这些空隙与构件的尺寸相比是极微小的，同时构件包含的微粒或晶体的数目极多，排列也不规则，所以，物体的力学性能并不反映其某一个组成部分的性能，而是反映所有组成部分性能的统计平均值。因而可以认为固体的结构是密实的，力学性能是均匀的。有了这个假设，物体内的一些物理量，才可能是连续的，才能用连续函数来表示。在进行分析时，可以从物体内任何位置取出一小部分来研究材料的性质，其结果可代表整个物体，也可将那些大尺寸构件的试验结果应用于物体的任何微小部分上去。

2．各向同性假设假设变形固体沿各个方向的力学性能均相同。实际上，组成固体的各个晶体在不同方向上有着不同的性质。但由于构件所包含的晶体数量极多，且排列也完全没有规则，变形固体的性质是这些晶粒性质的统计平均值。这样，在以构件为对象的研究问题中，就可以认为是各项同性的。工程使用的大多数材料，如钢材、玻璃、铜和浇灌很好的混凝土，可以认为是各向同性的材料。根据这个假设当获得了材料在任何一个方向的力学性能后，就可将其结果用于其它方向。

在工程实际中，也存在了不少的各向异性材料。例如轧制钢材、木材、竹材等，它们沿各方向的力学性能是不同的。很明显，当木材分别在顺纹方向、横纹方向和斜纹方向受到外力作用时，它所表现出的强度或其它的力学性质都是各不相同的。因此，对于由各向异性材料制成的构件，在设计时必须考虑材料在各个不同方向的不同力学性质

3．小变形假设在实际工程中，构件在荷载作用下，其变形与构件的原尺寸相比通常很小，可以忽略不计，所以在研究构件的平衡和运动时，可按变形前的原始尺寸和形状进行计算。在研究和计算变形时，变形的高次幂项也可忽略不计。这样，使计算工作大为简化，而又不影响计算结果的精度。总的来说，在材料力学中是把实际材料看作是连续、均匀、各向同性的弹性变形固体，且限于小变形范围。

第二节杆件变形的基本形式作用在杆上的外力是多种多样的，因此，杆件的变形也是多种多样的。但总不外乎是由下列四种基本变形之一，或者是几种基本变形形式的组合。

一、轴向拉伸和轴向压缩在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，杆件的主要变形是长度改变。这种变形称为轴向拉伸（图5－1（a））或轴向压缩（图5－1（b））。

二、剪切在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的主要变形是横截面沿外力作用方向发生错动。这种变形形式称为剪切（图5－1（c））。

三、扭转在一对大小相等、方向相反、位于垂直于杆轴线的两平面内的外力偶作用下，杆的任意横截面将绕轴线发生相对转动，而轴线仍维持直线，这种变形形式称为扭转（图5－1（d））。

四、弯曲在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的外力偶作用下，杆件的轴线由直线弯曲成曲线，这种变形形式称为弯曲（图5－1（e））。6.1轴向拉伸与压缩的概念在工程中以拉伸或压缩为主要变形的杆件，称为：拉、压杆若杆件所承受的外力或外力合力作用线与杆轴线重合的变形，称为轴向拉伸或轴向压缩。6.2轴向拉(压)杆的内力与轴力图6.2.1拉压杆的内力

唯一内力分量为轴力其作用线垂直于横截面沿杆轴线并通过形心。通常规定：轴力使杆件受拉为正，受压为负。

6.2.2轴力图

用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以此表示轴力与横截面位置关系的几何图形，称为轴力图。作轴力图时应注意以下几点：

1、轴力图的位置应和杆件的位置相对应。轴力的大小，按比例画在坐标上，并在图上标出代表点数值。

2、习惯上将正值（拉力）的轴力图画在坐标的正向；负值（压力）的轴力图画在坐标的负向。例题6.1

一等直杆及受力情况如图（a）所示，试作杆的轴力图。如何调整外力，使杆上轴力分布得比较合理。解：1）求AB段轴力1–1截面：

2–2截面：

3–3截面：

（4）按作轴力图的规则，作出轴力图，（5）轴力的合理分布：如果杆件上的轴力减小，应力也减小，杆件的强度就会提高。该题若将C截面的外力和D截面的外力对调，轴力图如（f）图所示，杆上最大轴力减小了，轴力分布就比较合理。6.3轴向拉(压)时横截面上的应力一、应力的概念内力在一点处的集度称为应力

应力与截面既不垂直也不相切，力学中总是将它分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量

与截面垂直的应力分量称为正应力表示；

（或法向应力），用与截面相切的应力分量称为剪应力表示。（或切向应力），用应力的单位是帕斯卡，简称为帕，符号为“Pa”。1kPa=103Pa、1MPa=106Pa、1GPa=109Pa1MPa=106N/m2=106N/106mm2=1N/mm26.3.1横截面上的应力平面假设：受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两平面相对的位移了一段距离。轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分布

正应力与轴力有相同的正、负号，即：拉应力为正，压应力为负。例6.2一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为试求各横截面上的应力。解：计算轴力画轴力图利用截面法可求得阶梯杆各段的轴力为F1=50kN,F2=-30kN,F3=10kN,F4=-20kN。轴力图。（2）、计算各段的正应力AB段：BC段：CD段：DE段：例6.3

石砌桥墩的墩身高

其横截面尺寸如图所示。如果载荷材料的重度求墩身底部横截面上的压应力。墩身横截面面积：墩身底面应力：（压）

6.3.2应力集中的概念应力集中的程度用最大局部应力

与该截面上的名义应力

的比值表示

比值K称为应力集中因数。

在设计时，从以下三方面考虑应力集中对构件强度的影响:

1.在设计脆性材料构件时，应考虑应力集中的影响。

2.在设计塑性材料的静强度问题时，通常可以不考虑应力集中的影响。

3.设计在交变应力作用下的构件时，制造构件的材料无论是塑性材料或脆性材料，都必须考虑应力集中的影响。6.4轴向拉(压)时的变形6.4.1轴向变形与胡克定律长为的等直杆，在轴向力作用下，伸长了轴向正应变为：试验表明：当杆内的应力不超过材料的某一极限值，则正应力和正应变成线性正比关系

称为胡克定律

英国科学家胡克（RobetHooke，1635~1703）于1678年首次用试验方法论证了这种线性关系后提出的。胡克定律：

EA称为杆的拉压刚度

上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A均为常值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。6.4.2横向变形、泊松比则横向正应变为：

当应力不超过一定限度时，横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数。

法国科学家泊松（1781~1840）于1829年从理论上推演得出的结果。

，

横向变形因数或泊松比表4-1给出了常用材料的E、值。

材料名称牌号E低碳钢Q235200~2100.24~0.28中碳钢452050.24~0.28低合金钢16Mn2000.25~0.30合金钢40CrNiMoA2100.25~0.30灰口铸铁60~1620.23~0.27球墨铸铁150~180铝合金LY12710.33硬铝合金380混凝土15.2~360.16~0.18木材（顺纹）9.8~11.80.0539木材（横纹）0.49~0.98表6.1常用材料的E、值6.4.3拉压杆的位移等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会引起杆上某点处在空间位置的改变，即产生了位移。

F1=30kN，F2=10kN,AC段的横截面面积

AAC=500mm2,CD段的横截面面积ACD=200mm2，弹性模量E=200GPa。试求：

（1）各段杆横截面上的内力和应力；（2）杆件内最大正应力；（3）杆件的总变形。

解：(1)、计算支反力=－20kN(2)、计算各段杆件横截面上的轴力AB段：

FNAB=FRA=－20kNBD段：

FNBD=F2=10kN(3)、画出轴力图，如图（c）所示。

(4)、计算各段应力AB段：

BC段：CD段：

(5)、计算杆件内最大应力（6）计算杆件的总变形整个杆件伸长0.015mm。=0.015mm横截面面积为，钢材的弹性模量节点B的铅垂位移和水平位移？例6.5

图示托架，已知，圆截面钢杆AB的直径，杆BC是工字钢，其。求托架在F力作用下，解：（1）取节点B为研究对象，求两杆轴力（2）求AB、BC杆变形（3）求B点位移，利用几何关系求解。水平位移：

铅垂位移：

总位移：

6.4

图示钢制阶梯形直杆，各段横截面面积分别钢材的弹性模量试求：

（1）各段的轴力，指出最大轴力发生在哪一段，最大应力发生在哪一段；（2）计算杆的总变形；为：6.5材料在拉伸与压缩时的力学性能材料的力学性能：是材料在受力过程中表现出的各种物理性质。在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材料在拉伸和压缩时的力学性能。6.5.1标准试样为比例试样。国际上使用的比例系数k的值为5.65。

试样原始标距与原始横截面面积有关系者若k为5.65的值不能符合这一最小标距要求时，可以采取较高的值（优先采用11.3的值）。采用圆形试样，换算后和两种

试样按照GB/T2975的要求切取样坯和制备试样。

6.5.2低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢为典型的塑性材料。在应力–应变图中呈现如下四个阶段：段）1、弹性阶段（段为直线段，点对应的应力P表示

称为比例极限，用正应力和正应变成线性正比关系，即遵循胡克定律，弹性模量E和的关系：

2、屈服阶段（段）过b点，应力变化不大，应变急剧增大，曲线上出现水平锯齿形状，材料失去继续抵抗变形的能力，发生屈服现象

工程上常称下屈服强度为材料的屈服极限，表示。

用材料屈服时，在光滑试样表面可以观察到与轴线成的纹线，称为滑移线。

3、强化阶段（段）材料晶格重组后，又增加了抵抗变形的能力，要使试件继续伸长就必须再增加拉力，这阶段称为强化阶段。处的应力，称为强度极限()曲线最高点冷作硬化现象，在强化阶段某一点处，缓慢卸载，则试样的应力–应变曲线会沿着回到点。

冷作硬化使材料的弹性强度提高，而塑性降低的现象4、局部变形阶段（段）试样变形集中到某一局部区域，由于该区域横截面的收缩，形成了图示的“颈缩”现象

最后在“颈缩”处被拉断。

代表材料强度性能的主要指标：和强度极限

屈服极限可以测得表示材料塑性变形能力的两个指标：伸长率和断面收缩率。（1）伸长率。

低碳钢的伸长率约为（26～30）%的材料称为塑性材料(钢、铝、化纤等)；

的材料称为脆性材料(灰铸铁、玻璃、陶瓷、混凝土等)。（2）断面收缩率

低碳钢的断面收缩率约为50%～

60%左右

4.5.3其它材料拉伸时的力学性能灰口铸铁是典型的脆性材料，其应力–应变图是一微弯的曲线，如图示没有明显的直线。无屈服现象，拉断时变形很小，强度指标只有强度极限其伸长率对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为屈服极限表示。

称为名义屈服极限，用（2002年的标准称为规定残余延伸强度，为0.2%时的应力。）

表示，例如，表示规定残余延伸率用6.5.4材料压缩时的力学性能

金属材料的压缩试样，一般制成短圆柱形，圆柱的高度约为直径的1.5~3倍，试样的上下平面有平行度和光洁度的要求

非金属材料，如混凝土、石料等通常制成正方形。低碳钢是塑性材料，压缩时的应力–应变图，如图示。

在屈服以前，压缩时的曲线和拉伸时的曲线基本重合，屈服以后随着压力的增大，试样被压成“鼓形”，最后被压成“薄饼”而不发生断裂，所以低碳钢压缩时无强度极限。铸铁是脆性材料，压缩时的应力–应变图，如图示，试样在较小变形时突然破坏，压缩时的强度极限远高于拉伸强度极限（约为3~6倍），破坏~的倾角。

断面与横截面大致成铸铁压缩破坏属于剪切破坏。

建筑专业用的混凝土，压缩时的应力–应变图，如图示。混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右。

6.6安全因数、许用应力、强度条件6.6.1安全因数与许用应力塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生明显的塑性变形，影响其正常工作，称之为失效，因此把屈服极限作为塑性材料的极限应力。脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是失效的唯一标志，因而把强度极限作为脆性材料的极限应力。根据失效的准则，将屈服极限与强度极限通称为极限应力()把极限应力除以一个大于1的因数，得到的应力值称为许用应力()大于1的因数n称为安全因数。

许用拉应力()、许用压应力用()工程中安全因数n的取值范围，由国家标准规定，一般不能任意改变。6.6.2强度条件为了保障构件安全工作，构件内最大工作应力必须小于许用应力。公式称为拉压杆的强度条件

利用强度条件，可以解决以下三类强度问题：1、强度校核：在已知拉压杆的形状、尺寸和许用应力及受力情况下，检验构件能否满足上述强度条件，以判别构件能否安全工作。3、计算许用载荷：已知拉压杆的截面尺寸及所用材料的许用应力，计算杆件所能承受的许可轴力，再根据此轴力计算许用载荷，表达式为：

2、设计截面：已知拉压杆所受的载荷及所用材料的许用应力，根据强度条件设计截面的形状和尺寸，表达式为：在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%，在工程中仍然是允许的。例题6.6

已知：一个三角架，AB杆由两根80×80×7等边角钢组成，横截面积为A1，长度为2m，AC杆由两根10号槽刚组成，横截面积为A2，钢材为3号钢，容许应力求：许可载荷？解：（1）对A节点受力分析：（2）、计算许可轴力查型钢表：

由强度计算公式：

（3）计算许可载荷：

例题6.7

起重吊钩的上端借螺母固定，若吊钩螺栓内径材料许用应力试校核螺栓部分的强度。

解：计算螺栓内径处的面积吊钩螺栓部分安全。例题6.8

图示一托架，AC是圆钢杆，许用拉应力，BC是方木杆，

试选定钢杆直径d？解：（1）轴力分析。并假设钢杆的轴力为研究对象。取结点6.7连接件的强度计算连接构件用的螺栓、销钉、焊接、榫接等这些连接件，不仅受剪切作用，而且同时还伴随着挤压作用。6.7.1剪切实用计算称为剪切面。

在外力作用下，铆钉的截面将发生相对错动，在剪切面上与截面相切的内力，如图所示。称为剪力()

在剪切面上，假设切应力均匀分布，得到名义切应力，即：

剪切极限应力，可通过材料的剪切破坏试验确定。

极限应力除以安全因数。即得出材料的许用应力剪切强度条件表示为：剪切计算主要有以下三种：1、剪切强度校核；2、截面设计；3、计算许用荷载。例题6.9

正方形截面的混凝土柱，其横板，边长为200mm，其基底为边长1m的正方形混凝土板，柱承受轴向压力

设地基对混凝土板的支反力为均匀分布，混凝土的许用切应力试设计混凝土板的最小厚度为多少时，才不至于使柱穿过混凝土板？解：（1）混凝土板的受剪面面积（2）剪力计算（3）、混凝土板厚度设计(4)、取混凝土板厚度才能在钢板上冲出一个直径的圆孔。例题6.10

钢板的厚度，其剪切极限应力，问要加多大的冲剪力F，解：（1）钢板受剪面面积

（2）剪断钢板的冲剪力

例题6.11

为使压力机在超过最大压力作用时，重要机件不发生破坏，在压力机冲头内装有保险器（压塌块）。设极限切应力，已知保险器（压塌块）中的尺寸

试求保险器（压塌块）中的尺寸值。解：为了保障压力机安全运行，应使保险器达到最大冲压力时即破坏。利用保险器被剪断，以保障主机安全运行的安全装置，在压力容器、电力输送及生活中的高压锅等均可以见到。

6.7.2挤压实用计算连接件与被连接件在互相传递力时，接触表面是相互压紧的，接触表面上的总压紧力称为挤压力，相应的应力称为挤压应力()。假定挤压应力在计算挤压面上均匀分布，表示为：

上式计算得到的名义挤压应力与接触中点处的最大理论挤压应力值相近。按名义挤压应力公式得到材料的极限挤压应力。从而确定了许用挤压应力。挤压强度条件为：对于塑性材料：试求挤压应力切应力和拉应力例题6.12

图示木屋架结构端节点A的单榫齿连已知：的作用。及支座A的反力弦杆AB的拉力接详图。该节点受上弦杆AC的压力，下使上弦杆与下弦杆的接触面力发生挤压；的水平分力使下弦杆的端部沿剪切面发生力剪切，在下弦杆截面削弱处截面，产生拉伸。解：（1）求截面的挤压应力计算挤压面面积：

7.1扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念

轴是以扭转变形为主要变形的直杆作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用表示外力偶矩的计算

已知轴所传递的功率和轴的转速。导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为Nm

N-----轴传递的功率，单位为KW

n------轴的转速，单位为r/min。7.2

圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图7.2.1扭矩平衡条件

内力偶矩T称为扭矩

扭矩的单位：或扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负

扭矩图常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方，负值扭矩画在x轴下方。这种图形称为扭矩图。主动轮，输入功率

，B、C、D为从动轮，输出功率分别为，试求各段扭矩。，例题7.1

图示传动轴，转速，A轮为解：1、计算外力偶矩为负值说明实际方向与假设的相反。

，2、分段计算扭矩，分别为（图c）（图d）（图e）3、作扭矩图

1、变形几何关系7.3

等直圆轴扭转时横截面上的切应力7.3.1

实心圆轴横截面上的应力

⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；

⑵横截面上的半径仍保持为直线；

⑶各横截面的间距保持不变。2、物理关系

3、静力学关系

称截面的极惯性矩

得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式当时，表示圆截面边缘处的切应力最大

它是与截面形状和尺寸有关的量。式中称为抗扭截面系数。7.3.2极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面的极惯性矩：

抗扭截面系数为：空心圆极惯性矩轴：式中为空心圆轴内外径之比。空心圆的抗扭截面系数极惯性矩的量纲是长度的四次方，常用的单位为mm4抗扭截面系数的量纲是长度的三次方，常用单位为mm3工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力，即7.4

等直圆轴扭转时的强度计算7.4.1圆轴扭转强度条件上式称为圆轴扭转强度条件。塑性材料

脆性材料试验表明，材料扭转许用切应力例题7.2

汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径，，壁厚试校核该轴的强度。工作时的最大扭矩，若材料的许用切应力，解：1、计算抗扭截面系数主传动轴的内外径之比2、计算轴的最大切应力抗扭截面系数为3、强度校核主传动轴安全

解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为，即

例题7.3

如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。

2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即：讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节省材料是非常明显的。7.5.1

圆轴扭转时的变形7.5

等直圆轴扭转时的变形及刚度条件轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角：相距长度为l的两横截面相对扭转角为

当扭矩为常数，且也为常量时，它表示轴抵抗扭转变形的能力。式中称为圆轴扭转刚度，

相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定，即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭转角。若两横截面之间T有变化，或极惯性矩变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率用表示，称为单位长度扭转角。即：

7.5.2圆轴扭转刚度条件对于建筑工程、精密机械，刚度的刚度条件：将上式中的弧度换算为度，得：在工程中的单位习惯用（度/米）表示，

，对于等截面圆轴，即为：许用扭转角的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定。对于精密机器的轴对一般传动轴

例题7.4

图示轴的直径

，切变模量

试计算该轴两端面之间的扭转角。解：两端面之间扭转为角：例题7.5

主传动钢轴，传递功率，转速，传动轴的许用切应力许用单位长度扭转角切变模量

求传动轴所需的直径？

解：1、计算轴的扭矩2、根据强度条件求所需直径

在建筑力学以及建筑结构的计算中，经常要用到与截面有关的一些几何量。例如轴向拉压的横截面面积A、圆轴扭转时的抗扭截面系数WP和极惯性矩IP。等都与构件的强度和刚度有关。以后在弯曲等其他问题的计算中，还将遇到平面图形的另外一些如形心、静矩、惯性矩、抗弯截面系数等几何量。这些与平面图形形状及尺寸有关的几何量统称为平面图形的几何性质。第一节

重心和形心

一、

重心的概念地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个力称为物体的重力。可将物体看作是由许多微小部分组成，每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球中心。但是，由于一般物体的尺寸远比地球的半径小得多，因此，这些引力近似地看成是空间平行力系。这些平行力系的合力就是物体的重力。由实验可知，不论物体在空间的方位如何，物体重力的作用线始终是通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为物体的重心。

二、一般物体重心的坐标公式

1、一般物体重心的坐标公式如图8—1所示，为确定物体重心的位置，将它分割成n个微小块，各微小块重力分别为Gl、G2、……Gn，其作用点的坐标分别为(X1、Y1，、z1)、(X2、Y2、z2)…(Xn，Yn、Zn)，各微小块所受重力的合力W即为整个物体所受的重力G＝ΣGi，其作用点的坐标为C(xc，yc、zc)。对y轴应用合力矩定理，有：

同理，对y轴取矩可得：

将物体连同坐标转90o而使坐标面oxz成为水平面，再对x轴应用合力矩定理，可得：

因此，一般物体的重心坐标的公式为：

第二节静矩一、定义任意平面几何图形如图A-1所示。在其上取面积微元dA，该微元在Oxy坐标系中的坐标为x、y。定义下列积分：

（8-4）

分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或静矩，其单位为

。

如果将dA视为垂直于图形平面的力，则ydA和zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩；

和

则分别为dA对z轴和y轴之矩。图8-6图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心即为合力的作用点。设z、y为形心坐标，则根据合力之矩定理(8-5)第三节

惯性炬、惯性积、惯性半径一、惯性炬、惯性积、惯性半径的定义1、惯性矩平面图形对某坐标轴的二次矩，如图8-9所示。

(8-7)2、惯性积（8-8）

3、惯性半径量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义

(8-9)

为图形对轴和对轴的惯性半径。

二、平行移轴公式

由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴时，如图8-11所示，可得到如下平行移轴公式（8-10）

简单证明之：

其中为图形对形心轴的静矩，其值应等于零，则得同理可证（8-10）中的其它两式。

第四节

形心主惯性轴和形心主惯性矩的概念

从式(8-10)的第三式可以看出，对于确定的点(坐标原点)，当坐标轴旋转时，随着角度α的改变，惯性积也发生变化，并且根据惯性积可能为正，也可能为负的特点，总可以找到一角度α0以及相应的x0、y0轴，图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。为确定α0，令式(A-19)中的第三式为零，即由此解得或(8-11)如果将式(8-11)对α求导数并令其为零，即同样可以得到式(8-10)或(8-11)的结论。这表明:当α改变时,、

的数值也发生变化，而当α=α0时，二者分别为极大值和极小值。定义

过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。图形对主轴的惯性矩称为主轴惯性矩，简称主惯性矩。显然，主惯性矩具有极大或极小的特征。

根据式(8-11)和(8-12)，即可得到主惯性矩的计算式:

(8-12)需要指出的是对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工程计算中有意义的是形心主轴和形心主矩。9.1工程中梁弯曲的概念梁平面弯曲的概念

以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形或简称弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。

当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变形后的梁轴线也仍在纵向对称平面内，这种在变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲。

9.1.2单跨静定梁的类型

梁的约束反力能用静力平衡条件完全确定的梁，称为静定梁。根据约束情况的不同，单跨静定梁可分为以下三种常见形式：

(1)简支梁。梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座。

(2)悬臂梁。梁的一端固定，另一端自由。

(3)外伸梁。简支梁的一端或两端伸出支座之外。9.2梁的内力—剪力和弯矩9.2.1梁的­剪力和弯矩梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法来确定。现分析距A端为x处横截面m-m上的内力。如果取左段为研究对象，则右段梁对左段梁的作用以截开面上的内力来代替。存在两个内力分量：内力FQ与截面相切，称为剪力，内力偶矩M称为弯矩，9.2.2剪力和弯矩的正负号规定即微段有左端向上而右端向下的相对错动时，横截面上的剪力FQ为正号，反之为负号。当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受拉时，横截面上的弯矩为正号，反之为负号。

9.2.3计算指定截面上的剪力和弯矩例题9.1

外伸梁受荷载作用，图中截面1-l和2-2都无限接近于截面A，截面3-3和4-4也都无限接近于截面D。求图示各截面的剪力和弯矩。解：1.根据平衡条件求约束反力2.求截面1-1的内力3.求截面2-2的内力4.求截面3-3的内力5.求截面4-4的内力比较截面1-1和2-2的内力发现说在集中力的两侧截面剪力发生了突变，突变值等该集中力的值。

比较截面3-3和4-4的内力在集中力偶两侧横截面上剪力相同，而弯矩突变值就等于集中力偶矩。梁的内力计算的两个规律：

（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方向投影的代数和。即：若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”，或“左上，右下剪力为正”。相反为负。（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心O的力矩的代数和。即：

若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形(即上部受压，下部受拉)时，等式右方取正号，反之，取负号。此规律可简化记为“下凸弯矩正”或“左顺，右逆弯矩正”，相反为负。例题9.2

一外伸梁，所受荷载如图示，试求截面C、截面B左和截面B右上的剪力和弯矩。解：1.根据平衡条件求出约束力反力2.求指定截面上的剪力和弯矩截面C：根据截面左侧梁上的外力得：截面B左、B右：取右侧梁计算，得：在集中力作用截面处，应分左、右截面计算剪力；在集中力偶作用截面处，也应分左、右截面计算弯矩。9.3

梁的内力图—剪力图和弯矩图9.3.1剪力方程和弯矩方程在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，FQ=FQ(x)M=M(x)梁的剪力方程梁的弯矩方程9.3.2剪力图和弯矩图

以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ(x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。例题9.3

图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此梁的剪力图和弯矩图解：1.列剪力方程和弯矩方程

(0＜x＜l)

(0≤x＜l)

2.作剪力图和弯矩图

由剪力图和弯矩图可知：例题9.4

简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力由对称关系，可得：最大剪力发生在梁端，其值为FQ,max=2.列剪力方程和弯矩方程3.作剪应力图和弯矩图最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax例题9.5

简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力2.列剪力方程和弯矩方程

（0<x<a）

(0≤x≤a)

AC段：例题9.6

简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力2.列剪应力方程和弯矩方程AB段：（0<x<l）CB段：

(a<x<l)

(0≤x≤l)3.作剪力图和弯矩图CB段：

(a<x≤l)AC段：

(0≤x≤a)3.绘出剪力图和弯矩图

例题9.6

简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力2.列剪应力方程和弯矩方程AB段：（0<x<l）CB段：

(a<x<l)

(0≤x≤l)3.作剪力图和弯矩图9.4.1分布荷载集度与剪力、弯矩(q与FQ、M)之间的微分关系9.4弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系微段的平衡，得弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力。

二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向，

若q(x)<0,弯矩图为下凸曲线，若q(x)>0,弯矩为上凸曲线，弯矩图的凹凸方向与q(x)指向一致.

9.4.2常见梁剪力图、弯矩图与荷载三者间的关系1.剪力图与荷载的关系(1)在均布荷载作用的区段，当x坐标自左向右取时，若q(x)方向向下，则FQ图为下斜直线；若q(x)方向向上，FQ图为上斜直线。剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的荷载集度；

(2)无荷载作用区段，即q(x)=0，

FQ图为平行x轴的直线。(3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等于该集中力的大小。(4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图是连续无变化。2.弯矩图与荷载的关系在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。(2)当q(x)朝下时，M图为上凹下凸。当q(x)朝上时，M图为上凸下凹。(3)在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M图向下转折；反之，则向上转折。(4)在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。(2)当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。3.弯矩图与剪力图的关系(3)剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。解：1.求约束反力例题9.7

简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图。2.画FQ图各控制点处的FQ值如下：FQA右=FQC左=15kNFQC右=FQD=15kN－10kN=5kNFQD=5kNFQB左=－15kN3.画M图MA=0,MC=15kN×2m=30kN.mMD=15kN×4m－10kN×2m=40kN.mM­D右=15kN×4m－5kN×4m×2m=20kN.mMB=0例题9.8

一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的FQ、M图。解：1.求约束力2.画内力图(1)剪力图ACB段：

FQA右=FQC=FQB左=－5kNFQ图为一水平直线

BD段：FQ图为右下斜直线。FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0作梁的剪力图

(2)弯矩图

AC段：FQ<0，故M图为一右上斜直线

MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m

CB段：

FQ<0,故M图为一右上斜直线，在C处弯矩有突变。MC右=－5kN×2m+12kN.mMB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.mBD段：

段内有向下均布荷载，M图为下凸抛物线，MB=－8KN.m，ME=－4×1×0.5=－2KN.m,MD=09.5用叠加法作梁的弯矩图叠加法是先求出单个荷载作用下的内力（剪力和弯矩），然后将对应位置的内力相加，即得到几个荷载共同作用下的内力的方法。例题9.9简支梁所受荷载如图，试用叠加法作M图。解：1.荷载分解2.作分解荷载的弯矩图3.叠加作力偶和均布荷载共同作用下的弯矩图注意：弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加，而是对应点处纵坐标的相加。

9.6应力状态与强度理论9.6.1应力状态的概念一点的应力状态是研究通过受力构件内任一点的各个不同截面上的应力情况。应力状态分为空间应力状态和平面应力状态。全部应力位于同一平面内时，称为平面应力状态；全部应力不在同一平面内，在空间分布，称为空间应力状态。应力状态分类：

在三对相互垂直的相对面上剪应力等于零，而只有正应力。这样的单元体称为主单元体，这样的单元体面称主平面。主平面上的正应力称主应力。通常按数值排列，用字母σ1、σ2和σ3分别表示。主应力、主平面：应力状态按主应力分类：

（1）单向应力状态。在三个相对面上三个主应力中只有一个主应力不等于零。

（2）双向应力状态。在三个相对面上三个主应力中有两个主应力不等于零。（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应力状态下，9.6.2强度理论1、最大拉应力理论（第一强度理论）：理论认为最大拉应力是引起断裂的主要因素。最大拉应力σ1达到该材料在简单拉伸时最大拉应力的危险值材料引起断裂。

其强度条件为：

σ1≤[σ]

理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时，沿纵向发生的断裂破坏。2、最大伸长线应变理论(第二强度理论)：理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。

拉断时伸长线应变的极限值为

断裂准则为：

第二强度理论的强度条件：理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时的断裂破坏。3、最大剪应力理论（第三强度理论）

理论认为最大剪应力是引起塑性屈服的主要因素，只要最大剪应力τmax达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。

单向拉伸下，当与轴线成45。的斜截面上的

τmax=s/2时任意应力状态下

屈服准则：

第三强度理论建立的强度条件为：

4、形状改变比能理论(第四强度理论)：第四强度理论认为：形状改变比能是引起塑性屈服的主要因素。

单向拉伸时，

的形状改变比能。

就是导致屈服的形状改变比能的极限值。

在机械和钢结构设计中常用此理论。形状改变比能屈服准则为：

在复杂应力状态下，单元体的形状改变比能为:

整理后得屈服准则为：按第四强度理论得到其强度条件为：5、莫尔强度理论莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略(莫尔摩擦定律)。综合最大剪应力及最大正应力的因素把一点处材料破坏时的最大应力圆称为极限应力圆。最大剪应力理论较为满意地解释了塑性材料的屈服现象莫尔认为：材料在各种不同的应力状态下，发生破坏时的所有极限应力圆的包络线为材料的极限曲线；无论一点处的应力状态如何，只要最大应力圆与极限曲线相切，材料就发生强度失效，其切点对应该破坏面。莫尔强度条件为：对于拉压强度不同的脆性材料，如铸铁、岩石和土体等，在以压为主的应力状态下，该理论与试验结果符合的较好。10.1组合变形的概念组合变形：构件往往会发生两种或两种以上的基本变形的这类变形。10.1.1组合变形的概念10.1.2组合变形的分析方法及计算原理处理组合变形问题的方法：1.将构件的组合变形分解为基本变形；2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力；3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。叠加原理是解决组合变形计算的基本原理叠加原理应用条件：即在材料服从胡克定律，构件产生小变形，所求力学量定荷载的一次函数的情况下，

计算组合变形时可以将几种变形分别单独计算，然后再叠加，即得组合变形杆件的内力、应力和变形。10.2斜弯曲10.2.1斜弯曲的概念如果我们将载荷沿两主形心轴分解，此时梁在两个分载荷作用下，分别在横向对称平面(弯曲，这类梁的弯曲变形称为斜弯曲，它是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合。平面）和竖向对称平面（平面）内发生平面10.2.2斜弯曲时杆件的内力、应力的计算解：1.将力F沿主形心惯性轴分解为两个分力，

2.在截面mm上产生的弯矩为=和引起的正应力分别为：

10.2.3斜弯曲时的强度条件在一般情况下，