浅谈点的移动与函数图象的平移之间关联获奖科研报告

浅谈点的移动与函数图象的平移之间关联获奖科研报告摘

要：学生已在初一年级的时候学过平面直角坐标内点的移动规律，以及图形在平面坐标系内移动的规律都是“上加下减，左减右加”;但在学习了函数图像后，特别是初三年级上册第二十二章二次函数图象后，函数图象平移规律为“上加下减，左加右减”。点的平移和二次函数图象的平移上下移动规律一致，下面就探究左右平移的关联以及解决方案！

关键词：点图形函数;移动;规律

一、目标和地位

点和函数图像的平移在中考中占一定的比例;考查重点为在平面坐标系内点以及函数的平移，从而得到新点和函数，并通过新点或新图象解决问题。本篇文章在学生已经学习了平面坐标系内点的平移的基础上，对比学习二次函数图象的平移，发现规律不统一，从而继续对两者及研究。这是对平面直角坐标系研究的延续。学生需要掌握点的平移和函数的平移，对于解函数的题很有用。

二、知识点的陈述，

（一）点平移的规律;

“例如图（1），三角形ABC三个顶点坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）.

解：如图（2），所得三角形A1B1C1以及三角形A2B2C2都與三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到.类似地，三角形A2B2C2可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到.”

点的变化引起图形移动的规律：

（1）将点（x，y）的横坐标加上一个正数a，纵坐标不变，即（x+a，y），则其新图形就是把原图形向右平移a个单位.

（2）将点（x，y）的横坐标减去一个正数a，纵坐标不变，即（x-a，y），则其新图形就是把原图形向左平移a个单位.

（3）将点（x，y）的纵坐标加上一个正数b，横坐标不变，即（x，y+b），则其新图形就是把原图形向上平移a个单位.

（4）将点（x，y）的纵坐标加上一个正数b，横坐标不变，即（x，y-b），则其新图形就是把原图形向下平移b个单位.

（二）函数图象平移的规律

一次函数图象的平移

（1）直线y=kx+b（k≠0）向上或向下平移m（m>0）个单位时，解析式变为y=kx+b+m或y=kx+b-m;（2）直线y=kx+b（k≠0）向左或向右平移m（m>0）个单位时，解析式变为y=k（x+m）-b或y=k（x-m）+b。

口诀：“上加下减”，“左加右减”。

二次函数图象的平移

一般地，抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2形状相同，位置不同。把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）平移，总结八个字“上加下减，左加右减”。可以得到抛物线y=a（x-h）2+k.

三、出现的问题;

出现练习题“求出函数y=-2（x+1）2+8的图象的对称轴、顶点坐标，画出函数图象，并说明图象是由抛物线y=-2x2经过怎样的平移得到的。”，班上大部分同学都能根据函数图象移动的规律得到正确答案，有部分学生的答案和正确答案正好相反，但是平移的量一样，就仅是方向正好相反。然后让学生理解如何平移。对于抛物线y=-2（x+1）2+8，求这个函数顶点坐标和对称轴的问题，可以用y=a（x-h）2+k对应去找，注意字母与数字的对应，其中h对应-1，k对应8，所以可以得出该函数的定点坐标为（-1，8），对称轴为x=-1。对于函数图像的移动，是由函数图像的平移要领“上加下减，左加右减”[1]该抛物线是由抛物线y=-2x2向左平移1个单位量，向上平移8个单位量得到。但是有学生提出：函数图像也是由平面直角坐标系内的一个个点组成的，为什么不能根据点的运动规律完成呢？点的平移是“上加下减，左减右加”[2]，而现在函数图像的平移是“上加下减，左加右减”，发现上下都是一样的，可是左右是相反，且是互相矛盾的，为什么会不一样呢？那我们能不能把点的平移和函数图象的平移归纳总结成一个规律，研究清楚为什么会出现这样的不同呢？

四、解决问题;

（一）追根溯源，究其原因;

点在平面坐标系内的移动的问题，运用“上加下减，左减右加”[2]，而函数图象的平移规律是“上加下减，左加右减”。它们左右移动为什么方向不同呢？

我觉得函数图象也是在平面直角坐标系内由一个一个的点组成的，所以符合点移动的规律：“上加下减，左减右加”。假设函数y=kx+b（k≠0）上有一个点A（x，y）仅向左平移a个单位，则根据点的移动规律有新的点B（x1，y），所以这两个点之间存在着的关系是：x1=x-a，而原函数中并没有自变量x1，只有自变量x;所以要把x1=x-a变为x=x1+a才能带入原函数y=kx+b中，得到新函数y=k（x1+a）+b。同理可得原函数y=kx+b（k≠0）向右平移得到新函数y=k（x1-a）+b（k≠0）二次函数y=a（x-h）2+k的平移也是这样的道理。这样就是函数图像平移规律为什么是“上加下减，左加右减”的原因。

（二）解决建议;

在平面直角坐标系内根据平面直角坐标系的特点有规律“上加下减，左减右加”。即原点向上面为y轴的正半轴，即在y值上加一个数值，“上加”。原点向下为y轴的负半轴，即在y值上减一个数值，“下减”。在原点的左是x轴负半轴，即在x值上减一个数值，“左减”。原点向右为x轴的正半轴，即在x值上加一个数值，“右加”。所以有了“上加下减，左减右加”[2]。我觉得函数图象的平移也可用这八个字进行总结“上加下减，左减右加”[1]。这样既符合平面直角坐标系的规律也减轻学生的记忆负担，这些问题不用学生分类处理，避免学生的知识混淆了。

五、总结

教无定法，教学生活学数学，教可以应用的数学知识。一次函数、反比例函数、二次函数以及在平面坐标系内移动点和图形的规律都统一为“上加下减，左减右加”[2]。但是一次函数平移时，一次函数要对