2024届北京市西城区北京教育学院附中数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届北京市西城区北京教育学院附中数学高一第二学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等差数列{an}中，若a1+A．8 B．16 C．20 D．282．已知m个数的平均数为a，n个数的平均数为b，则这个数的平均数为（）A． B． C． D．3．与直线垂直于点的直线的一般方程是（）A． B． C． D．4．平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为A． B． C． D．5．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．6．已知函数的值域为，且图像在同一周期内过两点，则的值分别为（）A． B．C． D．7．若函数的最小正周期为2，则（）A．1 B．2 C． D．8．已知中，，则角（）A．60°或120° B．30°或90° C．30° D．90°9．已知向量，且，则的值为（）A．1 B．2 C． D．310．已知直线经过点，且与直线垂直，则的方程为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设当时，函数取得最大值，则______.12．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为________.13．已知直线与轴、轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值和最小值之差为．14．设,满足约束条件,则的最小值是______.15．在中，已知M是AB边所在直线上一点，满足，则________.16．已知是第二象限角，且，且______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数,（1）求的单调递增区间.（2）求在区间的最大值和最小值.18．已知．（1）求实数的值；（2）若，求实数的值．19．某工厂提供了节能降耗技术改造后生产产品过程中的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对照数据．（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测产量为（吨）的生产能耗．相关公式：，．20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.21．已知夹角为，且，，求：（1）；（2）与的夹角．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

因为an则a1所以a5故选C.2、D【解题分析】

根据平均数的定义求解.【题目详解】两组数的总数为：则这个数的平均数为：故选：D【题目点拨】本题主要考查了平均数的定义，还考查了运算求解能力，属于基础题.3、A【解题分析】由已知可得这就是所求直线方程，故选A.4、A【解题分析】

试题分析：如图，设平面平面=，平面平面=，因为平面，所以，则所成的角等于所成的角.延长，过作，连接，则为，同理为，而，则所成的角即为所成的角，即为，故所成角的正弦值为，选A.【题目点拨】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.5、A【解题分析】

分别考虑即时；即时，原不等式的解集，最后求出并集。【题目详解】当即时，，则等价于，即，解得：，当即时，，则等价于，即，所以，综述所述，原不等式的解集为故答案选A【题目点拨】本题考查分段函数的应用，一元二次不等式的解集，属于基础题。6、C【解题分析】

先利用可求出的值，再利用、两点横坐标之差的绝对值为周期的一半，计算出周期，再由可计算出的值，从而可得出答案．【题目详解】由题意可知，，、两点横坐标之差的绝对值为周期的一半，则，，因此，，，故选C．【题目点拨】本题考查三角函数的解析式的求解，求解步骤如下：（1）求、：，；（2）求：根据题中信息求出最小正周期，利用公式求出的值；（3）求：将对称中心点和最高、最低点的坐标代入函数解析式，若选择对称中心点，还要注意函数在该点附近的单调性．7、C【解题分析】

根据可求得结果.【题目详解】由题意知：，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查余弦型函数最小正周期的求解问题，属于基础题.8、B【解题分析】

由正弦定理求得，再求．【题目详解】由正弦定理，∴，或，时，，时，．故选：B.【题目点拨】本题考查正弦定理，在用正弦定理解三角形时，可能会出现两解，一定要注意．9、A【解题分析】

由，转化为，结合数量积的坐标运算得出，然后将所求代数式化为，并在分子分母上同时除以，利用弦化切的思想求解．【题目详解】由题意可得，即．∴，故选A．【题目点拨】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角弦的次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切．10、D【解题分析】

设直线的方程为，代入点（1,0）的坐标即得解.【题目详解】设直线的方程为，由题得.所以直线的方程为.故选D【题目点拨】本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、；【解题分析】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.12、2【解题分析】

根据茎叶图的数据和平均数的计算公式，列出方程，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，可得，即，解得.【题目点拨】本题主要考查了茎叶图的认识和平均数的公式的应用，其中解答中根据茎叶图，准确的读取数据，再根据数据的平均数的计算公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13、15【解题分析】

解：设作出与已知直线平行且与圆相切的直线，

切点分别为，如图所示

则动点C在圆上移动时，若C与点重合时，

△ABC面积达到最小值；而C与点重合时，△ABC面积达到最大值

∵直线3x＋4y−12＝0与x轴、y轴相交于A（4，0）、B（0，3）两点

可得∴△ABC面积的最大值和最小值之差为

，

其中分别为点、点到直线AB的距离

∵是圆（x−5）2＋（y−6）2＝9的两条平行切线与圆的切点

∴点、点到直线AB的距离之差等于圆的直径，即

因此△ABC面积的最大值和最小值之差为

故答案为：1514、1【解题分析】

根据不等式组，画出可行域，数形结合求解即可.【题目详解】由题可知，可行域如下图所示：容易知：，可得：，结合图像可知，的最小值在处取得，则.故答案为：1.【题目点拨】本题考查线性规划的基础问题，只需作出可行域，数形结合即可求解.15、3【解题分析】

由M在AB边所在直线上，则，又，然后将，都化为，即可解出答案.【题目详解】因为M在直线AB上，所以可设，

可得，即，又，则由与不共线，所以，解得.故答案为：3【题目点拨】本题考查向量的减法和向量共线的利用，属于基础题.16、【解题分析】

利用同角三角函数的基本关系求出，然后利用诱导公式可求出的值.【题目详解】是第二象限角，则，由诱导公式可得.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）最大值为，最小值为【解题分析】

利用二倍角公式、两角和差正弦公式和辅助角公式可化简出；（1）令，解出的范围即为所求单调递增区间；（2）利用的范围可求得所处的范围，整体对应正弦函数图象可确定最大值和最小值取得时的值，进而求得最值.【题目详解】（1）令，，解得：，的单调递增区间为，（2）当时，当时，取得最大值，最大值为当时，取得最小值，最小值为【题目点拨】本题考查正弦型函数单调区间和最值的求解问题，涉及到利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式化简三角函数；关键是能够灵活应用整体对应的方式，结合正弦函数的图象与性质来进行求解.18、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值；（2）写出向量的坐标，利用得出关于的方程，即可求解实数的值.试题解析：（1）（2）由（1）得所以考点：向量的坐标运算.19、（1）（2）可以预测产量为（吨）的生产能耗为（吨）【解题分析】

（1）根据表格中的数据，求出，，，代入回归系数的公式可求得，再根据回归直线过样本中心点即可求解.由（1）将代入即可求解.【题目详解】（1）由题意，根据表格中的数据，求得，，，，代入回归系数的公式，求得，则，故线性回归方程为．（2）由（1）可知，当时，，则可以预测产量为（吨）的生产能耗为（吨）．【题目点拨】本题考查了线性回归方程，需掌握回归直线过样本中心点这一特征，考查了学生的计算能力，属于基础题.20、(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解题分析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点