2024届河南省唐河县友兰实验高中数学高一下期末综合测试试题含解析

2024届河南省唐河县友兰实验高中数学高一下期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设等差数列an的前n项和为Sn，若a1>0，A．S10 B．S11 C．S2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里3．已知向量，，则与的夹角为（）A． B． C． D．4．在数列中，，，则的值为：A．52 B．51 C．50 D．495．已知数列是等差数列，，则(

)A．36 B．30 C．24

D．16．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．7．在中，内角所对的边分别为，且，则（）A． B． C． D．8．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是（）A．24 B．48 C．56 D．649．已知，，则点在直线上的概率为（）A． B． C． D．10．设,则()A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列满足，，，记数列的前项和为，则________.12．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.13．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是_____________．14．已知，且，则________.15．在中，角的对边分别为，若，则角________.16．过P(1,2)的直线把圆分成两个弓形，当其中劣孤最短时直线的方程为_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前n项和为，且，求数列的通项公式．18．在中，内角、、所对的边分别为、、，且.(1)求；(2)若，，求.19．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈(0，).求：(1)cos(α－β)的值；(2)β的值.20．已知数列满足，．（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使不等式＜对一切恒成立的实数的范围．21．设数列，满足：，，，，.（1）写出数列的前三项；（2）证明：数列为常数列，并用表示；（3）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】分析：利用等差数列的通项公式，化简求得a20+a详解：在等差数列an中，a则3(a1+7d)=5(a1所以a20又由a1>0，所以a20>0,a21<0点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前n项和Sn的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得a20+2、B【解题分析】

根据题意得出等比数列的项数、公比和前项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得的值.【题目详解】依题意步行路程是等比数列，且，，，故，解得，故里.故选B.【题目点拨】本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前项和的基本量计算，属于基础题.3、D【解题分析】

利用夹角公式计算出两个向量夹角的余弦值，进而求得两个向量的夹角.【题目详解】设两个向量的夹角为，则，故.故选：D.【题目点拨】本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查向量数量积和模的坐标表示，属于基础题.4、A【解题分析】

由，得到，进而得到数列首项为2，公差为的等差数列，利用等差数列的通项公式，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，数列满足，即，又由，所以数列首项为2，公差为的等差数列，所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的定义，以及等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、B【解题分析】

通过等差中项的性质即可得到答案.【题目详解】由于，故，故选B.【题目点拨】本题主要考查等差数列的性质，难度较小.6、D【解题分析】

结合题意，结合直线与平面垂直的判定和性质，得到两个直角三角形，取斜边的一半，即为外接球的半径，结合球表面积计算公式，计算，即可．【题目详解】过P点作，结合平面ABC平面PAC可知，，故，结合可知，，所以，结合所以,所以，故该外接球的半径等于，所以球的表面积为，故选D．【题目点拨】考查了平面与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定和性质，难度偏难．7、C【解题分析】

根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinA，进而利用二倍角余弦公式得到结果.【题目详解】∵．∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC∴sinC＝4cosAsinC∵1＜C＜π，sinC≠1．∴1＝4cosA，即cosA，那么．故选C【题目点拨】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．8、B【解题分析】

根据频率分布直方图可知从左到右的前3个小组的频率之和，再根据频率之比可求出第二组频率，结合频数即可求解.【题目详解】由直方图可知，从左到右的前3个小组的频率之和为，又前3个小组的频率之比为，所以第二组的频率为，所以学生总数，故选B.【题目点拨】本题主要考查了频率分布直方图，频率，频数，总体，属于中档题.9、B【解题分析】

先求出点)的个数，然后求出点在直线上的个数，最后根据古典概型求出概率.【题目详解】点的个数为，其中点三点在直线上，所以点在直线上的概率为，故本题选B.【题目点拨】本题考查了古典概型概率的计算公式，考查了数学运算能力.10、C【解题分析】

函数，函数且，求出【题目详解】因为且且所以故选：C【题目点拨】本题考查的是与反三角函数有关的定义域问题，较简单.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、7500【解题分析】

讨论的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得的通项公式，进而可求.【题目详解】当是奇数时，＝﹣1，由，得，所以，，，…，…是以为首项，以2为公差的等差数列，当为偶数时，＝1，由，得，所以，，，…，…是首项为，以4为公差的等差数列，则，所以.故答案为：7500【题目点拨】本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题．12、160【解题分析】

∵某个年级共有980人，要从中抽取280人，∴抽取比例为280980∴此样本中男生人数为27故答案为160.考点：本题考查了分层抽样的应用点评：掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题13、【解题分析】

先找出线面角，运用余弦定理进行求解【题目详解】连接交于点，取中点，连接，则，连接为异面直线与所成角在中，，,同理可得,,异面直线与所成角的余弦值是故答案为【题目点拨】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．14、或【解题分析】

利用正切函数的单调性及周期性，可知在区间与区间内各有一值，从而求出。【题目详解】因为函数的周期为，而且在内单调增，所以有两个解，一个在，一个在，由反正切函数的定义有，或。【题目点拨】本题主要考查正切函数的性质及反正切函数的定义的应用。15、【解题分析】

根据得，利用余弦定理即可得解.【题目详解】由题：，，，由余弦定理可得：，.故答案为：【题目点拨】此题考查根据余弦定理求解三角形的内角，关键在于熟练掌握余弦定理公式，准确计算求解.16、【解题分析】

首先根据圆的几何性质，可分析出当点是弦的中点时，劣弧最短，利用圆心和弦的中点连线与直线垂直，可求得直线方程.【题目详解】当劣弧最短时，即劣弧所对的弦最短，当点是弦的中点时，此时弦最短，也即劣弧最短，圆：，圆心，,,直线方程是，即，故填：.【题目点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的几何性质，属于基础题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】

利用公式，计算的通项公式，再验证时的情况.【题目详解】当时，；当时，不满足上式．∴【题目点拨】本题考查了利用求数列通项公式，忽略的情况是容易犯的错误.18、（1）（2）【解题分析】

(1)利用正弦定理化简为，再利用余弦定理得到答案.(2)先用和差公式计算，再利用正弦定理得到.【题目详解】(1)由正弦定理，可化为，得，由余弦定理可得，有又由，可得.(2)由，由正弦定理有.【题目点拨】本题考查了正弦定理，余弦定理，和差公式，意在考查学生的计算能力.19、（1）【解题分析】

（1）利用同角的平方关系求cos(α－β)的值；（2）利用求出，再求的值.【题目详解】（1）因为，所以cos(α－β).（2）因为cosα＝，所以，所以，因为β∈(0，)，所以.【题目点拨】本题主要考查同角的三角函数的关系求值，考查差角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.20、（1）见解析，；（2）【解题分析】

（1）对递推式两边取倒数化简,即可得出，利用等差数列的通项公式得出，再得出；（2）由（1）得，再使用裂项相消法求出，使用不等式得出的范围，从而得出的范围．【题目详解】（1）∵，两边取倒数,∴，即，又，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，∴，∴．（2）由（1）得，∴＝，要使不等式Sn＜对一切恒成立，则．∴的范围为:．【题目点拨】本题考查了构造法求等差数