河南省鹤壁市浚县第二高级中学2024届数学高一第二学期期末达标检测试题含解析

河南省鹤壁市浚县第二高级中学2024届数学高一第二学期期末达标检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某校高二理（1）班学习兴趣小组为了调查学生喜欢数学课的人数比例，设计了如下调查方法：（1）在本校中随机抽取100名学生，并编号1，2，3，…，100；（2）在箱内放置了两个黄球和三个红球，让抽取到的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生站出来，一是摸到黄球且编号数为奇数的学生，二是摸到红球且不喜欢数学课的学生。若共有32名学生站出来，那么请用统计的知识估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是（）A．80% B．85% C．90% D．92%2．已知，，则的最大值为（）A．9 B．3 C．1 D．273．连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（

）A． B． C． D．4．已知：平面内不再同一条直线上的四点、、、满足，若，则（）A．1 B．2 C． D．5．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（）A． B． C． D．6．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A． B． C． D．7．已知数列是公差不为零的等差数列，是等比数列，，，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．与的大小不确定8．若,则下列不等式成立的是()A． B．C． D．9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A． B． C． D．10．“”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若首项为，公比为（）的等比数列满足，则的取值范围是________.12．若，则的值为_______.13．已知等比数列中，，，则该等比数列的公比的值是______.14．设，，，，则数列的通项公式=．15．若数列满足，且对于任意的，都有，则___；数列前10项的和____．16．已知数列为等比数列，，，则数列的公比为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.18．等差数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)设,求数列的前n项和.19．已知数列满足，且（，且）.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式（3）设数列的前项和，求证：.20．已知等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．21．已知数列的前项和，且；（1）求它的通项.（2）若，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

先分别计算号数为奇数的概率、摸到黄球的概率、摸到红球的概率，从而可得摸到黄球且号数为奇数的学生，进而可得摸到红球且不喜欢数学课的学生人数，由此可得估计该校学生中喜欢数学课的人数比例．【题目详解】解：由题意，号数为奇数的概率为0.5，摸到黄球的概率为，摸到红球的概率为那么按概率计算摸到黄球且号数为奇数的学生有个共有32名学生站出来，则有12个摸到红球且不喜欢数学课的学生，不喜欢数学课的学生有：，喜欢数学课的有80个，估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是：．故选：．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2、B【解题分析】

由已知，可利用柯西不等式，构造柯西不等式，即可求解．【题目详解】由已知，可知，，利用柯西不等式，可构造得，即，所以的最大值为3，故选B．【题目点拨】本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．3、C【解题分析】

利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．【题目详解】由题意，连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，基本事件包含：（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面），共有4中情况，出现正面向上与反面向上各一次，包含基本事件：（正面，反面），（反面，正面），共2种，所以的概率为，故选C．【题目点拨】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟练利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4、D【解题分析】

根据向量的加法原理对已知表示式转化为所需向量的运算对照向量的系数求解.【题目详解】根据向量的加法原理得所以，，解得且故选D.【题目点拨】本题考查向量的线性运算，属于基础题.5、B【解题分析】

令求，利用求．【题目详解】令，由得：，所以令，由得：，所以，故选B．【题目点拨】本题考查了直线的截距问题，直线方程，令解出，得到直线的纵截距．令解出，得到直线的横截距．6、C【解题分析】由三视图可知，三棱锥的体积为7、A【解题分析】

设等比数列的公比为，结合题中条件得出且，将、、、用与表示，利用因式分解思想以及基本不等式可得出与的不等关系，并结合等差数列下标和性质可得出与的大小关系.【题目详解】设等比数列的公比为，由于等差数列是公差不为零，则，从而，且，得，，，即，另一方面，由等差数列的性质可得，因此，，故选：A.【题目点拨】本题考查等差数列和等比数列性质的应用，解题的关键在于将等比中的项利用首项和公比表示，并进行因式分解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8、B【解题分析】

利用不等式的性质，进行判断即可.【题目详解】因为，故由均值不等式可知：；因为，故；因为，故；综上所述：.故选：B.【题目点拨】本题考查均值不等式及利用不等式性质比较大小.9、C【解题分析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.10、B【解题分析】试题分析：当时，直线为和直线，斜率之积等于，所以垂直；当两直线垂直时，，解得：或，根据充分条件必要条件概念知，“”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的充分不必要条件，故选B．考点：1、充分条件、必要条件；2、两条直线垂直的关系．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由题意可得且，即且，，化简可得由不等式的性质可得的取值范围.【题目详解】解：，故有且，化简可得且即故答案为：【题目点拨】本题考查数列极限以及不等式的性质，属于中档题.12、【解题分析】

把已知等式展开利用二倍角余弦公式及两角和的余弦公式，整理后两边平方求解．【题目详解】解：由，得，，则，两边平方得：，即．故答案为．【题目点拨】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．13、【解题分析】

根据等比通项公式即可求解【题目详解】故答案为：【题目点拨】本题考查等比数列公比的求解，属于基础题14、2n+1【解题分析】由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则．15、,【解题分析】试题分析：由得由得，所以数列为等比数列，因此考点：等比数列通项与和项16、【解题分析】

设等比数列的公比为，由可求出的值.【题目详解】设等比数列的公比为，则，，因此，数列的公比为，故答案为：.【题目点拨】本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）（）．【解题分析】试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对f（x）化简整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）根据函数y=sinx的单调递增区间对应求解即可.试题解析：（Ⅰ）因为，所以的最小正周期．依题意，，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．函数的单调递增区间为（）．由，得．所以的单调递增区间为（）．【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较，与1比较等）求解．18、(1)；（2）.【解题分析】

(1)根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案.(2)先求出，再利用裂项求和求得.【题目详解】(1)等差数列中，，解得：(2)数列的前n项和.【题目点拨】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用及计算能力.19、（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.【解题分析】

（1）用定义证明得到答案.（2）推出（3）利用错位相减法和分组求和法得到，再证明不等式.【题目详解】解：（1）由，得，即.∴数列是以为首项，1为公差的等差数列.（2）∵数列是以为首项，1为公差的等差数列，∴，∴.（3）.∴，∴.【题目点拨】本题考查了等差数列的证明，分组求和法，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.20、（1）（2）【解题分析】

（1）先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，即可得出通项公式；（2）根据前项和公式，即可求出结果.【题目详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，因为，所以，又，所以公差，所以．（2）由（1）知，，所以【题目点拨】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与前项和公式即可，属于基础题型.2