客户经理述职报告5篇97

1 2 31.1泰勒多项式 31.2两种类型的泰勒公式 4 62.1利用泰勒公式求极限 62.2利用泰勒公式证明不等式 2.3利用泰勒公式进行近似计算和误差估计 结束语 参考文献 2摘要：泰勒公式是数学分析中重要的内容，它的因此，我们常用多项式来近似表示函数。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表数展开成级数从而得到泰勒公式。泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式。积分“逼近法”的精髓。它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一应用。这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。在高等数学教材中，一般只讲泰勒公式及几个常用函数的麦克劳林公式，对其在解题3明、近似计算三个方面介绍泰勒公式的应用。当f,(x0)或上式就是用一次多项式来近似表达一个函数.在x=x0处，这个一次多项式及其导数的值分别等于被近似表达的函数及其导数的值.但是，这种近似表达式存在不足之处.它所产生的误差仅是关于(xx0)的高阶无穷小，精确度不高.为了提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数.因此，可设想用高次多项式来近似表达函数.于是提出如下的问题：设函数P02(xx0)2n(xx0)n用它来近似表达f(x)，要求它与f(x)之差是关于(x一x0)n高阶的无穷小.为了使求得的近似多项式与f(x)在数值与性质方面吻合得更好，如函数的单调性、凹凸性等.于是可进一步要求Pn(x)在x0处的函数值以及它的直到n阶的导数值与f(x)在x0处的函数值以及它的直到n阶的导数值分别相等，即要求P=f,(x0),a2=!f,,(x0),…,an=!f(n)(x0)4P(x)=f(x0)+f,(x0)(xx0)+!f,,(x0)(xx0)2+…+!f(n)(x)(xx0)n(3)式中的Pn(x)称为f(x)在x0处的泰勒多项式.那么Pn(x)与f(x)的吻合程度如何？是否是我们要找的多项式呢？即是否有f(x)Pn(x)=o((xx0)n)成立，这将从下文给出证明.1.2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式现在只要证x喻x0Qn(x)因为f(n)(x0)存在，所以在点x0的某(x)f(x1)(x0)f(n)(x0)(xx0))1「f(n=0证毕.5型余项的泰勒公式.f(x)=f(0)+f,(0)x+f,,(0)x2+…+f的）麦克劳林公式.1.2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式型余项只是定性地告诉我们：当x喻x0时，逼近误差是较(x-x0)n高阶无穷小.现在将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计.证明：作辅助函数F(t)=f(x)-f(t)+f,(t)(x-t)+…+(x-t)n，G(t)=(f(n+1)(ξ)F(x0)f(n+1)(ξ)f(n+1)(ξ)F(x0)f(n+1)(ξ)06nF(x0)F(x0)一F(x)=F,(ξ)f(n+1)(ξ)==证毕.(5)式同样称为泰勒公式，它的余项为称为拉格朗日型余项.所以(5)式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.所以，泰勒中值定理可以看作拉格朗日中值定理的推广(6)式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式2.1利用泰勒公式求极限极限是微积分的基础，极限运算是学习微积分的基本功。求极限有许多方法，其中用等价无穷小量替换求极限是一种常用、方便、有效的方法。但寻求等价无穷小量并非易事，2.1.1用泰勒公式寻求等价无穷小量及用等价无穷小量替换求极限7，P(x)=f(x0)+f,(x0)(xx0)+1f,,(x0)(xx0)2f(x)喻0.则当x喻x0时，P(x)与f(x)为等价无穷小.x喻x0P(x))x喻x0P(x)--1110)n)x喻x0P(x)x喻x0P(x)x喻x0P(x)x喻x0P(x)P(x)与f(x)为等价无穷小.证毕.由此命题可以看出，可以用泰勒公式求某一无穷小量，从而利用等价无穷小量替换求极限x喻0x3)3)2x喻0x82)于是o(x2)-x对上式作运算是把所有比x2高阶的无穷小的代数和仍记为o(x2)，就得 2)故x喻0x35)452.1.2泰勒公式代换求极限应至少取到第几项在高等数学中，有时求极限,用带佩亚诺余项的泰勒公式代换的方法求，许多高等教学教材中都有例子，但都没有说明取到哪一项才合适。因此，这一点必须弄清楚，否则在解题过程中可能会出现错误以及一些不必要的麻烦，故给出以下定理。定理2.1设a12及+f,(x0)(x-x0)+).如果=a1的充要条件是n≥k.x喻x0a1土a2 故a2-Pna1βx喻x0a1a1βx喻x0x喻x092x喻x0βx喻x0a1证毕.x喻x0β1士Pn(x)2x喻x0ax喻x0a112x喻x0x喻x0x喻x0x喻x0aaa件.x喻x0a2x喻x0a证毕.)n)，x喻x0βx喻x0β(xx0)kx喻x0a1a2a1Pn(x)a1a2a1Pn(x)x喻x0(xx0)kx喻x0βx喻x0βx喻x0βx喻xβ.证毕.x喻x0βx喻x0)n)，如果-a的充分条件是n≥k-1.a(x)(x)的充分条件是n≥k-1.也就是x喻x0ax喻x0a1=2x喻x0a1(x)x喻x0a的充分条件.即limx喻x0ax喻x0a的充分条件.-3-x+106x喻1(x-5只要取到含(x-1)5项即可.所以取355)353-x+165-51x-1-x)lnx0x-1的泰勒公式取到含(x-1)3-1=(x-1)2项即可.取2，所以原式2x3不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.定理2.3设函数y=f(x)在x0点附近二阶可导，则(1)若f,,(x)＞0，则有f(x)≥f(x0)+f,(x(2)若f,,(x)＜0，则有f(x)≤f(x0)+f,(x0)(x一x0)等号当x=x0是成立.2.2.1证明代数不等式n-xnn由定理3.3得f(n+nn)≤f(n)+f,(n)(nn)，f(n一nn)≤f(n)+f,(n)(一nn)两式相加即得结论.ⅆ,n.xi=a，a≥2,求证+1+3+…+na2aa.注意到(0＜aa-1a-2aa-1a-2a-xn≥n++…++f,,(x)＞0.利用定理2.3，取x0=得nn,因为xi=a，有x0=a，则可n1-a)|（n)（n)（n)2-a)|（n)（n)（n)…n-（n)（n)（n)（n)a（n)a-a-x2a-x3a--n原结论得证.2.2.2证明含导函数不等式2nxnpf(x)+pf(x)+…+pf(x)pf(x)+pf(x)+…+pf(x)n0)，由于f(x)在(a，b)内n二阶可导，故f(x)在点x0处一阶泰勒公式成立.f(x)=f(x0)+f,(x0)(x-x0)+f,,(ξ(x-x0)2，ξ在x0与x之间.因为f,,(x)≥0，xe(a，b)，所以f(x)≥f(x0)+f,(x0)(x-x0).分别取x=x1，x2，ⅆ,f(x1)≥f(x0)+f,(x0)(x1-x0)f(x2)≥f(x0)+f,(x0)(x2—x0)…f(xn)≥f(x0)+f,(x0)(xn—x0)以上各不等式分别乘以p1，p2，ⅆ,pn得p1f(x1)≥p1f(x0)+p1f,(x0)(x1—x0)p2f(x2)≥p2f(x0)+p2f,(x0)(x2—x0)…pnf(xn)≥pnf(x0)+pnf,(x0)(xn—x0)将上面n个不等式相加得p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn)≥(p1+p2+…+pn)f(x0)+n)x0]np1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn)≥(p1+p2+…+pn)f(x0)则pf(x)+pf(x)pf(x)+pf(x)+…pf(x)nf2nxn≤p1f(x1)1pxpnf(xn).结论得证.4f(b)f(a)内至少存在一点η,使f,,(η)≥4f(b)f(a)证明：因为f(x)在[a，b]上具有二阶导数，所以f(x)在x0处一阶泰022b<ξ2＜b(3)f(b)-f(a)=1(b-a)2f,,(ξ2)-f,,(ξ1)≤1(b-a)2[f,,(ξ2)+f,,(ξ1{f,,(ξ1f(b)-f(a)≤1(b-a)2.2f,,(η)=1(b-a)2f,,(η)1即f,,(η)≥44f(b)-f(a)(b-a)2证毕.2.2.3证明含定积分不等式f(x)dx≤，其中M=f,,(x).2f(x)=f(x0)+f,(x0)(x-x0)+f,,(ξ)(x-x0)2，其中ξ是x0与x因为f(|a+b)|=0，所以有f(x)=f,(x0)(x-xf(x)dx=f,(x0)(x-x0)+(x-x0)2dx(b-a)3即f(x)dx≤证毕.根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数所产生的误差.由拉格朗日型余项Rn(x)=(x-x0)n+1，如果f(n+1)(x)≤M，M为一定数，Mn+1则其余项不会超过(n+1)!x-x0.Mn+1所示，可以看到sinx与其近似多项式Pn(x)说，误差Rn(x)随着n的增大而变小.特别当x偏离原点较远时，选取阶数较高的麦克劳林11x3-50<θ＜1)--由此可见，精确度很高.例2求定积分dx的近似值.解：该被积函数的原函数不是初等函数，故用牛顿—莱布尼茨公式是无法求出其精确解的.考虑sinx的泰勒展开，能方便地求出其近似数.--x